高等代数习题库
第一章 行列式
1. 决定以下排列的反序数，从而决定它们的奇偶性. (1) 134782695 (2) 217986354 (3) 987654321
2. 如果排列x1x2?xn?1xn的反序数为k，排列xnxn?1?x2x1的反序数是多少? 3. 写出4阶行列式中所有带有负号并且包含因子a2a3的项. 4. 按定义计算行列式
0010?0002?00????00?n?1000??02???0010?0000? 0n(1) ?0n; (2)
?n?10x1x2111x2xa1j2a2j2?anj22?111??a1jna2jn??anjn5. 设 f(x)?131a1j1，不计算行列式，求展开式中x3的系数.
6. 求
?j1j2?jna2j1?anj1，这里
?j1j2?jn是对所有n元排列求和.
7. 证明：
a11(t)a11(t)da21(t)dt?an1(t)a12(t)a22(t)?an2(t)???a1n(t)a2n(t)?ann(t)n??ddtddt?ddta1j(t)a2j(t)??a1n(t)a2n(t)???j?1a21(t)?an1(t)
?anj(t)?ann(t)8. 计算下列行列式.
246427543721327443; (2) 621xyx?yyx?yxx?yxy123412222341241232222(1) 1014?342; (3)
234
1?x11?x11111?y111101111?y73?9?2?324736934a2222(a?1)(b?1)(c?1)(d?1)2222(a?2)(b?2)(c?2)(d?2)12235?74(a?3)(b?3)(c?3)(d?3)410(4)
11101011; (5)
bcd
11013751321 210(6)
111; (7)
875; (8) 321111675739. 已知n阶行列式
a11D?a21?an1b1,b2,?,bn为常数，若Da12a22?an2????a1na2n?ann
的值为c，求下列行列式的值:
a11b1?an1bnb12a12b1b2a22b2?an2bnb22????a1nb1bna2nb2bn?annbn2a21b2b1
10. 设D是n阶行列式，若D的元素间满足关系：
aij??aji(i,j?1,2,?,n)
则称D是一个反对称行列式. 求证：当n是奇数时, n阶反对称行列式的值为零.
11. 计算下列n阶行列式
1112103???1012222223???222； ?22?n(1) 10?100； (2) 2??20?nx?aaax?aaaax?a???aaa?(3)
a?a；
aa?x?a1?a1111?a21111?a31???111?(ai?0,i?1,2,?,n)；
(4)
1?11?1?an2a1a2aa2n(a?1)(a?1)?a?11n??(a?n)(a?n)?n2a1a??1a2n?1n?1n?1(5)
?? ； (6)
2a?a1；
??a?n1x0yx0y??0000?； (8)
1?a1a1a1?a1a21?a2a2a2a3a31?a3a3???ananan?1?an(7) ?0y0000??x0
yx?12. 证明
b?cc?ac1?a1c2?a2yz0xzyx0?01110a?babb1b2cc1； c2(1) b1?c1b2?c20x0zya1?b1?2a1a2?b210zy22a21z21yx22(2)
xyz0x???2;(xyz?0)
0000?000?????1?????1?0??????0(3)
0?0?n?1??n?1???;(???)
?1???cos?112cos?1?0012cos??0???000?000?2cos??cosn?.
(4)
0?0?113. 计算下列行列式的值
a1nna1a2n?1n?1b1b2a1a2n?2n?2b122??a1b1?n?1n?1b1b2?nn(1)
a2?nb22a2b2?an?1bn?1n?1?an?1bn?1n?2;(ai?0,bi?0,i?1,2,?,n?1);
an?1?an?1bn?1n?1bn?1n12234?12345?3???n12?x?aax?a??aaax??a???aaa?aaa; ?x(2) 3?n; (3) ?a??a?n?1??ax1?a1a1a2x2?a2ana21x2??2??a1ana2an?xn?an2(4)
a2a1?ana11x1;(xi?0)
1xn?xbaxbaax???aaaaaa?(5)
?x1n?2n1; (6)
b?bb;
x2n?2n2?????xnn?2nnxxyxz?zzxyyy?bbbb?bxbaxxzyyx?zzyyy?yx(7)
z?zz ；
??xz720572005720057????000000000000? (8)
0?000
000000000???720572057
14. 利用Laplace定理计算
an?101?11231012021311?12?1; (2) 03bnan?1?a1c1?cn?1b1d1?dn?1dn?bn?1(1) 210
cn15. 利用Laplace定理证明
a11?ak1ak?1,1?an1??????a1k?akkak?1,k?ank0?0ak?1,k?1?an,k?1??????0?0ak?1,n?anna11??ak1???a1k??akkak?1,k?1?an,k?1???ak?1,n?ann
16. 设a1,a2,?,an;b1,b2,?,bn都是实数，且ai?bj?0,i?1,2,?,n,j?1,2,?,n.计算行列式D的值，其中
1a1?b11D?a2?b1?1an?b11an?b2?1a1?b21a2?b2?1a1?bn1a2?bn?1an?bn?
17. 用克拉默法则解下列方程组
?x1?2x2?3x3?2x4??2x1?x2?2x3?3x4(1) ??3x1?2x2?x3?2x4?2x?3x?2x?x234?1?x1?4x2?x3?14x4??2??8?x1?x2?x3?x4?5 ; (2) ? ?4?x1?2x2?x3?4x4??2?2x?x?x?x?2??8234?1?5x1?6x2?1?x?5x2?6x3?0?1??x2?5x3?6x4?0 ?x?5x?6x?045?3??x4?5x5?1?6?x1?2x2?2x3?4x4?x5??1?2x?x2?3x3?4x4?2x5?8?1?(3) ?3x1?x2?x3?2x4?x5?3; (4)
?4x?3x?4x?2x?2x??22345?1??x1?x2?x3?2x4?3x5??318. 设水银密度h与温度t的关系为
h?a0?a1t?a2t?a3t23
由实验测定得以下数据：
t|0?Ch|13.6010?C13.5720?C13.5530?C13.52
求t?15?C,40?C时水银密度(准确到小数两位).
