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§5.4 解三角形及其综合应用

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一 正弦定理和余弦定理

1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=√5,且cos C=5

6,则a=( ) A.2√2 B.3 C.3√2 D.4 答案 B

2.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则????

等于( ) A.34

2 B.3 C.√2 D.√3 答案 D

3.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2

+c2

-√3bc=a2

,bc=√3a2

,则角C的大小是( A.π或2π B.π C.2π D.π63336

答案 A

4.若△ABC的面积为√3(a2

+c2

-b2

),且∠C为钝角,则∠B= ;??4

??

的取值范围是 .

答案 π

3

;(2,+∞)

5.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)·sin C. (1)求A的大小;

(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状. 解析 (1)由已知,结合正弦定理, 得2a2

=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2

=b2

+c2

+bc.

又a2

=b2

+c2

-2bccos A,

所以bc=-2bccos A,即cos A=-12

. 由于A为三角形的内角,所以A=2π3

. (2)已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C, 结合正弦定理,

得2sin2

A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,

即sin2

A=sin2

B+sin2

C+sin Bsin C=sin

22π

=334

. 又由sin B+sin C=1,

得sin2

B+sin2

C+2sin Bsin C=1,

解得sin B=sin C=12

,

因为0

1

)

所以B=C=, 所以△ABC是等腰三角形.

π6

考点二 解三角形及其综合应用

6.在△ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为,则这个三角形的面积为( )

15√3 4

1314

A.

B. C.

15421√3 4

D.

35√3 4

答案 A

7.如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小张以D为观测点,测得A,B分别在D处的北偏西30°、北偏东30°方向,再往正东方向行驶40海里到C处,测得B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为( )

A.20√3 海里 B.40√3 海里 C.20(1+√3)海里 D.40海里 答案 B

8.设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则△ABC周长的取值范围为( ) A.(0,2+√2) B.(0,3+√3) C.(2+√2,3+√3) D.(2+√2,3

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