高考数学一轮复习练习-解三角形及其综合应用

由已知及余弦定理得4=a+c-2accos.

2

2

π4

又a+c≥2ac,故ac≤2

2

4,当且仅当2-√2a=c时,等号成立.

因此△ABC面积的最大值为√2+1.

方法总结 求三角形面积的最值时,常利用基本不等式求两边之积的最值,从而确定面积的最值.

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共35分)

1.(2019北京朝阳综合练习,4)在△ABC中,B=,c=4,cos C=,则b=( )

3

π6

√5A.3√3 B.3 C. D.

23答案 B

2.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,3)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=( ) A. B. C. D.1 答案 B

3.(2019上海嘉定(长宁)二模,16)对于△ABC,若存在△A1B1C1,满足一定满足( )

A.有一个内角为30° B.有一个内角为45° C.有一个内角为60° D.有一个内角为75° 答案 B

4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+√3asin B=b+c,b=1,点D是△ABC的重心,且AD=,则△ABC的外接圆的半径为( )

3

√734

1

3

155935

cos??cos??cos??

===1,则称△ABCsin ??1sin ??1sin ??1

为“V类三角形”.“V类三角形”

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A

5.(2018山东济宁二模,12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A=c,则tan(A-B)的最大值为( )

2√5 523A.

B. C. D.√3

53√5√3答案 A

6.(2019河南六市3月联考,10)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若A.4√3 B.2√3 C.3√3 D.√3 答案 A

7.(2019湘东六校3月联考,5)若△ABC的三个内角满足6sin A=4sin B=3sin C,则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 答案 C

2??-??cos??

=,b=4,则△ABC??cos??的面积的最大值为( )

二、多项选择题(每题5分,共10分)

8.(改编题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )

17

A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形

C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为答案 ACD

9.(改编题)在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b=10,A=45°,C=70° B.b=45,c=48,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=7,b=5,A=80° 答案 BC

8√7 7三、填空题(每题5分,共10分)

10.(2019安徽合肥二模,15)在锐角△ABC中,BC=2,sin B+sin C=2sin A,则中线AD的长的取值范围是 . 答案 [√3,√132

)

11.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,15)已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C的北偏西65°方向且B到C的距离为√3 km,则A,B两船的距离为 . 答案 √13 km

四、解答题(共60分)

12.(2020届山东夏季高考模拟,18)在△ABC中,∠A=90°,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DF⊥BC且DF=AC. (1)若D为BC的中点,且△CDF的面积等于△ABC的面积,求∠ABC; (2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos∠CFB. 解析 (1)因为CD=BD,所以CD=BC. 由题设知DF=AC,CD·DF=AB·AC, 因此CD=AB.所以AB=BC,因此∠ABC=60°. (2)不妨设AB=1,由题设知BC=√2. 由BD=3CD得BD=

3√2√2,CD=. 443√2√34,BF=. 44

1212

12

12

由勾股定理得CF=由余弦定理得

917+8-25√17cos∠CFB=83√2=. √34512×4×413.(2020届山东济宁二中10月月考,19)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A的大小;

(2)若a=√21,b+c=9,求△ABC的面积.

解析 (1)在△ABC中,cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A, 则由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cosA+3cos A-2=0,

2

即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 解得cos A=或cos A=-2(舍去). ∵0

(2)由余弦定理,得a=b+c-2bccos , 2

2

2

12

π3

π3

18

∵a=√21,b+c=9, ∴21=b+c-bc=(b+c)-3bc,即21=81-3bc, 解得bc=20.

∴S△ABC=bcsin A=×20×=5√3.

22214.(2019上海浦东二模,18)已知向量m=(2sin ωx ,cos 2ωx),n=(√3cos ωx,1),其中ω>0,若函数f(x)=m·n的最小正周期为π. (1)求ω的值;

(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=√3,sin B=√3sin A,求????? ????·????? ????的值. 解析 (1)f(x)=m·n=√3sin 2ωx+cos 2ωx =2sin(2????+),

∵f(x)的最小正周期为π,∴T=

=π,∴ω=1. 2??

π6

1

1

√32

2

2

(2)设△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c. ∵f(B)=-2,∴2sin(2??+)=-2, 即sin(2??+)=-1,解得B=. ∵BC=√3,∴a=√3,∵sin B=√3sin A, ∴b=√3a,∴b=3,由

π

π

√32π=sin??得sin 3π

6

π62π3

3

sin A=, 12

∵0

3

∴????? ????·????? ????=cacos B=-.

2

π

15.(2020届湖南长沙一中第一次月考,17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(1)求角B;

(2)求△ABC周长的最大值. 解析 (1)由即

cos????2??cos??sin??+cos??sin??2sin??

+=及正弦定理,得=, cos??????cos??sin??sin??

cos????2??

+=且cos??????b=4.

sin(??+??)2sin??

=,

cos??sin??sin??

12

∵sin(A+B)=sin C≠0,sin B≠0,∴cos B=, ∵B∈(0,π),∴B=.

(2)在△ABC中,由余弦定理得b=a+c-2accos B=a+c-ac=16. ∴(a+c)=16+3ac≤16+3(

2

2

2

2

2

2

π3

??+??2

). 2

即a+c≤8,当且仅当a=c时取等号. ∴△ABC的周长=a+b+c≤12, ∴△ABC周长的最大值为12.

16.(2020届黑龙江哈师大附中9月月考,20)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin (1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.

19

??+??

=bsin A. 2

解析 (1)由asin

??2

??+??

=bsin A2

??2

??2

及正弦定理可得sin Acos =sin Bsin A,∵sin A≠0,

??122

??2

∴cos =sin B=2sin cos ?sin =(0

????

=得sin??sin??

π3

a=

??2π

sin(-C), sin??338

1√3+, tan??8

π2

∴S△ABC=a=1√3√3√3(

2242tan??

+)=·

12

由△ABC为锐角三角形可得{

0

2π-C3<

ππ1

π?6

√3√38

,

2

).

解法二:由余弦定理得b=√??2-a+1, ??2+1>??2,

1

由题意得{??2+??2>1,?

2??2+1>??2则S=a=a∈(

1√3√3224

√3√38

,

2

).

√3√3即△ABC面积的取值范围为(

8

,

2

).

应用篇知行合一

【应用集训】

1.(2020届湖南长沙一中第一次月考,15)秦九韶是我国南宋著名数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积”.如果把以上这段文字写成公式就是

1??2+??2-??2S=√[??2??2-()42

2

],其中a,b,c是△ABC的内角A,B,C的对边.若sin C=2sin Acos B,且b,2,c

2

2

成等差数列,则△ABC面积S的最大值为 . 答案

2√5 5

2.(2020届宁夏银川第一次月考,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈(,).将角α的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点B.记A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若x1=,求x2;

(2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.设△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2若S1=2S2,求角α的值.

14

ππ62

π3

20

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