高考数学一轮复习练习-解三角形及其综合应用

由正弦定理得sin Csin B=故sin Bsin C=. 23

12sin??

. 3sin??

(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=. 由题设得bcsin A=2

2

12122π3π312??2

,即3sin??bc=8.

2

由余弦定理得b+c-bc=9,即(b+c)-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC的周长为3+√33.

思路分析 (1)首先利用三角形的面积公式可得acsin B=12

??2

,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出3sin??

sin Bsin C的

值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出△ABC的周长. 17.(2016课标Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C;

(2)若c=√7,△ABC的面积为

3√3,求△ABC2的周长.

解析 (1)由已知及正弦定理得,

2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=π3

12

3√3. 2

12

π3

又C=,所以ab=6.(8分)

由已知及余弦定理得,a+b-2abcos C=7.

2

2

故a+b=13,从而(a+b)=25.∴a+b=5.(10分)

2

2

2

所以△ABC的周长为5+√7.(12分)

18.(2018北京,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求∠A; (2)求AC边上的高.

解析 (1)在△ABC中,因为cos B=-,所以sin B=√1-cos2B=由正弦定理得sin A=

π2??sin??√3=. ??2

π

2π317

4√3. 7

17

由题设知<∠B<π,所以0<∠A<.所以∠A=. (2)在△ABC中,

因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=

3√3, 14

9

所以AC边上的高为asin C=7×

3√33√3=. 142

方法总结 处理解三角形相关的综合题目时,首先,要掌握正弦定理、余弦定理,其次,结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.

19.(2018天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos(??-). (1)求角B的大小;

(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.

解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在△ABC中, 由

????

=,可得sin??sin??π6bsin A=asin B,

π6

π6

又由bsin A=acos(??-),得asin B=acos(??-), 即sin B=cos(??-),可得tan B=√3. 又因为B∈(0,π),可得B=. (2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=, 有b=a+c-2accos B=7,故b=√7. 2

2

2

π6

π3

π3

由bsin A=acos(??-),可得sin A=. √7π6

√3因为a

4√314√311√33√32

,cos 2A=2cosA-1=.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=×-×=. 77727214

π

6

2√7解题关键 (1)利用正弦定理合理转化bsin A=acos(??-)是求解第(1)问的关键; (2)由余弦定理及已知条件求得sin A,利用a0是求解第(2)问的关键.

教师专用题组

考点一 正弦定理和余弦定理

1.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3√15,b-c=2,cos A=-,则a的值为 . 答案 8

2.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=√3,sin B=,C=,则b= . 答案 1

3.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=√2,A的角平分线AD=√3,则AC= . 答案 √6 4.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则

sin2??

= sin??

12

π6

14 .

10

答案 1

5.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a+c=b+√2ac. (1)求∠B的大小;

(2)求√2cos A+cos C的最大值. 解析 (1)由余弦定理及题设得又因为0<∠B<π,所以∠B=. (2)由(1)知∠A+∠C=,∴∠C=-∠A. ∴√2cos A+cos C=√2cos A+cos(

√2√2√22

2

2

??2+??2-??

cos B=

2????

2

=

√2ac√22????

=. 2

π43π43π4

-A) 4

√2=√2cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos(??-).

2

2

2

2

π4

因为0<∠A<,

所以当∠A=时,√2cos A+cos C取得最大值1.

6.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3√2,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.

4解析 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,

由余弦定理得a=b+c-2bccos∠BAC=(3√2)+6-2×3√2×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3√10. 2

2

2

2

2

3π4

π43π

3π4又由正弦定理得sin B=由题设知0

??sin∠??????3√10==, ??3√1010

所以cos B=√1-sin2B=√1-

13√10=. 1010

????·sin??6sin??

=

sin(π-2??)2sin??cos??在△ABD中,由正弦定理得AD==

3

=√10. cos??7.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求

sin∠??

; sin∠??

√2(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.

2

解析 (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD.

因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得

sin∠??????1

==. sin∠??????212

12

(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知

11

AB=AD+BD-2AD·BDcos∠ADB, AC=AD+DC-2AD·DCcos∠ADC. 故AB+2AC=3AD+BD+2DC=6.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

8.(2011课标,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3asin C-b-c=0. (1)求A;

(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.

解析 (1)由acos C+√3asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+√3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-A-C,所以√3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin C≠0,所以sin(??-)=. 又0

2又a=b+c-2bccos A,故b+c=8.

2

2

2

2

2

π612π31

解得b=c=2.

评析 本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活运用正、余弦定理是求解关键.正确的转化是本题的难点.

考点二 解三角形及其综合应用

9.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=√2,则AC=( )

2A.5 B.√5 C.2 D.1 答案 B

10.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 . 答案 √3 11.(2011课标,16,5分)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为 . 答案 2√7 12.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值; (2)求sin(2??+)的值.

解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.

(1)在△ABC中,因为a>b,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b=a+c-2accos B=13,所以b=√13. 由正弦定理

????=,得sin??sin????sin??3√13=. ??133√13. 1335452

2

2

1

35

π4

sin A=

所以,b的值为√13,sin A的值为(2)由(1)及a

2√13, 131213

所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sinA=-.

2

513

12

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