点集拓扑练习题及答案

f:X?[0,1],使得当x?A时,f(x)?0,当x?B时,f(x)?1.证明:X是一个正规空间.

证明:设A,B是X的任意两个无交的闭集,由题意知存在一个连续映射f:X?[0,1],使得当x?A时,f(x)?0,当x?B时,f(x)?1.

设U?f?1([0,0.5)),V?f?1((0.5,1]),……………………………4分 易知U,V分别是A和B的开邻域且U?V??.从而间. ………………………………………………………………8分

22、证明T4空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点,则它一定是一个不可数集.

证明:设C是T4空间X中的一个连通子集,如果C不只包含一个点,任意选取x,y?C,x?y.对于T4空间X中的两个无交的闭集{x},{y},应用Urysohn引理可见,存在一个连续映射

X是一个正规空

f:X?[0,1],使得f(x)?0和f(y)?1.………………………………………4分

由于C是X的一个连通子集,从而f(C)连通,由于0,1?f(C),

?所以f(C)[0,,由于[0,1]是一个不可数集,所以C也是一个不可数

集. ……………………………………………………………8分

23、X是T4空间,B为X的一个拓扑基,则对于每一个B?B及x?B,都有一个B1?B使得x?B1?B.

证明:X是T4空间,必为T1的正规空间,对任意x?X,{x}为闭集.

对于B?B且x?B,B就是{x}的一个开邻域.由于X为正规空间,必存在{x}的一个开邻域U,使得

U?B.……………………4分

U也是x的开邻域,一定存在一个B1?B ,使得 x?B1?U,且有B1?U,当然就有x?B1?B.………………………………8分

24、设X为Hausdorff空间 ,f:X?X是一个连续映射, 且

f?f?f.证明:

f(X)是X的闭集.

证明:对?x?X?f(X),则f(x)?x,由于X是Hausdorff空间,存在x和f(x)的邻域U1,V,使得U1?V??.又因为f连续,故存在x的邻域U2,使得f(U2)?V,令U?U1?U2,则U是

x的邻域,且U?X?f(X).………………………………………………4分

事实上,若存在z?U使得z?f(X),即? y?X使得z?f(y).于是f(z)?f而f(z)?f(U)?V,

f(y)?f(y)?z,

这样,z?U?V?U1?V??,矛盾.所以U?X?f(X),即f(X) 是闭集. …………………………………………………………8分

25、设X是T1空间,A是X的至少含有两点的连通子集,则A一定是无 限集.

证明:若A为有限集,设a,b?A且a?b,由于X为T1空间,于是{a}与A-{a}就是X的闭集.且{a}?(A-{a})=ф及A-{a}?ф,…4分

从而,A={a}?(A-{a}) ,故A不是X的连通子集.这与题设相矛盾,所以A必为无限集. ………………………………………………8分

26、如果拓扑空间的每一个紧致子集都是闭集,则X的每个收敛序列{xi} 的极限点唯一.

证明:因为单点集总是紧致子集,从而拓扑空间X的每一个单点集是闭集,故X是T1空间,若{xi}的极限点不唯一,不妨设收敛到a,b,a?b.易知X?{b}是包含a的开邻域,因此它包含序列{xi}的几乎所有项,也就是说{xi}只有有限项为b …………………………………4分

设A?{xn|xn?b}?{a},则A是紧致子集,从而是闭集.故A?是b的一个开邻域,它最多只能含{xi}的有限多项,从而b不是{xi}的极限点,矛盾.从而X的每个收敛序列{xi}的极限点唯一. ……………8分

27、设X,Y是两个拓扑空间,f:X?Y是一个连续映射.如果A是X的一个紧致子集,证明f(A)是Y的一个紧致子集.

证明:设C是f(A)的一个由Y中的开集构成的覆盖.对于任意C?C,f?1(C)是X中的一个开集,由于

c?CC?f(A),从而有:

f?1(C)?f?1(C?CC?CC)?f?1(f(A))?A

所以A={f?1(C)|C?C}是一个由X中的开集构成的A的覆盖.由于A是X的一个紧致子集,所以A 有一个有限子族,设为{f?1(C1),因为f?1,f?1(Cn)}覆盖A. …………………………………4分

从而C1??Cn)?A,

即{C?Cn?f(A),,1,}Cn是

(C1)??f?1(Cn)?f?1(C1?C 的一个子族并且覆盖f(A),因此f(A)是Y的一个紧致子集. ………………………………8分 28、设X是一个正则空间,A是X的一个紧致子集,Y?X.证明:如果A?Y?A,则Y也是X的一个紧致子集.

