高等数学
（乙）典型例题
一、用罗尔定理的有关方法
例1 设f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1. 试证：必存在??(0,3)，使f?(?)?0
证：∵ f(x)在[0，3]上连续，∴ f(x)在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故
1m?[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点c?[0,2]使得
31f(c)?[f(0)?f(1)?f(2)]?1，因此f(c)?f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，（c，3）
3内可导，由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。
例2 设f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且3?123f(x)dx?f(0)
求证：存在??(0,1)使f'(?)?0
证：由积分中值定理可知，存在c?[,1]，使得
23?1232f(x)dx?f(c)(1?)
3得到 f(c)?3?123f(x)dx?f(0)
对f(x)在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?0
例3 设f(x)在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意k?1，有f(1)?k?1求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??)f(?)
1?1k0xe1?xf(x)dx，
111?x1?c证：由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?kxef(x)dx?cef(c)(?0)
0kk
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令F(x)?xe1?xf(x)，可知F(1)?f(1)
这样F(1)?f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，对F(x)在[c,1]上用罗尔定理
（三个条件都满足）存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x) ∴ F?(?)??e1??1[f?(?)?(1?)f(?)]?0
?又?e1???0，则f?(?)?(1?)f(?)
1? 在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理，否则结论只是f?(?)?0，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数F(x)，它与f(x)有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从F?(?)?0就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。
模型Ⅰ：设f(x)在[a,b]上连续，（a,b）内可导，f(a)?f(b)?0则下列各结论皆成立。
（1）存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0（l为实常数）
k?1（2）存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2f(?2)?0（k为非零常数）
（3）存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0（g(x)为连续函数） 证：（1）令F(x)?ef(x)，在[a,b]上用罗尔定理 ∵ F?(x)?lef(x)?ef?(x) ∴ 存在?1?(a,b)使F???1??le 消去因子el?1lxlxlxl?1f??1??el?1f???1??0
，即证.
k（2）令F(x)?exf(x)，在[a,b]上用罗尔定理 F?(x)?kxk?1exfx(?)exf?x( )kk 37
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