19 在几何空间中有不在同一直线上的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)和
M3(x2,y2,z3)，试建立用行列式表示的过这三点的平面方程.
20. 设
L1:?x??y???0, L2:?x??y???0,
L3:?x??y???0,是三条不同的直线，若L1,L2,L3交于一点，试证： ??????0
第二章 矩 阵
1. 设A是n阶矩阵，k是一个数，试问det(kA)与kdet(A)有什么关系？
?3?2. 设A??2?1?1121??1??2,B?2????13??1?10?1??0，计算AB,AB?BA. ?1??3. 计算
(1)
?2?3??0?1111??0?2??2?1; (2) ??01??cos?; (3) ??1??sin?n?sin???; cos??n(4) ??312?4???0?; (5) 5???7????3???4???0????3?7????3????112?5?; (6) ?0?0??00??1????n;
(7) ?xy?a11?1?a21??b?1a12a22b2b1??x????b2y; (8) ?????c???1??1??1???1???1?11?1?1?1?11?1?1???1??1??1?n
4. 求所有与矩阵A可交换的矩阵.
?1?(1)A?0??3?0110??2;?2???0?(2)A?0??0?1000??1 ?0??5. 证明：若n阶矩阵A与所有的n阶矩阵可交换,那么A一定是数量矩阵. 6. 在中学代数中,有平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2,现设A,B是两个n阶矩阵,问对于矩阵是否有(A?B)(A?B)?A2?B2成立?为什么?
7. 用Eij表示i行j列的元素为1,而其余元素全为零的n?n矩阵,而
A?(aij)n?n.证明：
(1) 如果AE12?E12A,那么当k?1时ak1?0,当k?2时a2k?0; (2) 如果AEij?EijA,那么当k?i时aki?0,当k?j时ajk?0且aii?ajj; (3) 如果A与所有的n阶矩阵相乘可交换,那么A一定是数量矩阵,即A?aE. 8. 如果A?12(B?E),证明：A2?A当且仅当B2?E.
9. 矩阵A称为对称的,如果AT?A,证明：如果A是实对称阵且A2?0,那么
A?0.
10. 矩阵A称为反对称的,如果AT??A,证明:任一n?n矩阵都可以表示为一对称阵与一反对称阵之和.
11. 设A?(aij)是n阶矩阵,则A主对角线上元素之和a11?a22???ann称为矩阵A的迹,记为trA. 设A,B为n阶矩阵,k是常数,求证：
(1) tr(A?B)?trA?trB； (2) tr(k?A)?k?trA； (3) tr(AB)?tr(BA). 12. 求证：
(1) 上(下)三角阵的逆矩阵也是(下)三角阵； (2) 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵； (3) 反对称矩阵的逆矩阵也是反对称矩阵.
?1?13. 设A??0?0?2403??5,用初等变换的方法求A?1,通过求A?1来回答下面的问?6??题：可逆的上三角阵
?b11?0?B?????0b12b220??b1n??b2n? ???bnn??的逆矩阵还是上三角阵吗?为什么?
14. 解矩阵方程.
?2?(1) X?1??1?2?123??1??0??1???1???2?1100??1; ?1??0201??0. ?1???1?(2) X?AX?A2?E,其中A??0?1?15. 若n阶矩阵A,B都可逆,问A?B,AB也可逆吗?为什么? 16. 把下列矩阵化为它的等价标准形.
?2?3?(1) A???1??41214?11111??0??02?; (2) A????32???3??11?1211103?1??2? ?1??2??1?17. 设A??1?0??2?1?101?10??Er?1,求可逆矩阵P与Q,使得PAQ????0?1??0??0?.
18. 求A?1,设
?2?(1) A??1??1?2?123??1??0; (2) A?2????11??11?1?1?1??1?0;(3) A????10????1127?3001?10??0?; 8???6?11?1?11?11?11???1?; ?1??1??1?2(4) A???1??1?2?0?(6) A??0??0?0?231012000311?201200001204??2??23?; (5) A???5?1????6???10??0?0? ?1?2??19. 若A,B为n阶矩阵, En?AB可逆,求证：En?BA也可逆. 20. 对n阶矩阵A,B,求证： (AB)*?B*A*. 21. 求证：若n?2,则(A*)*?|A|n?2A. 22. 计算下列分块矩阵的乘法.
23. 设有分块矩阵C???0?BA??,其中A,B0?为可逆矩阵,求C的逆矩阵.
24. 设A,B为n阶方阵,求证：
25. 设AB?BA,求证:
AB?BA?|A?B|
22ABBA?|A?B||A?B|
26. 设A是4阶矩阵, |A|?2, 求|4A?1?A*|的值. 27. 设A是n阶方阵且A2?A,求证: En?2A是可逆矩阵.
28. 若n?3,求证下列行列式的值为零.
1?x1y11?x2y1?1?xny11?x1y21?x2y2?1?xny2????1?x1yn1?x2yn?1?xnyn
29. 设A,B,C,D都是n阶矩阵,求证：
AM?BCDBADCCDABDCBA?|A?B?C?D||A?B?C?D||A?B?C?D||A?B?C?D|
30. 设A,B分别是n?m和m?n矩阵.证明：
EmABEn?|En?AB||Em?BA|
31. 设A,B分别是n?m和m?n矩阵, ??0.证明：
|?En?AB|??n?m|?Em?BA|
32. 设A,B分别是n阶方阵,证明：若A?B,A?B都是可逆矩阵,则?是可逆矩阵,并求其逆矩阵.
?E(提示：??0E??A??E??BB??E??A??0?E??A?B???E??B??). A?B?0?A?BB??A?也
33. 设A,B,C,D都是n阶方阵, A是可逆矩阵, 且AC?CA. 求证：
ACBD?AD?CB.
