2013年安徽省高考数学试卷(理科)

【分析】由表示(x,f(x))点与原点连线的斜率,结合函数y=f(x)的图象,数形

结合分析可得答案.

【解答】解:令y=f(x),y=kx,

作直线y=kx,可以得出2,3,4个交点, 故k=

(x>0)可分别有2,3,4个解.

故n的取值范围为2,3,4. 故选B.

【点评】本题考查的知识点是斜率公式,正确理解斜率是解答的关键.

9.(5分)(2013?安徽)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=A.

?

=2,则点集{P| B.

C.

=λ D.

=

=2,说明O,A,B三点构成边长为2

|=|

表示(x,f(x))点与原点连线的

,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( )

【分析】由两定点A,B满足

的等边三角形,设出两个定点的坐标,再设出P点坐标,由平面向量基本定理,把P的坐标用A,B的坐标及λ,μ表示,把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件,画出可行域可求点集P所表示区域的面积. 【解答】解:由两定点A,B满足

=

=2,

=

,则|

|=(

2

﹣)=

2

﹣2?+=4,则||=2,说明O,A,B三点构成边长为2的等

边三角形. 不妨设A(由

),B(,得:

).再设P(x,y).

所以,解得①.

由|λ|+|μ|≤1.

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所以①等价于或或或

可行域如图中矩形ABCD及其内部区域,

则区域面积为. 故选D.

【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义,考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域,考查了数学转化思想方法,解答此题的关键在于读懂题意,属中档题.

10.(5分)(2013?安徽)若函数f(x)=x+ax+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1<x2,

2

则关于x的方程3(f(x))+2af(x)+b=0的不同实根个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6

2

【分析】求导数f′(x),由题意知x1,x2是方程3x+2ax+b=0的两根,从而关于f(x)的方

2

程3(f(x))+2af(x)+b=0有两个根,作出草图,由图象可得答案.

22

【解答】解:f′(x)=3x+2ax+b,x1,x2是方程3x+2ax+b=0的两根,

2

由3(f(x))+2af(x)+b=0,则有两个f(x)使等式成立,x1=f(x1),x2>x1=f(x1), 如下示意图象: 如图有三个交点, 故选A.

3

2

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【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解,考查数形结合思想.

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡上 11.(5分)(2013?安徽)若

的展开式中x的系数为7,则实数a=

4

【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出. 【解答】解:由通项公式Tr+1=

=

∵的展开式中x的系数为7,∴

4

,解得.

故答案为.

【点评】熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键. 12.(5分)(2013?安徽)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C= .

【分析】由3sinA=5sinB,根据正弦定理,可得3a=5b,再利用余弦定理,即可求得C. 【解答】解:∵3sinA=5sinB,∴由正弦定理,可得3a=5b, ∴a=

∵b+c=2a, ∴c=

∴cosC=∵C∈(0,π) ∴C=

=﹣

故答案为:

【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.

13.(5分)(2013?安徽)已知直线y=a交抛物线y=x于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 [1,+∞) . 【分析】如图所示,可知A在点C,使得∠ACB为直角,可得【解答】解:如图所示,可知A

2

,B,设C(m,m),由该抛物线上存

2

=0.即可得到a的取值范围. ,B

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设C(m,m),

2

,.

∵该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角, ∴

2

=

2

2

化为m﹣a+(m﹣a)=0.

2

∵m,∴m=a﹣1≥0,解得a≥1. ∴a 的取值范围为[1,+∞). 故答案为[1,+∞).

【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识,考查了推理能力和计算能力.

14.(5分)(2013?安徽)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等,设OAn=an,若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是

【分析】设

,利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线,得到

=

=,梯形A1B1B2A2的面积=3S.由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S.利用相

似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得:,,,…,

已知,,可得,….因此数列{}是一个首项为1,公差为3等差数列,

即可得到an.

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