证明:设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖,因此A也是A的一个覆盖,由于A是X的紧致子集,从而A有有限个成员A1,?,An使得?Aii?1n?A. …………………………………4分

由于A是正则空间的紧致子集,从而A有一个开邻域U,使得U??Ai,从而有?Ai?A?Y,

i?1i?1nn从而A有有限子覆盖{A1,?,An},因此Y是X的一个紧致子集. ………………8分 29、设X是一个正则空间,A是X的一个紧致子集.证明:A也是X的一个紧致子集.

证明:设A是任意一个由X中的开集构成的A的覆盖,因此A也是A的一个覆盖,由于A是X的紧致子集,从而A有有限个成员A1,?,An使得?Aii?1n?A. …………………………………4分

??Ai,从而有?Ai?A,从而

i?1i?1nn由于A是正则空间的紧致子集,从而A有一个开邻域U,使得UA有有限子覆盖{A1,?,An},因此A是X的一个紧致子集. ………………………………8分 30、设X是一个Hausdorff空间,A 是它的一个非空集族,由X的紧致子集构成,证明:的一个紧致子集.

证明:对于任意A?A,易知A是一个闭集,从而集. ………………………………………………………4分 取A0?A,则有

A?AA?AA?AA是XA是X的一个闭

由于A0是紧致的,从而是A0的一个紧致子集,易知A?A0,

A?AA也是X的一个紧致子集. ………8分

Y是连续的一一对应,其中X是紧致空间,Y是一个Hausdorff空间,证明f:X?Y是31、设f:X?一个同胚映射.

证明:要证明f:X?Y是一个同胚映射, 只需证明f?1:Y?X连续,进而只需证明f是闭映射.设A是X的闭集,由X是紧致空间,从而A是X的一个紧致子集,故f(A)是Y的一个紧致子集,……4分

由于Y是一个Hausdorff空间,因此f(A)是Y的一个闭集,从而f是闭映射. …………………………………………………………8分

32、Y是拓扑空间X的子空间,A是Y的紧致子集,证明A是X的紧致子集.

证明:对于A的由X的开集构成的任一开覆盖A ,即A?B?A就有A =A?Y ?B,这样,

B?A(B?Y),

若令A?{B?Y|B?A} , A就是由Y的开集构成的A的一个开覆盖,……………………………3分 由于

~A是Y的紧致子集,必有有限的子覆盖B1?Y,B2?Y,......Bn?Y,即

A?i?1,2,...n?(Bi?Y)=(i?1,2,...,n?B)?Y,从而A??Bii?1,2,...,ni,于是{B1,B2,...,Bn}就是A的由X的开集构成的开

覆盖,且是A的一个子覆盖,故A为X的紧致子集. ………………………………………………………8分

33、Y是拓扑空间X的子空间,若A是X的紧致子集,证明A是Y的紧致子集.

证明:对A的任意由Y的开集构成的开覆盖B,即A?存在X的开集AB,使得B?AB?Y,

于是{AB|B?B,B?AB?Y}就是A的由X的开集构成的开覆盖,…3分 从而必有有限的子覆盖{AB1,AB2,......ABm},即 A?Bij?1,2,...,mB?B?B,由于Y是X的子空间,对每一个B?B,必

?A,当然有

A?A?Y?(Bjj?1,2,...,m?A)?Y=

j?1,2,...,m?(ABj?Y)?j?1,2,...,m?Bj,

即 { B1,B2,...,Bm}为A的由Y的开集构成的有限开覆盖,

且为B的子覆盖。故A为Y的紧致子集. ………………………8分

34、设X是一个Hausdorff空间.如果A是X的一个不包含点x?X的紧致子集,则点x和紧致子集A分别有开邻域U,V使得U?V??.

证明:设A是X的一个紧致子集,x?A?.对于每一个y?A,由于X是一个Hausdorff空间,故存在

x的一个开邻域

Uy和

y的一个开邻域

Vy使得

Uy?Vy??. ………………………………………………4分

集族{ Vy|y?A }显然是由X中的开集构成的A的一个覆盖,它有一个有限子覆盖,设为

nn{ Vy1,Vy2,,Vyn},令U?i?1Uyi和V?i?1Vy,它们分别是点x和A的开邻域,且易知

iU?V??. ……………8分

35、证明Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭子集.

证明:设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集,设对于任意x?A,有x和A的开邻域U和V使

得U?V??, …………………4分

),故x?d(A),所以d(A)?A,即从而U?(A?{x}??A是一个闭

集.………………………………………………………………8分

36、证明每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间.

证明:设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集,x是X中不属于集合A的任意一点,由于紧致空间中的闭子集是紧致的,所以A是X的一个紧致子集,…………………………………………4分

从而点x和A分别有开邻域U和V使得U?V??,这说明X是一个正则空

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