??). ?1D?CAB?0?E(提示：??1??CA0??A??E??CB??E??D??0?1?AB??A???E??0
第三章 线性空间
1. 已知向量
?1??1,0,3,0?,?2??0,1,1,0?,?3??0,0,1,2?,
求解下列向量方程5x?2?1??2??3.
2. 已知向量
?1??1,0,0,0?,?2??0,1,0,0?,?3??0,0,1,0?,?4??0,0,0,1?，a??2,0,3,1?.
求x1,x2,x3,x4使得a?x1?1?x2?2?x3?3?x4?4.
3. 设向量组?1,?2,?3线性无关，?2,?3,?4线性无关，问?1,?2,?3,?4是否线性无关？
4. 若?，?，?是三个n维向量，?与?线性无关，?与?线性无关，?与
?线性无关. 问?，?，?是否线性无关？
5. 已知m个向量?1,?2,?,?m线性相关，但其中任意m?1个向量都线性无关，证明
（1）如果k1?1?k2?2???km?m??，则k1,k2,?,km或者全为0，或全不为0. （2）如果存在两个等式
k1?1?k2?2???km?m??， l1?1?l2?2???lm?m??，
其中l1?0，则
k1l1?k2l2???kmlm.
6. 设?，?，?线性无关，证明???，???，???也线性无关. 7. 设n维列向量?1,?2,?,?m线性无关，则A?1,A?2,?,A?m线A是可逆阵，性无关.
8. 设?可由向量组?1,?2,?,?m线性表示，但不能由其中任何一个个数少于
m的部分向量组线性表示，求证：?1,?2,?,?m线性无关.
9. 设?1,?2,?,?n是一组n维向量，如果单位向量?1,?2,?,?n可由它们线性表示，则?1,?2,?,?n线性无关.
10.设?1,?2,?,?n是一组n维向量，证明：?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是任一n维向量都可以由它们线性表示.
11. 设?1??2??3????r,?2??1??3????r,?,?r??1??2????r?1，证明?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r有相同的秩.
r12. 设?1,?2,?,?r是一组线性无关的向量，?i?明：?1,?2,?,?r线性无关的充要条件是
a11a21?ar1a12a22?ar2????a1ra2r?arr?0.
?aj?1ij?j,i?1,2,?,r. 证
13. 一个向量组的任何一个线性无关的向量组都可以扩充为一极大无关组. 14.求证：n阶方阵A是幂等矩阵（A2?A）的充分必要条件是
R(A)?R(En?A)?n.
15.设A是n阶方阵，求证：A2?En的充分必要条件是
R(En?A)?RE(n?A?)n
16.设A是n阶方阵，求证：r(En?A)?r(A)?n.
17. 判别下列集合对于指定的运算是否构成相应的数域上的线性空间？ （1）次数等于n(n?1)的实系数多项式的集合，对于多项式的加法与实数与多项式的乘法；
（2）数域P上n维向量的集合，按通常的向量加法，而数乘定义为
k(a1,a2,?,an)?(a1,a2,?,an).
（3）[0,1]区间上可导函数的全体在函数的加法及数乘下，这里数域是实数域；
（4）平面上全体向量，对于通常的加法及如下定义的数乘：
k??0.
（5）全体正实数R?，加法与数乘定义为：
a?b?b;k?a?ak.
?2?31???5?13.给出4维线性空间P2?2的一组基，并求矩阵A??坐标.
14.求向量??(a1,a2,?,an)在基
在所给的基下的
?1?(1,1,?1,1),?2?(1,1,?1,0),?,?n?(1,0,?0,0)
下的坐标.
15.设V实数域上次数不超过n的多项式全体所称的实线性空间，求证：
1,x,x,?,x2n是V的一组基.
16.设V是数域P上n阶上三角阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘下V是线性空间，并求出V的维数.
17.设V是数域P上n阶上对称矩阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘下V是线性空间，并求出V的维数.
18.设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，?1,?2,?,?n是V中的一组向量，如果?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n等价，那么?1,?2,?,?n也是线性空间V的一组基.
19.设W1，W2是线性空间V的两个子空间，且W1?W2，证明：如果
dimW1?dimW2，则W1?W2.
20.设A?Pn?n，
（1）证明：全体与A可交换的矩阵组成Pn?n的一个子空间C(A)； （2）当A?E时，求C(A)； （3）当
?1?0A??????002?0????0??0? ???n?时，求C(A)的维数及它的一组基.
21. 设W1,W2,?,Ws是数域P上线性空间V的s个真子空间，证明：在V必存在一个向量?，它不属于W1,W2,?,Ws中任何一个.
22.设?1,?2,?,?n是n维线性空间V的一组基，A是一个n?s矩阵，
(?1,?2,?,?s)?(?1,?2,?,?n)A.
证明：L(?1,?2,?,?s)的维数等于A的秩.
23.设W1，如果?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s分W2是线性空间V的两个子空间，别是W1与W2的基，且W1?W2是直和，则?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s就是W1?W2的一组基.
24. 设n阶方阵A?(aij)的行列式等于零，则A*的秩不超过1. 25.设W1，W2分别是数域P上的齐次线性方程组
?x1?x2???xn. ??x1?x2???xn?0证明：n维列向量空间V?W1?W2.
26.求下列齐次线性方程组的基础解系：
?x1?x2?x3?x4?x5?0,??3x1?2x2?x3?x4?3x5?0,(1) ?
x?2x?2x?6x?0,2345??5x?4x?3x?3x?x?0;2345?1?x1?x2?2x3?x4?0,??x1?2x2?x3?x4?0,(2) ?
x?2x?x?0,234??2x?4x?x?x?0.234?127.讨论?,a,b取何值是，下列方程组有解，并求解：
??x1?x2?x3?1,?(1) ?x1??x2?x3??,
?2x?x??x??;23?1?ax1?x2?x3?4,?(2) ?x1?bx2?x3?3,
?x?2bx?x?4.23?128.?取何值时线性方程组
?x1?x2?x3?1,??3x1?2x2??x3?4, ?x??x?3x?3.23?1无解？有唯一解和无穷多解？并求出一切解.
