由正弦定理得sin Csin B=故sin Bsin C=. 23
12sin??
. 3sin??
(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=. 由题设得bcsin A=2
2
12122π3π312??2
,即3sin??bc=8.
2
由余弦定理得b+c-bc=9,即(b+c)-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC的周长为3+√33.
思路分析 (1)首先利用三角形的面积公式可得acsin B=12
??2
,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出3sin??
sin Bsin C的
值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出△ABC的周长. 17.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C;
(2)若c=√7,△ABC的面积为
3√3,求△ABC2的周长.
解析 (1)由已知及正弦定理得,
2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=π3
12
3√3. 2
12
π3
又C=,所以ab=6.(8分)
由已知及余弦定理得,a+b-2abcos C=7.
2
2
故a+b=13,从而(a+b)=25.∴a+b=5.(10分)
2
2
2
所以△ABC的周长为5+√7.(12分)
18.(2018北京,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求∠A; (2)求AC边上的高.
解析 (1)在△ABC中,因为cos B=-,所以sin B=√1-cos2B=由正弦定理得sin A=
π2??sin??√3=. ??2
π
2π317
4√3. 7
17
由题设知<∠B<π,所以0<∠A<.所以∠A=. (2)在△ABC中,
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=
3√3, 14
9
所以AC边上的高为asin C=7×
3√33√3=. 142
方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先,要掌握正弦定理、余弦定理,其次,结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.
19.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos(??-). (1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在△ABC中, 由
????
=,可得sin??sin??π6bsin A=asin B,
π6
π6
又由bsin A=acos(??-),得asin B=acos(??-), 即sin B=cos(??-),可得tan B=√3. 又因为B∈(0,π),可得B=. (2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=, 有b=a+c-2accos B=7,故b=√7. 2
2
2
π6
π3
π3
由bsin A=acos(??-),可得sin A=. √7π6
√3因为a 4√314√311√33√32 ,cos 2A=2cosA-1=.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=×-×=. 77727214 π 6 2√7解题关键 (1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos(??-)是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a 教师专用题组 考点一 正弦定理和余弦定理 1.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3√15,b-c=2,cos A=-,则a的值为 . 答案 8 2.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=√3,sin B=,C=,则b= . 答案 1 3.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=√2,A的角平分线AD=√3,则AC= . 答案 √6 4.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则 sin2?? = sin?? 12 π6 14 . 10 答案 1 5.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a+c=b+√2ac. (1)求∠B的大小; (2)求√2cos A+cos C的最大值. 解析 (1)由余弦定理及题设得又因为0<∠B<π,所以∠B=. (2)由(1)知∠A+∠C=,∴∠C=-∠A. ∴√2cos A+cos C=√2cos A+cos( √2√2√22 2 2 ??2+??2-?? cos B= 2???? 2 = √2ac√22???? =. 2 π43π43π4 3π -A) 4 √2=√2cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos(??-). 2 2 2 2 π4 因为0<∠A<, 所以当∠A=时,√2cos A+cos C取得最大值1. 6.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3√2,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长. 4解析 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c, 由余弦定理得a=b+c-2bccos∠BAC=(3√2)+6-2×3√2×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3√10. 2 2 2 2 2 3π4 π43π 3π4又由正弦定理得sin B=由题设知0 ??sin∠??????3√10==, ??3√1010 所以cos B=√1-sin2B=√1- 13√10=. 1010 ????·sin??6sin?? = sin(π-2??)2sin??cos??在△ABD中,由正弦定理得AD== 3 =√10. cos??7.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求 sin∠?? ; sin∠?? √2(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. 2 解析 (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得 sin∠??????1 ==. sin∠??????212 12 (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 11 AB=AD+BD-2AD·BDcos∠ADB, AC=AD+DC-2AD·DCcos∠ADC. 故AB+2AC=3AD+BD+2DC=6. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 8.(2011课标,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c. 解析 (1)由acos C+√3asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+√3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-A-C,所以√3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin C≠0,所以sin(??-)=. 又0 2又a=b+c-2bccos A,故b+c=8. 2 2 2 2 2 π612π31 解得b=c=2. 评析 本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活运用正、余弦定理是求解关键.正确的转化是本题的难点. 考点二 解三角形及其综合应用 9.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=√2,则AC=( ) 2A.5 B.√5 C.2 D.1 答案 B 10.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 . 答案 √3 11.(2011课标,16,5分)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为 . 答案 2√7 12.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值; (2)求sin(2??+)的值. 解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力. (1)在△ABC中,因为a>b,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b=a+c-2accos B=13,所以b=√13. 由正弦定理 ????=,得sin??sin????sin??3√13=. ??133√13. 1335452 2 2 1 35 π4 sin A= 所以,b的值为√13,sin A的值为(2)由(1)及a 2√13, 131213 所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sinA=-. 2 513 12