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《数论算法》 第五章 原根与离散对数

≡g≡gr11?p?1?p1gr12?p?1??gr1??1?1??1?3?p?1?p1

r11?p?1?p12p1即 ?z1?那么,类似于确定r10的方法,由上式可以确定r11。

111?p?1??modp? r?p?1?p?g?modp?

?r11p1z?zg同理,若?1?3,可令2,则有 1gr1?r10?r11p1?g2r12p1+??r1??p1?1?1r?1?1

p1?z2??p?1?3p1=gr1?r10?r11p1???p?1?3p1≡g12?p?1??modp?

由上式可以确定r12。

以此类推,可得r13,r14,?,r1??1?1?。

另外,由上边的推导过程可以看出,在确定

r10,r11,?,r1??1?1?时,每次都要反复用到

p1gi?p?1?p1?g??p?1??i?modp?(i=0, 1, …,

p?1?p1,故为p1?1)

?了计算方便,可以令?1?g,预先计算好

),并列p)

?1,?12,?,?1p?1(显然?10?g0??p?1?1p1≡1(mod

表以备使用时直接查表即可。

【例6.4.1】设p=8101,g=6,y=7833。求x使之满足

y?gx?modp?

(解)首先有

8101=6×1350+1 6(-1350)≡1(mod 8101)

∴ 6?1≡-1350≡6751(mod 8101) 其次,分解p?1得

p?1=8100=223452

?6对p1=2,有?1?g并构造?1i表(见表6.4.1)。

表6.4.1 ?1i

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?p?1?p181002≡8100(mod 8101),

《数论算法》 第五章 原根与离散对数

?10 ?1 1 8100

2?6对p2=3,有?2?g≡5883(mod 8101),,构造?2i表(见表6.4.2)。 ?22?58832≡2217(mod 8101)

?p?1?p81003

表6.4.2 ?2i ?20 ?2 ?22 1 5883 2217 对p3=5,有?3?g?p?1?p?681005≡3547(mod 8101),构造?3i表(见表6.4.3)。

表6.4.3 ?3i ?30 ?3 ?32 ?33 ?34 1 3547 356 7077 5221

(a)p1=2,?1=2:需要分别确定r10,r11以获得

3r1=r10+r11?2。

(a.1)计算

y?p?1?p1?783381002?78334050≡8100(mod 8101)

查表6.4.1知8100=?1。所以

r10=1

(a.2)计算

z1?yg?r10?7833?6?1≡7833×6751≡5356(mod 8101)

?z1??p?1?2p1?5356810022≡1(mod 8101)

查表6.4.1知1=?10。所以

r11=0

∴ r1=1+0×2=1

(b)p2=3,?2=4:需要分别确定r20,r21,r22,r23以获

23r=r+r?3+r?3+r?3得22021。 2223(b.1)计算

y?p?1?p2?783381003?78332700≡2217(mod 8101)

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查表6.4.2知2217=?22。所以

《数论算法》

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