f(4)(?)R3(x)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4)
4!)的近3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367似值并估计误差。
i xi sin(xi)
0 0.32 0.314567 1 0.34 0.333487 2 0.36 0.352274 f(4)(?)3【解】依题意，n?3，拉格朗日余项公式为 R3(x)?(x?xi) ?4!i?0（1） 线性插值
因为x?0.3367在节点x0和x1之间，先估计误差
R1(x)?max(x?x0)(x1?x)f''(?)sin(?)(x?x0)(x?x1)?(x?x0)(x1?x)? 2!220.0121???104；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。
22y(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)0P1(x) ?P1(x) ?
x0x1x
x?x0x?x11?(x?x0)sin(x1)?(x1?x)sin(x0)? sin(x0)?sin(x1)?x0?x1x1?x0x1?x01?(0.3367?0.32)sin(0.34)?(0.34?0.3367)sin(0.32)? 0.021?0.0167?sin(0.34)?0.0033?sin(0.32)? ?0.02?0.3304
（2） 抛物线插值 插值误差：
?R2(x)
f'''(?)?cos(?)(x?x0)(x?x1)(x?x2)?(x?x0)(x1?x)(x?x2) 3!6max(x?x0)(x1?x)(x2?x)3?0.0131????10?6
662yy=(x-x0)(x-x1)(x-x2)Max=3(x1-x0)3/80抛物线插值公式为：
x0x1x2x
P2(x)
?(x?x0)(x?x2)(x?x1)(x?x0)(x?x1)(x?x2)sin(x0)?sin(x1)?sin(x2)
(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x1)(x2?x0)?(x1?x)(x?x0)1?(x1?x)(x2?x)?sin(x)?(x?x)(x?x)sin(x)?sin(x)00212?220.022???P2(0.3367)
10?5?3.8445?sin(0.32)?38.911?sin(0.34)?2.7555?sin(0.36)? ?0.02210?5?3.8445?sin(0.32)?38.911?sin(0.34)?2.7555?sin(0.36)? ?0.33037439? ?20.02经四舍五入后得：P2(0.3367，与sin(0.3367)?0.330374191?精确值相比)?0.330374较，在插值误差范围内完全吻合！
1.3分段插值与样条函数
?x3?x21、（p.56，习题33）设分段多项式 S(x)??322x?bx?cx?1?是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.
【解】依题意，要求S(x)在x=1节点
0?x?1
1?x?2
S?(1)?13?12?2?13?b?12?c?1?1?S?(1)，
即：b?c?1(1)
''一阶导数连续： S?(1)?3?12?2?1?6?12?2?b?1?c?S?(1)，
即：2b?c??1(2) 解方程组（1）和（2），得b??2,c?3，即
函数值连续：
导数亦连续。
?x3?x20?x?1 S(x)??321?x?2?2x?2x?3x?1''''由于S?所以S(x) 在x=1节点的二阶(1)?3?2?1?2?6?2?1?2?2?S?(1)，
2、 已知函数y?1 的一组数据，x0?0,x1?1,x2?2和y0?1,y1?0.5,y2?0.2，21?x（1）求其分段线性插值函数；
（2）计算f(1.5)的近似值，并根据余项表达式估计误差。
【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日线性插值公式，求得
S1(x)?x?x0x?x1x?1x?0y0?y1??1??0.5??0.5x?1；
x0?x1x1?x00?11?0x?x2x?x1x?2x?1y1?y2??0.5??0.2??0.3x?0.8
x1?x2x2?x11?22?11?0.30769230769?，而 S2(1.5)??0.3?1.5?0.8?0.35，21?1.5
S2(x)?（2）f(1.5)?实际误差为：|f(1.5)?S2(1.5)|?0.0423??0.05。
由f(1)?2x(x)?,22(1?x)f(2)?2(1?3x2)(x)?,23(1?x)f(3)24x(1?x2),可(x)?24(1?x)知M2?f(2)(1)?0.5，则余项表达式
M|f(2)(?)|R(x)?|(x?1)(x?2)|?2?0.52?0.54?0.0625?0.5
2!2!1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
?2x?4y?11?3x?5y?3? ??x?2y?6??2x?y?7 Q(x,y)?(2x?4y?11)2?(3x?5y?3)2?(x?2y?6)2?(2x?y?7)2，
【解】 构造残差平方和函数如下：
分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：
?Q(x,y)?0： 6x?y?17?x?Q(x,y)?0： ?3x?46y?48?y解方程组（1）和（2），得
(1)， (2)，
6?48?3?17?1.24176
273
x?46?17?48?3.04029,273y?2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如y?a?bx2 的多项式，使之与下列数据相拟合。 【解】令X?x，则y?a?bX为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得
555?25a?b?Xi?5a?b?xi??yi(1)??i?1i?1i?1?555555?a?Xi?b?Xi2?a?xi2?b?xi4??Xiyi??xi2yi?i?1i?1i?1i?1i?1?i?12 ；
(2) 依据上式中的求和项，列出下表
xi 19 25 31 38 44 yi 19 32.3 49 73.3 97.8 Xi (=xi2) 361 625 961 1444 1936 Xi2(=xi4) 130321 390625 923521 2085136 3748096 ∑
157 271.4 5327 7277699 Xi yi (=xi2yi) 6859 20187.5 47089 105845.2 189340.8 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得
5a0?5327b?271.4??b?369321.5?5327a0?7277699a?(1)(2)
271.4?7277699?369321.5?53277791878.1??0.97258；
5?7277699?5327?532780115665?369321.5?5327?271.4400859.7b???0.05004；
5?7277699?5327?53278011566即：y?0.97258?0.05004x。
2