【解答】解：设
，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，
∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．
=
=，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．
∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N）都相似，∴
*
，，
，…，
∵∴数列{∴
，∴，，…．
=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．
}是一个等差数列，其公差d=3，故
．
．
因此数列{an}的通项公式是故答案为
．
【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．
15．（5分）（2013?安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ＜时，S为四边形 ②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R= ④当＜CQ＜1时，S为六边形 ⑤当CQ=1时，S的面积为
．
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【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【解答】解：如图
=
，
当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ， 即可得截面为四边形APQM，故①正确； ③当CQ=时，如图，
延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR， 可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；
④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF， 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1?PF=
=
，故正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 16．（12分）（2013?安徽）已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+π．
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）（ω＞0）的最小正周期为
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，
]上的单调性．
【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值； （2）由于x是[0，f（x）在区间[0，
]范围内的角，得到2x+]上的单调性．
）=2）+
sinωx?cosωx+2，
cosωx
2
的范围，然后通过正弦函数的单调性求出
【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+=
（sin2ωx+cos2ωx）+
=π，∴ω=1．
）+，
=2sin（2ωx+
所以 T=
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+因为0≤x≤当当
≤2x+≤2x+
，所以≤≤
≤2x+
≤
，
时，即0≤x≤时，即
≤x≤
时，f（x）是增函数， 时，f（x）是减函数，
，
]上单调减．
所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[
【点评】本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．
17．（12分）（2013?安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a）x，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）； （Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值． 【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度； （Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=
，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判
2
2
断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a）x=0（a＞0）有两个实根x1=0，故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}， 因此区间I=（0，
（Ⅱ）设d（a）=
，则d′（a）=
，
），区间长度为
；
2
2
＞0，
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令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，
因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，
而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），
因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值
为．
【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查
分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．
18．（12分）（2013?安徽）设椭圆E：
的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上． 【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中
，解出即可；
．利用斜率的计算公式
和点斜式即可得出直线F1P的斜率
=
，直线F2P的方程为
．即
可得出Q
．得到直线F1Q的斜率
=
．利用F1Q⊥F1P，可得
=
解出点P的坐标．
．化为．与椭圆的方程联立即可
【解答】解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．
故椭圆E的方程为．
．
（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中
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