29.设四元齐次线性方程组（I）为
?2x1?3x2?x3?0, ??x1?2x2?x3?x4?0.已知另一四元齐次线性方程组（II）的一个基础解系为
?1?(2,?1,a?2,1),?2?(?1,2,4,a?8).
TT1）求方程组（I）的一个基础解系；
2）当a为何值时，方程组（I）与（II）有非零的公共解. 30.齐次线性方程组
?x1?2x2?3x3?0???x1?bx2?cx3?0（I）?2x1?3x2?5x3?0 和（II）? 2??x?x?ax?0?2x1?bx2?(c?1)x3?023?1同解，求a,b,c的值.
31.设
?a1,?x1?x2?x2?x3?a2,??x3?x4?a3, ??x4?x5?a4,???x5?a5.??x15证明：该方程组有解的充分必要条件是?ai?0. 在有解的情形，求出它的一般
i?1解.
32. 设A,B是数域P上的n阶方阵，如果线性方程组Ax?0和Bx?0同解，且每个方程组的基础解系都含m个线性无关的向量. 证明：R(A?B)?n?m.
33. 设A是秩为r的m?n矩阵，求证：必存在一个秩为n?r的n?(n?r)的矩阵B，使得AB?0
34. 设A是秩为r的m?n矩阵，?1,?2,?,?n?r与?1,?2,?,?n?r是齐次线性方程组Ax?0的两个基础解系，求证：必存在n?r阶可逆矩阵Q，使得
(?1,?2,?,?n?r)?(?1,?2,?,?n?r)Q.
35. 设线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?0,??a12x1?a22x2???a2nxn?0,??......?an?1,1x1?an?1,2x2???an?1,nxn?0?
的系数矩阵为
?a11?a21A???......??a?n?1,1a12a22an?1,2........................a1n??a2n?. ......??an?1,n??设Mi是矩阵A中划去第i列剩下的(n?1)?(n?1)矩阵的行列式.
(1) 证明：(M1,?M2,?,(?1)n?1Mn)是方程组的一个解；
(2) 如果A的秩为n?1，则方程组的解全是(M1,?M2,?,(?1)n?1Mn)的倍数.
第四章 线性变换
1. 判别下面的变换，哪些是线性变换，哪些不是：
(1) 在线性空间V中，A(?)????，其中??V是一固定的向量； (2) 在线性空间V中，A(?)??，其中??V是一固定的向量；
(3) 在线性空间Pn[x]中，Af(x)?f?(x)；
(4) 在线性空间P3中，A(x1,x2,x3)?(x12,x2?x3,x32)；
A(x1,x2,x3)?(0,x1x2x3,0)；
A(x1,x2,x3)?(x1?x2,x2?x3,x3?x1)； A(x1,x2,x3)?(0,x1?x2?x3,0)；
(5) 在Pn?n中，A(X)?AXB, 其中A,B是Pn?n中两个固定的矩阵. 2. 设A是数域P上线性空间V上的线性变换，W1,W2是V的两个子空间，且有V?W1?W2.证明：A可逆的充分必要条件是V?A(W1)?A(W2).
3. 证明：1,x?1,x2?x?1是线性空间P3[x]的一组基. 并求出线性变换
Af(x)?f?(x)
在这组基下的矩阵.
4. 在P2?2中定义线性变换
?aA1(X)???c?aA2(X)?X??c?aA3(X)???cb??Xd?；
b??； d?b??d?b??a?X?d??c.
分别求出A1，A2，A3在基I11,I12,I21,I22下的矩阵.
5. 设在数域P上的三维线性空间V上的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为
?a11?A?a21??a?31a12a22a32a13??a23. ?a33??求
(1) A在基?3,?2,?1下的矩阵；
(2) A在基?1,k?2,?3下的矩阵，其中k?P，且k?0； (3) A在基?1??2,?2,?3下的矩阵.
6.设A,B是线性变换，如果AB?BA=E, 证明：
AB?BAkk=kAk?1,k是大于1的正整数.
7.设n阶矩阵A和B相似，且A可逆. 则AB与BA相似.
8.设V是数域P上的二维线性空间，线性变换A在基?1,?2下的矩阵是
?2???11??. 0??1,?2也是V的一组基，且从基?1,?2到?1,?2的过渡矩阵为
?1???1?1??. 2??2求A在基?1,?2下的矩阵及???11??,k为正整数. 0?k9.证明：方阵
?a1??????ai1???? 与 ??????an?????? ?ain??a2?ai2?相似，其中i1,i2,?,in是1,2,?,n的一个排列.
10.如果A和B相似，C和D相似，证明
?A??00??C?与?B??00??D?
相似.
11. 设A是n维线性空间V的一个线性变换，且A在V中存在一组基，使得A在这组基下的矩阵是
?0?1??0????0?001?0?????000?10??0?0? ???0??n?1?0，An ?0. 证明：
12.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一组基，线性变换A在基?1,?2,?3,?4下的矩阵是
?1??1??1??2022?221511??3?. 5???2?(1) 求A在基?1??1?2?2??4,?2?3?2??3??4,?3??3??4,?3?2?4下的矩
阵；
(2) 求A的值域与核；
(3) 在A的值域中选择一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵；
(4) 在A的核中选择一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵.
13. 设A是有限维线性空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间. 证明：
dimA(W)?dim[A?1(0)?W]?dimW.
14. 设A,B是n维线性空间V线性变换. 证明：
AB的秩?A的秩+B的秩?n.
15. 设A1,A2,?,As是线性空间V的s个两两不同的线性变换，则在V中必存在向量?，使得A1(?),A2(?),?,As(?)也两两不同.
16. 设A,B是线性空间V线性变换，且A2=A ，B2=B. 证明：
(1) A,B有相同的值域?AB?B,BA?A； (2) A,B有相同的核?AB?A,BA?B. 17. 设A是n维线性空间V线性变换. 证明：
A的秩=A2的秩?V?A(V)?A?1(0)
18. 设W是线性空间V的一个子空间，A是V的一个线性变换. 证明：如果W是A的不变子空间，则可以选择适当的基，使得A在这组基下的矩阵具有如下形状：
?A??0C??. B?W是V的子空间，19.设A是n维线性空间V的可逆的线性变换，且对于A不变.证明：W也是A?1的不变子空间.
