0mxt-高考数学难点突破-难点38--分类讨论思想

C.–2<a<2 D.a<–2或a>2

2.(★★★★★)四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( )

A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 二、填空题

3.(★★★★)已知线段AB在平面α外,A、B两点到平面α的距离分别为1和3,则线段AB的中点到平面α的距离为 .

4.(★★★★★)已知集合A={x|x2–3x+2=0},B={x|x2–ax+(a–1)=0},C={x|x2–mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,则a的值为 ,m的取值范围为 . 三、解答题

5.(★★★★)已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|qx2+px+1=0},A,B同时满足: ①A∩B≠?,②A∩B={–2}.求p、q的值.

6.(★★★★)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.

(1)求x1、x2和xn的表达式;

(2)计算limxn;

n??(3)求f(x)的表达式,并写出其定义域.

8.(★★★★★)已知a>0时,函数f(x)=ax–bx2

(1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2b;

(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b–1≤a≤2b; (3)当0<b≤1时,讨论:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件.

参 考 答 案

●难点磁场

1.解析:即f(x)=(a–1)x2+ax–

1=0有解. 4当a–1=0时,满足.当a–1≠0时,只需Δ=a2–(a–1)>0. 答案:

?2?5?2?5?a?或a=1 222.解:(1)当a=0时,函数f(–x)=(–x)2+|–x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数.

当a≠0时,f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2|a|+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a) 此时函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)①当x≤a时,函数f(x)=x2–x+a+1=(x–若a≤

123)+a+ 241,则函数f(x)在(–∞,a]上单调递减. 2从而函数f(x)在(–∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1

1131,则函数f(x)在(–∞,a]上的最小值为f()=+a,且f()≤f(a). 224213②当x≥a时,函数f(x)=x2+x–a+1=(x+)2–a+

241131若a≤–,则函数f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(–)=–a,且f(–)≤f(a);

22421若a>–,则函数f(x)在[a,+∞)单调递增.

2若a>

从而函数f(x)在[a,+∞]上的最小值为f(a)=a2+1. 综上,当a≤–当–

13时,函数f(x)的最小值为–a; 2411<a≤时,函数f(x)的最小值是a2+1; 2213当a>时,函数f(x)的最小值是a+.

24●歼灭难点训练

一、1.解析:分a=2、|a|>2和|a|<2三种情况分别验证. 答案:C

2.解析:任取4个点共C10=210种取法.四点共面的有三类:(1)每个面上有6个点,则有4×C6=60种取共面的取法;(2)相比较的4个中点共3种;(3)一条棱上的3点与对棱的中点共6种. 答案:C

二、3.解析:分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案:1或2

4.解析:A={1,2},B={x|(x–1)(x–1+a)=0}, 由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2; 由A∩C=C,可知C={1}或?.

答案:2或3 3或(–22,22) 三、5.解:设x0∈A,x0是x02+px0+q=0的根. 若x0=0,则A={–2,0},从而p=2,q=0,B={–此时A∩B=?与已知矛盾,故x0≠0. 将方程x02+px0+q=0两边除以x02,得

441}. 2q(121)?p()?1?0. x0x0即

11满足B中的方程,故∈B. x0x0∵A∩B={–2},则–2∈A,且–2∈B.

设A={–2,x0},则B={?11,},且x0≠2(否则A∩B=?). 2x0若x0=–

11,则–2∈B,与–2?B矛盾.

x021,即x0=±1. x0又由A∩B≠?,∴x0=

即A={–2,1}或A={–2,–1}.

故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2,1或–2,–1 ∴??p??(?2?1)?1?p??(?2?1)?3 或?q?(?2)?1??2q?(?2)?(?1)?2??6.解:如图,设MN切圆C于N,则动点M组成的集合是

P={M||MN|=λ|MQ|,λ>0}.

∵ON⊥MN,|ON|=1,

∴|MN|2=|MO|2–|ON|2=|MO|2–1 设动点M的坐标为(x,y),

则x2?y2?1??(x?2)2?y2

即(x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0.

经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P,故方程为所求的轨迹方程. (1)当λ=1时,方程为x=

55,它是垂直于x轴且与x轴相交于点(,0)的直线; 442?221?3?22)?y?2(2)当λ≠1时,方程化为:(x?2 ??1(??1)22?21?3?2,0)为圆心,2它是以(2为半径的圆. ??1|??1|7.解:(1)依题意f(0)=0,又由f(x1)=1,当0≤y≤1,函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1

的线段,故由

f(x1)?f(0)?1

x1?0∴x1=1

又由f(x2)=2,当1≤y≤2时,函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段,故由

f(x2)?f(x1)?b

x2?x1即x2–x1=

1 b∴x2=1+

1 b–

记x0=0,由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn1,故得

f(xn)?f(xn?1)?bn?1

xn?xn?1又由f(xn)=n,f(xn–1)=n–1 ∴xn–xn–1=(

1n–1

),n=1,2,…… b1. b由此知数列{xn–xn–1}为等比数列,其首项为1,公比为因b≠1,得xn??k?1n(xk–xk–1)

1b?()n?111b=1++…+n?1? bb?1b1b?()n?1b即xn= b?11b?()n?1bb(2)由(1)知,当b>1时,limxn?lim ?n??n??b?1b?1当0<b<1,n→∞, xn也趋于无穷大.limxn不存在.

n??(3)由(1)知,当0≤y≤1时,y=x,即当0≤x≤1时,f(x)=x;

当n≤y≤n+1,即xn≤x≤xn+1由(1)可知 f(x)=n+bn(x–xn)(n=1,2,…),由(2)知 当b>1时,y=f(x)的定义域为[0,

b); b?1当0<b<1时,y=f(x)的定义域为[0,+∞). 8.(1)证明:依设,对任意x∈R,都有f(x)≤1

a2a2)?∵f(x)??b(x? 2b4baa2∴f()?≤1

2b4b∵a>0,b>0 ∴a≤2b.

(2)证明:必要性: 对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1?–1≤f(x),据此可以推出–1≤f(1) 即a–b≥–1,∴a≥b–1

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