高等数学讲义第二章

高等数学

(乙)典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

例1 设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1. 试证:必存在??(0,3),使f?(?)?0

证:∵ f(x)在[0,3]上连续,∴ f(x)在[0,2]上连续,且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M;m?f(1)?M;m?f(2)?M,故

1m?[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知,至少存在一点c?[0,2]使得

31f(c)?[f(0)?f(1)?f(2)]?1,因此f(c)?f(3),且f(x)在[c,3]上连续,(c,3)

3内可导,由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。

例2 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?123f(x)dx?f(0)

求证:存在??(0,1)使f'(?)?0

证:由积分中值定理可知,存在c?[,1],使得

23?1232f(x)dx?f(c)(1?)

3得到 f(c)?3?123f(x)dx?f(0)

对f(x)在[0,c]上用罗尔定理,(三个条件都满足) 故存在??(0,c)?(0,1),使f?(?)?0

例3 设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,对任意k?1,有f(1)?k?1求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??)f(?)

1?1k0xe1?xf(x)dx,

111?x1?c证:由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?kxef(x)dx?cef(c)(?0)

0kk

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令F(x)?xe1?xf(x),可知F(1)?f(1)

这样F(1)?f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c),对F(x)在[c,1]上用罗尔定理

(三个条件都满足)存在??(c,1)?(0,1),使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x) ∴ F?(?)??e1??1[f?(?)?(1?)f(?)]?0

?又?e1???0,则f?(?)?(1?)f(?)

1? 在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理,否则结论只是f?(?)?0,而且条件也不满足。因此如何构造一个函数F(x),它与f(x)有关,而且满足区间上罗尔定理的三个条件,从F?(?)?0就能得到结论成立,于是用罗尔定理的有关证明命题中,如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键,下面的模型Ⅰ,就在这方面提供一些选择。

模型Ⅰ:设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,f(a)?f(b)?0则下列各结论皆成立。

(1)存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0(l为实常数)

k?1(2)存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2f(?2)?0(k为非零常数)

(3)存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0(g(x)为连续函数) 证:(1)令F(x)?ef(x),在[a,b]上用罗尔定理 ∵ F?(x)?lef(x)?ef?(x) ∴ 存在?1?(a,b)使F???1??le 消去因子el?1lxlxlxl?1f??1??el?1f???1??0

,即证.

k(2)令F(x)?exf(x),在[a,b]上用罗尔定理 F?(x)?kxk?1exfx(?)exf?x( )kk 37

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k?1?2 存在?2?(a,b)使F?(?2)?k?2ef(?2)?e?2f?(?2)?0

kk 消去因子e

k

?2

,即证。

(3)令F(x)?eG(x)f(x),其中G?(x)?g(x)

G(x) F?(x)?g(x)ef(?x)G(x)e?f ( 由x)F?(?3)?0

清去因子e

G(?3),即证。

例4 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)?f(1)?0,f()?1,试证: (1)存在??(,1),使f(?)??。

(2)对任意实数?,存在??(0,?),使得f?(?)??[f(?)??]?1

证明:(1)令?(x)?f(x)?x,显然它在[0, 1]上连续,又

1212111?(1)??1?0,?()??0,根据介值定理,存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??

222(2)令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x],它在[0,?]上满足罗尔定理的条件,故存在??(0,?),使F?(?)?0,即

e????f???????f???????1??0

f?(?)??] 1从而 f?(?)??[(注:在例4(2)的证明中,相当于模型Ⅰ中(1)的情形,其中l取为??,f(x)取为

?(x)?f(x)?x)

模型Ⅱ:设f(x),g(x)在[a,b]上皆连续,(a,b)内皆可导,且f(a)?0,g(b)?0,则存在??(a,b),使

f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0

证:令F(x)?f(x)g(x),则F(a)?F(b)?0,显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条

件,则存在??(a,b),使F?(?)?0,即证.

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例5 设f(x)在[0, 1]上连续,(0, 1)内可导,f(0)?0,k为正整数。 求证:存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?)

证:令g(x)?(x?1)k,a?0,b?1,则f(0)?0,g(1)?0,用模型Ⅱ,存在

??(0,1)使得

f?(?)(??1)k?k(??1)k?1f(?)?0

故f?(?)(??1)?kf(?)?0 则?f?(?)?kf(?)?f?(?)

例6 设f(x),g(x)在(a,b)内可导,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x),求证f(x)在(a,b)内任

意两个零点之间至少有一个g(x)的零点

证:反证法:设a?x1?x2?b,f(x1)?0,f(x2)?0而在(x1,x2)内g(x)?0,

则令F(x)?f(x)在[x1,x2]上用罗尔定理 g(x)

[?f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?f(x1)f(x2)?0,F(x2)??0] g(x1)g(x2)

(不妨假设g(x1)?0,g(x2)?0否则结论已经成立)

则存在??(x1,x2)使F?(?)?0,得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0与假设条件矛盾。所以在(x1,x2)内g(x)至少有一个零点

例7 设f(x),g(x)在[a,b]二阶可导,且g??(x)?0,又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0 求证:(1)在(a,b)内g(x)?0; (2)存在??(a,b),使

f??(?)f(?)? g??(?)g(?) 证:(1)用反证法,如果存在c?(a,b)使g(c)?0,则对g(x)分别在[a,c]和[c,b]

上用罗尔定理,存在x1?(a,c)使g?(x1)?0,存在x2?(c,b)使g?(x2)?0,

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