220. 设A是n维线性空间V线性变换，且A(1) A?1=A. 证明：
(0)?{??A(?)|??V}；
(0)(2) 若B是V线性变换，则A是AB?BA
?1与A(V)都是B的不变子空间的充要条件
第五章 多项式
1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)及余式r(x)： (1) f(x)?x4?2x3?3x?1， g(x)?x2?2x?3； (2) f(x)?x3?x2?2x?3， g(x)?2x2?x?1.
22. 设f(x)?x4?2x3?3x2?ax?b，g(x)?x?3x?1. 如果g(x)除f(x)后余
式为x?3，试求a,b的值.
3. m,p,q满足什么条件时，有 (1) x2?3x?2|x4?mx2?px?2; (2) x2?mx?1|x4?px2?q.
4. 利用综合除法将多项式f(x)?x4?6x3?12x2?5x?7按x?1的方幂展开. 5. 证明：如果f(x)|g(x)，且degf(x)?degg(x)，则g(x)|f(x). 6. 证明：如果x|fk(x)，则x|f(x). 其中k为正整数.
7. 如果(x?1)|f(xn)，问是否必有(xn?1)|f(xn)？如果不成立，请给出反例，如果成立，请说明理由.
8. 求f(x)与g(x)的最大公因式：
(1) f(x)?3x4?6x3?5x2?5x?2，g(x)?x5?4x3?x2?3x?1； (2) f(x)?x4?4x3?1， g(x)?x3?3x2?1.
9. 求u(x),v(x)使得u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))：
(1)f(x)?3x5?5x4?16x3?6x2?5x?6，g(x)?3x4?4x3?x2?x?2； (2)f(x)?x4?x3?4x2?4x?1，g(x)?x2?x?1.
310. 设f(x)?x3?(1?t)x2?x?u，g(x)?x?tx?u的最大公因式是一个二次
多项式，求t,u的值.
11. 证明：(f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x)，其中h(x)的首项系数为1.
12. 设u(x)f(x)?v(x)g(x)?d(x)，请举例说明d(x)不一定是f(x)与g(x)的最大公因式.并证明：d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式，当且仅当d(x)是它们的公因式.
13. 证明：如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.
14. 设f(x),g(x)是不全为零的两个一元多项式，求证：
??f(x)g(x),???1.
(f(x),g(x))(f(x),g(x))??15. 设h(x)是一元多项式f(x)与g(x)的一个公因式且首项系数为1. 证明：
?f(x)g(x)?(f(x),g(x)),. ???h(x)h(x)h(x)??16. (f(x),g(x))?1?(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1 17. 如果一元多项式f(x)与g(x)不全为零，且
u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))，
则(u(x),v(x))?1.
18. 证明：只要满足等式
u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))
f(x)(f(x),g(x)),g(x)(f(x),g(x))的次数大于零，就可以适当的选择
的u(x)与v(x)，使得
degu(x)?degf(x)(f(x),g(x)),degv(x)?degg(x)(f(x),g(x)).
19. 如果多项式m(x)满足： (1) f(x)|m(x)，g(x)|m(x)；
(2) f(x),g(x)的任一个公倍式都是m(x)的公倍式，
则称m(x)为f(x),g(x)的一个最小公倍式，记为[f(x),g(x)]. 证明：如果
f(x),g(x)的首项系数都是1，那么
[f(x),g(x)]?f(x)g(x)(f(x),g(x)).
20. 设p(x)是次数大于零的多项式，如果对于任意多项式f(x),g(x)，由
p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)，那么p(x)是不可约多项式.
21. 设f(x),g(x)是不全为零的两个一元多项式，求证：
(f,g)n?(fn,gn) （n为正整数）. 22. 设f(x),g(x)是不全为零的两个一元多项式，且
P??f(x)s(x)?g(x)t(x)|s(x),t(x)?P[x]?.
证明：P中次数最低的多项式是f(x)与g(x)的最大公因式.
23. 设f1(x),f2(x),?,fn(x)的最大公因式是d(x)，则必存在
g1(x),g2(x),?,gn(x)，使得
f1(x)g1(x)?f2(x)g2(x)???fn(x)gn(x)?d(x).
特别地，f1(x),f2(x),?,fn(x)互素?存在g1(x),g2(x),?,gn(x)使得
f1(x)g1(x)?f2(x)g2(x)???fn(x)gn(x)?d(x).
24. 设f(x),g(x)是数域P上的两个一元多项式，k为给定的正整数. 证明：
f(x)|g(x)?f(x)|g(x).
kk
25. 如果一元多项式f(x)与g(x)互素，则f(xk)与g(xk).其中k为正整数. 26. 判别下列多项式有无重因式： (1) f(x)?x4?6x3?2x2?x?1； (2) f(x)?x4?4x3?2x2?4x?3. 27. 求s,t使得下列多项式有重根： (1) f(x)?x4?x3?sx2?x?1； (2) f(x)?x3?sx?t.
28. 设p(x)是一个不可约多项式. 证明p(x)是f(x)的k重因式，当且仅当
p(x)|f(x),p(x)|f?(x),?,p(x)|f(k?1)(x),p(x)|f(k)(x).
29. 举例说明，若不可约多项式p(x)是f?(x)的k?1重因式，而p(x)不一定是f(x)的k重因式. 又当p(x)是f(x)的因式时情形如何？
30. 求xk?1在实数域及复数域上的因式分解. 其中k为正整数. 31. 证明：c?1是多项式f(x)?x3?3x2?8x?4实根的一个上界. 32. 求下列多项式的有理根： (1) f(x)?x3?3x2?8x?4； (2) f(x)?2x3?5x2?x?3； (3) f(x)?4x4?x3?3x?6.
