a000?R(f,g)?0b00?0a1a00?0b1b0?0a2a1a0??b2b1?0????a0????anan?1an?2?????b00an??0??b1??000?an0??bman?1???????
为f与g的结式. 证明：多项式f(x)与g(x)有公共根的充分必要条件是它们的结式R(f,g)?0.
第六章 特征值
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：
?1?2??0??0?130000210??0?. 3??4??1?(1) ?1?2?1400??3； (2) ?2???0?1??0?1000??0； (3) ?1??2. 已知???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn?是两个非零向量且????0，求矩阵A????的全部特征值.
3. 设A使线性空间V上的线性变换，V有一个直和分解：
V?V1?V2???Vm，
其中每个Vi是A的不变子空间. 设A限制在Vi上的特征多项式为fi(?)，求证：
A的特征多项式
f(?)?f1(?)f2(?)?fm(?).
4. 证明：n阶矩阵A以任一非零n列向量为特征向量的充分必要条件是
A?cE，其中c是常数.
5. 设
?a?A?5??1?c??1b0c??3. ??a??T如果A??1，A*有一个特征值?0且属于?0的一个特征向量为??1,?1,1?. 求
a,b,c,?0的值.
6. 判断下列矩阵是否相似于对角阵，如果是，求出可逆矩阵P，使得P?1AP为对角阵.
?2?(1) A??5??1???1?(2) A???3??3??1?304412??3； ??2???2??0. ?3??7. 矩阵A是3阶方阵，其特征值为1，1，3，对应的特征向量依次为
?2,1,0?,??1,0,1?,?0,1,1?，
求出矩阵A.
8. 设
?3?A??k??4?2?12?2??k ??3??TTT当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P?1AP为对角阵. 求出P和对角阵.
9. 求证：
(1) 如果A是幂零阵，即存在自然数k?1使Ak?0，则A的特征值全为零，
并且A不可对角化.
(2) 若A2?En，则A的特征值为1或者?1，并且A可对角化. (3) 若A2?A，则A的特征值为1或者0，并且A可对角化.
10. 设?1,?2是A的两个不同的特征值，则?1??2?1,?2分别是?1,?2的特征值，必不是A的特征向量.
11. 设V使复数域上的n维线性空间，A与B是V的两个线性变换，且
AB?BA.证明：
(1) 如果?0是A的一个特征值，那么V?是B的不变子空间.
0(2) A与B至少有一个公共的特征向量.
12. 设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，且m?n. 求证：
?Em?AB??m?n?En?BA.
13. 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换且可逆. 证明： (1) A的特征值不为零；
(2) 如果?0是A的特征值，则?0?1是A?1的特征值.
14. 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，证明：A的行列式为零的充分必要条件是A的一个特征值为零.
15. 设A是一个n阶下三角阵，证明：
(1) 如果当i?j时，aii?ajj，i,j?1,2,?,n，那么A相似于一个对角阵. (2) 如果a11?a22???ann，而至少有一个ai于对角阵.
0j0那么A不相似?0,(i0?j0)，
16. 证明：对任一n阶复方阵A，存在可逆矩阵P，使得P?1AP为上三角矩阵.
第七章 ??矩阵
1. 将下列??矩阵化为标准形：
?0???0????； (2) ??02???????2???00(??1)022?1???(1) ???1??2???202???2???00?0?. ?0?0??2. 求下列??矩阵的不变因子：
?00??0??0； (2) ??12???????2???01(??1)022?1???(1) ???0?012????2???00?0?. 0??0??3.证明
00?0an??????1?0?0an?1???0?1??0a?n?2?? ?????????????000??a2????000??1??a1???nn?1?,1,f(?)，其中f(?)???a1????an?1??an. 的不变因子是1,1,?????n?14. 设A是数域P上的n阶矩阵，证明A与AT相似. 5. 设