15.设A是n阶方阵，求证：A2?En的充分必要条件是
R(En?A)?RE(n?A?)n
16.设A是n阶方阵，求证：r(En?A)?r(A)?n.
17. 判别下列集合对于指定的运算是否构成相应的数域上的线性空间？ （1）次数等于n(n?1)的实系数多项式的集合，对于多项式的加法与实数与多项式的乘法；
（2）数域P上n维向量的集合，按通常的向量加法，而数乘定义为
k(a1,a2,?,an)?(a1,a2,?,an).
（3）[0,1]区间上可导函数的全体在函数的加法及数乘下，这里数域是实数域；
（4）平面上全体向量，对于通常的加法及如下定义的数乘：
k??0.
（5）全体正实数R?，加法与数乘定义为：
a?b?b;k?a?ak.
?2?31???5?13.给出4维线性空间P2?2的一组基，并求矩阵A??坐标.
14.求向量??(a1,a2,?,an)在基
在所给的基下的
?1?(1,1,?1,1),?2?(1,1,?1,0),?,?n?(1,0,?0,0)
下的坐标.
15.设V实数域上次数不超过n的多项式全体所称的实线性空间，求证：
1,x,x,?,x2n是V的一组基.
16.设V是数域P上n阶上三角阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘下V是线性空间，并求出V的维数.
17.设V是数域P上n阶上对称矩阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘下V是线性空间，并求出V的维数.
18.设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，?1,?2,?,?n是V中的一组向量，如果?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n等价，那么?1,?2,?,?n也是线性空间V的一组基.
19.设W1，W2是线性空间V的两个子空间，且W1?W2，证明：如果
dimW1?dimW2，则W1?W2.
20.设A?Pn?n，
（1）证明：全体与A可交换的矩阵组成Pn?n的一个子空间C(A)； （2）当A?E时，求C(A)； （3）当
?1?0A??????002?0????0??0? ???n?时，求C(A)的维数及它的一组基.
21. 设W1,W2,?,Ws是数域P上线性空间V的s个真子空间，证明：在V必存在一个向量?，它不属于W1,W2,?,Ws中任何一个.
22.设?1,?2,?,?n是n维线性空间V的一组基，A是一个n?s矩阵，
(?1,?2,?,?s)?(?1,?2,?,?n)A.
证明：L(?1,?2,?,?s)的维数等于A的秩.
23.设W1，如果?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s分W2是线性空间V的两个子空间，别是W1与W2的基，且W1?W2是直和，则?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s就是W1?W2的一组基.
24. 设n阶方阵A?(aij)的行列式等于零，则A*的秩不超过1. 25.设W1，W2分别是数域P上的齐次线性方程组
?x1?x2???xn. ??x1?x2???xn?0证明：n维列向量空间V?W1?W2.
26.求下列齐次线性方程组的基础解系：
?x1?x2?x3?x4?x5?0,??3x1?2x2?x3?x4?3x5?0,(1) ?
x?2x?2x?6x?0,2345??5x?4x?3x?3x?x?0;2345?1?x1?x2?2x3?x4?0,??x1?2x2?x3?x4?0,(2) ?
x?2x?x?0,234??2x?4x?x?x?0.234?127.讨论?,a,b取何值是，下列方程组有解，并求解：
??x1?x2?x3?1,?(1) ?x1??x2?x3??,
?2x?x??x??;23?1?ax1?x2?x3?4,?(2) ?x1?bx2?x3?3,
?x?2bx?x?4.23?128.?取何值时线性方程组
?x1?x2?x3?1,??3x1?2x2??x3?4, ?x??x?3x?3.23?1无解？有唯一解和无穷多解？并求出一切解.
29.设四元齐次线性方程组（I）为
?2x1?3x2?x3?0, ??x1?2x2?x3?x4?0.已知另一四元齐次线性方程组（II）的一个基础解系为
?1?(2,?1,a?2,1),?2?(?1,2,4,a?8).
TT1）求方程组（I）的一个基础解系；
2）当a为何值时，方程组（I）与（II）有非零的公共解. 30.齐次线性方程组
?x1?2x2?3x3?0???x1?bx2?cx3?0（I）?2x1?3x2?5x3?0 和（II）? 2??x?x?ax?0?2x1?bx2?(c?1)x3?023?1同解，求a,b,c的值.
31.设
?a1,?x1?x2?x2?x3?a2,??x3?x4?a3, ??x4?x5?a4,???x5?a5.??x15证明：该方程组有解的充分必要条件是?ai?0. 在有解的情形，求出它的一般
i?1解.