33. 设f(0),f(1)都是奇数，则f(x)没有整数根. 34. 证明下列多项式在有理数域上不可约： (1) 7x4?3x3?3x?6； (2) x6?10x4?2； (3) xp?px?p，p为素数. 35. 若p为素数，证明：
f(x)?xp?1?xp?2???x?1
在有理数域上不可约.
36. 设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0?0,an?0为整系数多项式. 如果
存在素数p满足： (1) p?|a0；
(2) p|ai,i?1,2,?,n； (3) p2?|an，
则f(x)在有理数域上不可约，是否正确？
37. 设既约分数
pq是整系数多项式f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0?0的
根，证明：p|a0，q|an.
38. 设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0?0是实系数多项式，证明： (1) 如果(?1)iai全是正数，则f(x)没有负实根； (2) 如果(?1)iai全是负数，则f(x)没有负实根； (3) 如果ai全正或全负，则f(x)没有实数根.
39. 设f(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an)?1，其中ai(i?1,2,?,n)是两两不同的整数. 证明：f(x)在有理数域上不可约.
40. 设p为素数，a为整数，p2|a?1，f(x)?axp?px?1，证明：f(x)没有有理根.
41. 设f(x)是有理数域上的n(n?2)次多项式，且在有理数域上不可约，如果f(x)一个根的倒数也是f(x)的根. 证明：f(x)每一个根的倒数也是f(x)的根.
42. 一个非零复数?是某一有理系数非零多项式的根当且仅当存在一个有理系数多项式f(x)使得f(?)?1?.
43. 用初等对称多项式表出下列对称多项式： (1) (x1?x2)(x2?x3)(x3?x1)； (2) (x1x2?x2)(x2x3?x3)(x3x1?x1)； (3) x12x22?x12x32?x22x32?x22x12?x32x12?x32x22；
33?x3?(x1?x2)(x2?x3)(x3?x1) (4) x13?x244. 设
f(x)?a0x?a1xg(x)?b0xmnn?1???an?1x?an，
?b1xm?1???bm?1x?bm.
称下面的m?n阶行列式：
a000?R(f,g)?0b00?0a1a00?0b1b0?0a2a1a0??b2b1?0????a0????anan?1an?2?????b00an??0??b1??000?an0??bman?1???????
为f与g的结式. 证明：多项式f(x)与g(x)有公共根的充分必要条件是它们的结式R(f,g)?0.
第六章 特征值
1. 求下列矩阵的特征值与特征向量：
?1?2??0??0?130000210??0?. 3??4??1?(1) ?1?2?1400??3； (2) ?2???0?1??0?1000??0； (3) ?1??2. 已知???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn?是两个非零向量且????0，求矩阵A????的全部特征值.
3. 设A使线性空间V上的线性变换，V有一个直和分解：
V?V1?V2???Vm，
其中每个Vi是A的不变子空间. 设A限制在Vi上的特征多项式为fi(?)，求证：
A的特征多项式
f(?)?f1(?)f2(?)?fm(?).
4. 证明：n阶矩阵A以任一非零n列向量为特征向量的充分必要条件是
A?cE，其中c是常数.
5. 设
?a?A?5??1?c??1b0c??3. ??a??T如果A??1，A*有一个特征值?0且属于?0的一个特征向量为??1,?1,1?. 求
a,b,c,?0的值.
6. 判断下列矩阵是否相似于对角阵，如果是，求出可逆矩阵P，使得P?1AP为对角阵.
?2?(1) A??5??1???1?(2) A???3??3??1?304412??3； ??2???2??0. ?3??7. 矩阵A是3阶方阵，其特征值为1，1，3，对应的特征向量依次为
?2,1,0?,??1,0,1?,?0,1,1?，
求出矩阵A.
8. 设
?3?A??k??4?2?12?2??k ??3??TTT当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P?1AP为对角阵. 求出P和对角阵.
9. 求证：
(1) 如果A是幂零阵，即存在自然数k?1使Ak?0，则A的特征值全为零，
并且A不可对角化.
(2) 若A2?En，则A的特征值为1或者?1，并且A可对角化. (3) 若A2?A，则A的特征值为1或者0，并且A可对角化.
10. 设?1,?2是A的两个不同的特征值，则?1??2?1,?2分别是?1,?2的特征值，必不是A的特征向量.
11. 设V使复数域上的n维线性空间，A与B是V的两个线性变换，且
AB?BA.证明：
(1) 如果?0是A的一个特征值，那么V?是B的不变子空间.
0(2) A与B至少有一个公共的特征向量.
12. 设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，且m?n. 求证：
?Em?AB??m?n?En?BA.
13. 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换且可逆. 证明： (1) A的特征值不为零；
(2) 如果?0是A的特征值，则?0?1是A?1的特征值.
14. 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，证明：A的行列式为零的充分必要条件是A的一个特征值为零.
15. 设A是一个n阶下三角阵，证明：
(1) 如果当i?j时，aii?ajj，i,j?1,2,?,n，那么A相似于一个对角阵. (2) 如果a11?a22???ann，而至少有一个ai于对角阵.
0j0那么A不相似?0,(i0?j0)，
16. 证明：对任一n阶复方阵A，存在可逆矩阵P，使得P?1AP为上三角矩阵.
第七章 ??矩阵
1. 将下列??矩阵化为标准形：
?0???0????； (2) ??02???????2???00(??1)022?1???(1) ???1??2???202???2???00?0?. ?0?0??2. 求下列??矩阵的不变因子：
?00??0??0； (2) ??12???????2???01(??1)022?1???(1) ???0?012????2???00?0?. 0??0??3.证明
00?0an??????1?0?0an?1???0?1??0a?n?2?? ?????????????000??a2????000??1??a1???nn?1?,1,f(?)，其中f(?)???a1????an?1??an. 的不变因子是1,1,?????n?14. 设A是数域P上的n阶矩阵，证明A与AT相似. 5. 设
???A?1??0?0?10??0， ????求An.
