14、T0空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T0空间.
15、T1空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T1空间.
16、T2空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X是T2空间.
17、正则空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正则空间.
18、正规空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.
19、完全正则空间： 答案：设X是一个拓扑空间，如果对于?x?X和X中任何一个不包含点x的闭集B存在一个连续映射f:X?[0,1]使得f(x)?0以及对于任何y?B有f(y)?1，则称拓扑空间X是一个完全正则空间.
20、紧致空间 答案：设X是一个拓扑空间.如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间.
21、紧致子集 答案：设X是一个拓扑空间，Y是X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集.
22、可数紧致空间 答案：设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间.
23、列紧空间 答案：设X是一个拓扑空间. 如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧空间.
24、序列紧致空间 答案：设X是一个拓扑空间. 如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X是一个序列紧致空间. 五．简答题（每题4分）
1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A?B.试说明d(A)?d(B).
答案：对于任意x?d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U?(A?{x})??,由于A?B，从而
U?(B?{x})?U?(A?{x})??，因此x?d(B)，故d(A)?d(B).
2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明gf:X?Z也是连续映射.
答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g?1(W)是Y的一个开集，由f:X?Y是连续映射，故f?1(g?1(W))是X的一开集，因此 (g的开集，所以gf)?1(W)?f?1(g?1(W))是Xf:X?Z是连续映射.
3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集.
答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集. 4、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A的补集A?是一个开集，则A是一个闭集.
答案：设x?A,则x?A?,由于A?是一个开集，所以A?是x的一个邻域，且满足A??A??,因此
x?A,从而A?A,即有A?A，这说明A是一个闭集.
5、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[0]},{[0],[1]}} 6、在实数空间R中给定如下等价关系:
x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T .
x~y?答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}}
7、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?1]},{[?1],[1]}} 8、在实数空间R中给定如下等价关系：
x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?2],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?2]},{[?2],[1]}} 9、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T .
答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 10、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T .
答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 11、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)
设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T .
答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 12、离散空间是否为A2空间?说出你的理由.
答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是A2空间.至多含有可数多个点的离散空间是A2空间.
13、试说明实数空间R是可分空间.答案: 因为Q是可数集，且R的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q都有非空的交，因此Q?R，故实数空间R是可分空间. 14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.
答案: 设X是一个度量空间, 对?x?X，则所有的以x为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x处的一个可数邻域基，从而X满足第一可数性公理. 15、设X是一个T1空间，试说明X的每一个单点集是闭集.
答案：对?x?X，由于X是T1空间，从而对每一个y?X,y?x，点y有一个邻域U使得x?U，即U?{x}??，故y?{x}，因此{x}?{x},这说明单点集{x}是一个闭集. 16、设X是一个拓扑空间，若X的每一个单点集都是闭集，试说明X是一个T1空间.
答案：对于任意x,y?X,x?y，{x},{y}都是闭集，从而{x}?和{y}?分别是y和x的开邻域，并且有x?{x}?,y?{y}?.从而X是一个T1空间.
17、设(X,T)是一个T1空间，?是任何一个不属于X的元素.令X*?X?{?}和T?T?{X}，试
说明拓扑空间(X*,T*)是一个T0空间. 答案：对任意x,y?X*,x?y,若x,y都不是?，则从而x,y各有一个开邻域U,V,使得x?V,y?U;若x,y中有一x,y?X.由于X 是一个T1空间，
*个是?，不妨设x??,则y有开邻域X不包含?.由以上的讨论知，对X中任意两个不同点必有
**一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X是T0空间.
18、若X是一个正则空间，试说明：对?x?X及x的每一个开邻域U，都存在x的一个开邻域V,使得
V?U. 答案: 对?x?X,设U是x的任何一个开邻域，则U的补集U?是一个不包含点x的
一个闭集.由于X是一个正则空间，于是x和U?分别有开邻域V和W,使得V?W??，因此
V?W?，所以V?W???W??U.
19、若X是一个正规空间，试说明：对X的任何一个闭集A及A的每一个开邻域U，都存在A的一个
开邻域V,使得V?U. 答案：设A是X的任何一个闭集，若A是空集，则结论显然成立.下设A不是空集，则对A的任何一个开邻域U，则U的补集U?是一个不包含点A的一个闭集. 由于
X是一个正规空间，于是A和U?分别有开邻域V和W,使得V?W??，因此V?W?，所以
V?W???W??U.
20、试说明T1空间X的任何一个子集的导集都是闭集.
答案：设A是X的任何一个子集，若A是空集，则d(A)??，从而A的导集是闭集.下设A不是空集，则对?x?(d(A))?,则x有开邻域U,使得(U?{x})?A??，由于X是T1空间，从而U?{x}是开集，故
U?{x}?(d(A))?,于是U?(d(A))?,所以(d(A))?是它每一点的邻域，故(d(A))?是开集，因此
d(A)是闭集.
21、试说明紧致空间X的无穷子集必有凝聚点.
答案：如果X的无穷子集的A没有凝聚点，则对于任意x?X，有开邻域Ux，使得
(Ux?A)?{x}??，于是X的开覆盖{Ux|x?X}没有有限子覆盖，从而X不是紧致空间，矛盾.
故紧致空间X的无穷子集必有凝聚点. 22、如果X?Y是紧致空间，则X是紧致空间.
答案：考虑投射P由于P从而由X?Y紧致知X是1:X?Y?X，1:X?Y?X是一个连续的满射，一个紧致空间.
23、如果X?Y是紧致空间，则Y是紧致空间.
X?Y紧致知Y是答案：考虑投射P2:X?Y?Y，由于P2:X?Y?Y是一个连续的满射，从而由
一个紧致空间.
24、试说明紧致空间X的每一个闭子集Y都是紧致子集.
答案：如果A 是Y的任意一个由X中的开集构成的覆盖，则B=A?{Y?}是X的一个开覆盖.设B 1是B的一个有限子族并且覆盖X.则B 1?{Y?}便是A 的一个有限子族并且覆盖Y，从而Y是紧致子集.
六、证明题（每题8分）
1、设f:X?Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.
证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得
f(X)?A?B …………………………………………… 3分
于是f?1(A),f?1(B)是X的非空子集，并且：
(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A))?(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A)) ?f?1((A?B)?(A?B))??所
以
f?1(A),f?1(B)是
X的非空隔离子集 此外，
f?1(A)?f?1(B)?f?1(A?B)?f?1(f(X))?X，这说明X不连通，矛盾.从而f(X)是Y的一个
连通子集. ………………………… 8分
2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
?A?B,
A?Y??,则Y?B………………… 8分
3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y则或者Y?A,或者Y?B.
证明：因为A,B是X的闭集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的闭集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分
由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若
?A?B,
A?Y??,则Y?B………………… 8分
4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集.
证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z?A?B.因此