由正弦定理得sin Csin B=故sin Bsin C=. 23
12sin??
. 3sin??
(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=. 由题设得bcsin A=2
2
12122π3π312??2
,即3sin??bc=8.
2
由余弦定理得b+c-bc=9,即(b+c)-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC的周长为3+√33.
思路分析 (1)首先利用三角形的面积公式可得acsin B=12
??2
,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出3sin??
sin Bsin C的
值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出△ABC的周长. 17.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C;
(2)若c=√7,△ABC的面积为
3√3,求△ABC2的周长.
解析 (1)由已知及正弦定理得,
2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=π3
12
3√3. 2
12
π3
又C=,所以ab=6.(8分)
由已知及余弦定理得,a+b-2abcos C=7.
2
2
故a+b=13,从而(a+b)=25.∴a+b=5.(10分)
2
2
2
所以△ABC的周长为5+√7.(12分)
18.(2018北京,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求∠A; (2)求AC边上的高.
解析 (1)在△ABC中,因为cos B=-,所以sin B=√1-cos2B=由正弦定理得sin A=
π2??sin??√3=. ??2
π
2π317
4√3. 7
17
由题设知<∠B<π,所以0<∠A<.所以∠A=. (2)在△ABC中,
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=
3√3, 14
9
所以AC边上的高为asin C=7×
3√33√3=. 142
方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先,要掌握正弦定理、余弦定理,其次,结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.
19.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos(??-). (1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在△ABC中, 由
????
=,可得sin??sin??π6bsin A=asin B,
π6
π6
又由bsin A=acos(??-),得asin B=acos(??-), 即sin B=cos(??-),可得tan