6. 求下列复系数矩阵的若当标准形：
?010?00???001?00??；(3) ??????????.
??000?01???100?00?????1?(1) ??4?1?1300??1??0； (2) 3????22???1?3?22??6?4??7. 求下列矩阵的最小多项式：
?1?1(1) ??1??111?1?11?11?11??1???10?； (2) ??0?1???1??0210032104??3?. 2??1?nn2i8.设n阶矩阵A的特征值为?1,?2,?,?n.证明：???i?1?i,k?1aikaki.
第八章 二次型
1. 证明：秩等于r的对称矩阵等于r个秩为1的对称矩阵之和. 2. 设?i1,?i2,?,?in是?1,?2,?,?n的一个排列，则下面两个对角阵
??1????????i1??? 与 ??????n????? 合同. ???in??2??i2?3. 若可逆矩阵A和B合同，求证：A?1和B?1也合同. 4. 用配方法把下列二次型化成标准形. （1）?4x1x2?2x1x3?2x2x3；
（2）x12?2x1x2?2x22?4x2x3?4x32；
（3）x12?x22?2x1x2?4x1x3?2x2x3?2x2x4?2x3x4； （4）x1x2?x1x3?x1x4?x2x3?x2x4?x3x4
5. 用初等变换法把下列二次型化为标准形，并求可逆矩阵C. （1）3(x12?x22?x32?x42)?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4； （2）x12?x22?3x32?4x1x4?2x1x3?2x2x3； (3) x12?3x32?2x1x2?2x1x3?8x2x3; (4) x1x2?x2x3?x1x4?4x2x4?6x3x4
6. 用非退化的线性替换化下列二次型为标准形： （1）x1x2?x2x3???xn?1xn；
n（2）?xi2?i?1?1?i?j?nxixj
7. 设A是一个n阶矩阵，证明
（1）A是反对称矩阵当且仅当对于任一个n维向量X，有XTAX?0； （2）如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有XTAX?0，那么A?0. 8. 如果把实n阶矩阵按照合同分类，即两个实n阶矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？
9. 证明：一个秩大于1的实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式之积的充分必要条件是它的秩等于2且符号差等于零.
s10. 设实二次型f(x1,x2,?,xn)?f(x1,x2,?,xn)?(ai?1i11x?ai2x2???ainxn)2，证明：
的秩等于矩阵
?a11?a21A??????as1a12a22?as2???a1n??a2n? ???asn?的秩.
11. 设n阶实对称矩阵A是正定的，P是n阶实可逆矩阵，证明：PTAP也是正定矩阵.
12. 设A是n阶实对称矩阵，证明：A是正定的当且仅当存在n阶实可逆矩阵P，使得A?PTP.
13. 设A是一个正定矩阵，证明： （1）对于任意正实数k，kA是正定矩阵； （2）对于任意正整数k，Ak是正定矩阵； （3）A?1是正定矩阵；
（4）A的伴随矩阵A*也是正定矩阵. 14. 判别下列二次型是否正定：
（1）5x12?8x22?5x32?4x1x2?8x1x3?4x2x3； （2）10x12?8x1x2?24x1x3?2x22?28x2x3?x32；
n（3）?xi2?i?1n2?1?i?j?nn?1xixj；
（4）?xi??xixi?1
i?1i?115. 如下列二次型是正定的，求?的取值范围： （1）5x12?x22??x32?4x1x2?2x1x3?2x2x3； （2）x12?4x22?x32?2?x1x2?10x1x3?6x2x3
16. 设A是实对称矩阵，证明：当实数t充分大之后，tE?A是正定矩阵. 17. 设A是一个n阶实对称矩阵，且|A|?0，证明：必存在实n维向量X?0，使XTAX?0.
n2n18. 证明：n?xi?(?xi)2是半正定的.
i?1i?119.设f(x1,x2,?,xn)?XTAX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使
X1AX1?0,X2AX2?0
TT证明：必存在实n维向量X0?0，使X0TAX0?0.
20. 设A是一个n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c使对任一个实n维向量X都有
|XAX|?cXXTT
21. 设实二次型f(x1,x2,?,xn)?y12?y22???yk2?yk2?1???yk2?s，其中
yi?ai1x1?ai2x2???ax(i?1,2?,,k?，求证：s)finn的正惯性指数p?k，负惯
性指数q?s.
22. 证明
nn（1）如果??aijxixj(aij?aji)是正定二次型，那么
i?1j?1a11a21f(y1,y2,?,yn)??an1y1a12a22?an2y2??a1na2n?annyny1y2? yn0??是负定二次型；
（2）如果A是正定矩阵，那么|A|?annPn?1，这里的Pn?1是A的n?1级顺序主子式；
（3）如果A是正定矩阵，那么|A|?a11a22?ann；
n2（4）如果T?(tij)是n阶实可逆矩阵，那么|T|??(t12i?t22i???tni).
2i?123. 证明：实对称矩阵A是半正定的充分必要条件是A的一切主子式全大于或等于零. 其中k级主子式为：
ai1i1ai2i1?aiki1ai1i2ai2i2?aiki2???ai1ikai2ik?aikik,1?i1?i2???ik?n
24. 设a1,a2,?,an是n个互不相同的正实数，令aij?证明：A?(aij)n?n是正定矩阵.
1ai?aj,i,j?1,2,?,n。
第九章 欧式空间
1. 设A?(aij)是一个n级正定矩阵，而
??(x1,x2,?,xn),??(y1,y2,?,yn)
在Rn中定义内积(?,?)为
(?,?)??A?T
（1） 证明在这个定义之下，Rn成一欧氏空间；
（2） 求n维单位向量?1?(1,0,?,0),?2?(0,1,?,0),?,?n?(0,0,?,1)的度
量矩阵.
2. 设V是实数域上全体多项式构成的实线性空间，设
f(x)?a0?a1x???anx,g(x)?b0?b1x???bmxnm
定义 (f,g)??i?i,jaibjj?1
证明：(f,g)定义了V上的内积.
