高等数学
?1(b?a)2max{|f''(?1)|,|f''(?2)|}. 4所以至少存在一点??(a,b)，使得
|f??(?)|?4|
f(b)?f(a)|
(b?a)2§2.3 导数的应用
（甲）内容要点
一、判断函数的单调性 二、函数的极值
1、定义 设函数f?x?在?a,b?内有定义，x0是?a,b?内的某一点，则
如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极大值，称x0为函数f?x?的一个极大值点；
如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极小值，称x0为函数f?x?的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。 2、必要条件（可导情形）
设函数f?x?在x0处可导，且x0为f?x?的一个极值点，则f??x0??0
我们称满足f??x0??0的x0为f?x?的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3、第一充分条件
设f?x?在x0处连续，在0
0 1 如果在?x0??,x0?内的任一点x处，有f??x??0，而在?x0,x0???内的任一点x
处，有f??x??0，则f?x0?为极大值，x0为极大值点；
20 如果在?x0??,x0?内的任一点x处，有f??x??0，而在?x0,x0???内的任一点x
处，有f??x??0，则f?x0?为极小值，x0为极小值点；
30 如果在?x0??,x0?内与?x0,x0???内的任一点x处，f??x?的符号相同，那么
f?x0?不是极值，x0不是极值点
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4、第二充分条件
设函数f?x?在x0处有二阶导数，且f??x0??0，f???x0??0，则 当 f???x0??0，f?x0?为极大值，x0为极大值点 当 f???x0??0，f?x0?为极小值，x0为极小值点
三、函数的最大值和最小值
1．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法。 首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点，和不可导点x1,...,xk。 其次计算f(x1),...,f(xk),f(a),f(b)
最后，比较f(x1),...,f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在[a,b]上的最大值M；其中最小者就是f(x)在[a,b]上的最小值m。
2．最大（小）值的应用问题
首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。
四、凹凸性与拐点
1．凹凸的定义
设f(x)在区间Ⅰ上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有
f(x1?x2x?x211)?[f(x1)?f(x2)] （f(1)?[f(x1)?f(x2)]），则称f(x)在Ⅰ上2222是凸（凹）的
2．曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。
五、渐近线及其求法 六、函数作图 七、曲率
（乙）典型例题 一、证明不等式
22例1．求证：当x?0时，(x?1)lnx?(x?1)
22证：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)
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