§5.4 解三角形及其综合应用
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 正弦定理和余弦定理
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=√5,且cos C=5
6,则a=( ) A.2√2 B.3 C.3√2 D.4 答案 B
2.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则????
等于( ) A.34
2 B.3 C.√2 D.√3 答案 D
3.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2
+c2
-√3bc=a2
,bc=√3a2
,则角C的大小是( A.π或2π B.π C.2π D.π63336
答案 A
4.若△ABC的面积为√3(a2
+c2
-b2
),且∠C为钝角,则∠B= ;??4
??
的取值范围是 .
答案 π
3
;(2,+∞)
5.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)·sin C. (1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状. 解析 (1)由已知,结合正弦定理, 得2a2
=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2
=b2
+c2
+bc.
又a2
=b2
+c2
-2bccos A,
所以bc=-2bccos A,即cos A=-12
. 由于A为三角形的内角,所以A=2π3
. (2)已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C, 结合正弦定理,
得2sin2
A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,
即sin2
A=sin2
B+sin2
C+sin Bsin C=sin
22π
=334
. 又由sin B+sin C=1,
得sin2
B+sin2
C+2sin Bsin C=1,
解得sin B=sin C=12
,
因为0 1 ) 所以B=C=, 所以△ABC是等腰三角形. π6 考点二 解三角形及其综合应用 6.在△ABC中,三边长分别为a,a+2,a+4,最小角的余弦值为,则这个三角形的面积为( ) 15√3 4 1314 A. B. C. 15421√3 4 D. 35√3 4 答案 A 7.如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小张以D为观测点,测得A,B分别在D处的北偏西30°、北偏东30°方向,再往正东方向行驶40海里到C处,测得B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为( ) A.20√3 海里 B.40√3 海里 C.20(1+√3)海里 D.40海里 答案 B 8.设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=1,A=2C,则△ABC周长的取值范围为( ) A.(0,2+√2) B.(0,3+√3) C.(2+√2,3+√3) D.(2+√2,3+√3] 答案 C 9.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m. 答案 100√6 综合篇知能转换 【综合集训】 考法一 利用正、余弦定理解三角形 1.(2019湖南四校调研联考,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A. B. C. D. 答案 B 2.(2020届福建建瓯芝华中学高三暑假学习效果检测,7)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABCC=( ) 2 ??2+??2-??2 的面积为,则 4 π6 π3 2π3 5π6 sin???? +=1,则 sin??+sin????+?? C=( ) A. B. C. D. 答案 C 3.(2019上海金山二模,7)已知△ABC中,tan A=,tan B=,AB=√17.求: 45(1)角C的大小; (2)△ABC中最短边的边长. 解析 +tan??+tan?? (1)tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-4153=-1, 1-tan??tan??1-× 4513 π2π3π4π6 13 所以C=. (2)因为tan A ???????? =, sin??sin?? ????·sin??√17×17BC==√2sin?? 2√173π4 14 √1717 . 所以 =√2. 故△ABC中最短边的边长为√2. 考法二 三角形形状的判断 4.(2020届山东济宁二中10月月考,8)在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,a=b+c-bc,则△ABC的形状是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 A 5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案 D 6.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A.90°的内角 B.60°的内角 C.45°的内角 D.30°的内角 答案 B tan??-tan????-?? =,则这个三角形必含有( tan??+tan???? ??cos??1+cos2?? =,则△ABC??cos??1+cos2?? 2 2 2 的形状是( ) ) 考法三 与三角形的面积、范围有关的问题 7.(2020届内蒙古杭锦后旗奋斗中学第一次月考,18)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积. 解析 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=(2)因为a=7,所以c=×7=3. 由余弦定理a=b+c-2cbcos A得7=b+3-2b×3×,得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6√3. 22222 2 2 2 2 2 3 7 37??sin??3√33√3=×=. ??7214 3 7 111√3 3 8.(2019江西临川一中12月月考,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2csin B=3atan A. (1)求 ??+??2 的值; ??22 (2)若a=2,求△ABC的面积的最大值. 解析 (1)2csin B=3atan A?2csin Bcos A=3asin A?2bc·cos A=3a, 2 即2bc·则 ??+??2-??22222 =3a,∴b+c=4a, 2???? 2 ??2+??2 =4. ??22 2 (2)∵a=2,∴b+c=16,∴cos A=又b+c≥2bc,即8≥bc, 2 2 ??2+??2-??26 =. 2???????? 当且仅当b=c时,取等号, ∴cos A≥=. 由cos A=得bc=则A∈(0,), ∴S△ABC=bcsin A=3tan A. 2 63 84 6????6 , cos?? π2 12 ∵1+tanA=1+∴tan A=√ sin2Acos2A+sin2A1 ==2, 22cosAcosAcosA 116√7-1≤√-1=, cos2A93 ∴S△ABC=3tan A≤√7, 故△ABC的面积的最大值为√7. 考法四 解三角形的实际应用 9.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45°,B在塔底D的南偏东60°处,在塔顶C处测得B的俯角为30°,A、B间距84米,则塔高为( ) A.24米 B.12√5 米 C.12√7 米 D.36米 答案 C 10.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=,∠BAE=,DE=3BC=3CD= km. (1)求道路BE的长度; (2)求生活区△ABE的面积的最大值. 2π 3 π3 910 解析 (1)如图,连接BD,在△BCD中,BD=BC+CD-2BC·CDcos∠BCD= 2 2 2 273√3,∴BD=(km). 10010 4