3. 证明：在一个欧氏空间里，对任意的向量?,?，以下等式成立： （1）|???|2?|???|2?2|?|2?2|?|2 （2）(?,?)?4.
?1?(114|???|?214|???|42
在欧氏空间
,1?,2?0,R中，求一个单位向量与
(?1都正交,?1. ,?1,1),(1,1,1,0?)?,?35. 设V是n维欧氏空间，?1,?2,?,?n是V的一组基，若
(?,?i)?(?,?i),i?1,2,?,n,
求证：???.
6. 在欧氏空间R4中，求基?1,?2,?3,?4的度量矩阵，其中
?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,1,0),?3?(1,1,0,0),?4?(1,0,0,0)
7. 证明
?1?(,111111111,,),?2?(,?,?,),222222221111111?3?(,?,,?),?4?(,,?,?)22222222
是欧氏空间R4的一个标准正交基.
8. 设V是欧氏空间，U是V的子空间，若U可以由向量组u1,u2,?,um生成，则
U??{v?V|(v,ui)?0,i?1,2,?,m}
9. 设V是一n维欧氏空间，??0是V中一个固定向量. （1）证明：V1?{x|(x,?)?0,x?V}是V的一子空间； （2）证明：dimV1?n?1
10. 设?1,?2,?,?m是n维欧氏空间V中一组向量，而
?(?1,?1)?(?2,?1)???????(?m,?1)(?1,?2)(?2,?2)?(?m,?2)???(?1,?m)??(?2,?m)? ???(?m,?m)?证明：当且仅当|?|?0时?1,?2,?,?m线性无关.
11. 用Gram-Schmidt正交化方法，将下列向量组化为标准正交向量组. （1）(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)
（2）(1,1,1,1),(3,3,1,1),(3,1,3,1),(3,?1,4,2)
12. 设?1,?2,?3,?4是欧氏空间V的一个标准正交基，T是V的一个线性变换，已知
T(?1)??1??2??4,T(?2)??1??2??3T(?3)???2??3??4,T(?4)???1??3??4
（1） 证明：T是一个对称变换；
（2） 求V的一个标准正交基，使T在这个基下的矩阵是对角矩阵. 13. 正交矩阵的特征根的模等于1.
14 （1）设A是一个n级实矩阵，且|A|?0. 证明A可以分解成A?QT，其中Q是正交矩阵，T是一上三角形矩阵：
?t11?0T??????0t12t22?0???t1n??t2n?,t?0,i?1,2,?,n ii???tnn?并证明这个分解是唯一的；
（2）设A是一个n级正定矩阵，证明存在一上三角形矩阵P，使A?PTP. 15. 设?是欧氏空间中一单位向量，定义
?(?)???2(?,?)?
证明：（1）?是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射； （2）?是第二类的；
（3）如果n维欧氏空间中，正交变换?以1作为一个特征值，且属于特征值 1的特征子空间V1的维数为n?1，那么?是镜面反射.
16. 设?1,?2,?,?m和?1,?2,?,?m是n维欧氏空间中两个向量组. 证明存在一正交变换?，使
??i??i,i?1,2,?,m
的充分必要条件是
(?i,?j)?(?i,?j),i,j?1,2,?,m
17. 求正交矩阵P使PTAP成对角形，其中A为：
?2?（1）A???2?0???1??3?（3）A??3???3?21?2?3?1?330??2???2；A?2（2）????20???3?3?1?325?4?2???4； ?5??111??111?
111??111??3??1??31?；?（4）A??1?3????1??118. 设T是n维欧氏空间V的线性变换，如果T满足
(T(?),?)??(?,T(?))(?,??V)
则称T为反对称变换。证明T为反对称变换的充分必要条件是，T在V的标准正交基下的矩阵是反对称矩阵.
19. 设V是一个n维欧氏空间，证明：
（1）如果W是V的一个子空间，那么(W?)??W；
（2）如果W1,W2都是V的子空间，且W1?W2，那么W2??W1?； （3）如果W1,W2都是V的子空间，那么(W1?W2)??W1??W2?. 20. 用正交线性变换化下列二次型为标准型 （1）x12?2x22?3x32?4x1x2?4x2x3；
（2）x12?x22?x32?x42?2x1x2?6x1x3?4x1x4?4x2x3?6x2x4?2x3x4 21. 设A是n级实对称矩阵，且A2?A，证明存在正交矩阵P使得
?1?????1PAP???????1?10??????? ???0??22. 设A是n级实对称矩阵，且A2?E，证明：存在正交矩阵T使得
T?1?ErAT???00?En?r?? ?23. 设A,B是两个n级实对称矩阵，且B是正定矩阵。证明：存在n级实可逆矩阵P使PTAP和PTBP都是对角形矩阵.
（提示：存在实可逆矩阵P1，使得P1TBP1?E，存在正交矩阵P2，使得
P2(P1AP1)P2为对角形，令P?P1P2）
TT24. 设A,B是两个n级实对称矩阵，且A是正定矩阵。证明：存在n级实可
??1?逆矩阵P，使PTAP?E,PTBP?????det(xA?B)?0的n个实根.
?2????，其中?,?,?,?是
12n???n?（提示：利用上题结果）
25. 设f(x1,x2,?,xn)?XTAX是一实二次型，?1,?2,?,?n是A的特征多项式的根，且?1??2????n。证明对任一X?Rn，有
?1XX?XAX??nXX
TTT26. 设二次型f(x1,x2,?,xn)的矩阵A，?是A的特征多项式的根，证明存在
nR中的非零向量(x1,x2,?,xn)，使得
f(x1,x2,?,xn)??(x1?x2???xn)222
27. （1）设?,?是欧氏空间中两个不同的单位向量，证明存在一镜面反射?，使得
?(?)??
（2）证明：n维欧氏空间中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积. 28. 证明：如果?是n维欧氏空间的一个正交变换，那么?的不变子空间的正交补也是?的不变子空间.