高等数学
（乙）典型例题
一、用罗尔定理的有关方法
例1 设f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1. 试证：必存在??(0,3)，使f?(?)?0
证：∵ f(x)在[0，3]上连续，∴ f(x)在[0，2]上连续，且有最大值M和最小值m.于是m?f(0)?M；m?f(1)?M；m?f(2)?M，故
1m?[f(0)?f(1)?f(2)]?M. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点c?[0,2]使得
31f(c)?[f(0)?f(1)?f(2)]?1，因此f(c)?f(3)，且f(x)在[c，3]上连续，（c，3）
3内可导，由罗尔定理得出必存在??(c,3)?(0,3)使得f?(?)?0。
例2 设f(x)在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且3?123f(x)dx?f(0)
求证：存在??(0,1)使f'(?)?0
证：由积分中值定理可知，存在c?[,1]，使得
23?1232f(x)dx?f(c)(1?)
3得到 f(c)?3?123f(x)dx?f(0)
对f(x)在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在??(0,c)?(0,1)，使f?(?)?0
例3 设f(x)在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意k?1，有f(1)?k?1求证存在??(0,1)使f?(?)?(1??)f(?)
1?1k0xe1?xf(x)dx，
111?x1?c证：由积分中值定理可知存在c?[0,]使得?kxef(x)dx?cef(c)(?0)
0kk
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令F(x)?xe1?xf(x)，可知F(1)?f(1)
这样F(1)?f(1)?k?1k0xe1?xf(x)dx?ce1?cf(c)?F(c)，对F(x)在[c,1]上用罗尔定理
（三个条件都满足）存在??(c,1)?(0,1)，使F?(?)?0 而F?(x)?e1?xf(x)?xe1?xf(x)?xe1?xf?(x) ∴ F?(?)??e1??1[f?(?)?(1?)f(?)]?0
?又?e1???0，则f?(?)?(1?)f(?)
1? 在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理，否则结论只是f?(?)?0，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数F(x)，它与f(x)有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从F?(?)?0就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。
模型Ⅰ：设f(x)在[a,b]上连续，（a,b）内可导，f(a)?f(b)?0则下列各结论皆成立。
（1）存在?1?(a,b)使f?(?1)?lf(?1)?0（l为实常数）
k?1（2）存在?2?(a,b)使f?(?2)?k?2f(?2)?0（k为非零常数）
（3）存在?3?(a,b)使f?(?3)?g(?3)f(?3)?0（g(x)为连续函数） 证：（1）令F(x)?ef(x)，在[a,b]上用罗尔定理 ∵ F?(x)?lef(x)?ef?(x) ∴ 存在?1?(a,b)使F???1??le 消去因子el?1lxlxlxl?1f??1??el?1f???1??0
，即证.
k（2）令F(x)?exf(x)，在[a,b]上用罗尔定理 F?(x)?kxk?1exfx(?)exf?x( )kk 37
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k?1?2 存在?2?(a,b)使F?(?2)?k?2ef(?2)?e?2f?(?2)?0
kk 消去因子e
k
?2
，即证。
（3）令F(x)?eG(x)f(x)，其中G?(x)?g(x)
G(x) F?(x)?g(x)ef(?x)G(x)e?f ( 由x)F?(?3)?0
清去因子e
G(?3)，即证。
例4 设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)?f(1)?0，f()?1，试证： （1）存在??(,1)，使f(?)??。
（2）对任意实数?，存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1
证明：（1）令?(x)?f(x)?x，显然它在[0, 1]上连续，又
1212111?(1)??1?0,?()??0，根据介值定理，存在??(,1)使?(?)?0即f(?)??
222（2）令F(x)?e??x?(x)?e??x[f(x)?x]，它在[0,?]上满足罗尔定理的条件，故存在??(0,?)，使F?(?)?0，即
e????f???????f???????1??0
f?(?)??] 1从而 f?(?)??[（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中l取为??，f(x)取为
?(x)?f(x)?x）
模型Ⅱ：设f(x)，g(x)在[a,b]上皆连续，（a,b）内皆可导，且f(a)?0，g(b)?0，则存在??(a,b)，使
f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0
证：令F(x)?f(x)g(x)，则F(a)?F(b)?0，显然F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条
件，则存在??(a,b)，使F?(?)?0，即证.
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例5 设f(x)在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，f(0)?0，k为正整数。 求证：存在??(0,1)使得?f?(?)?kf(?)?f?(?)
证：令g(x)?(x?1)k，a?0,b?1，则f(0)?0，g(1)?0，用模型Ⅱ，存在
??(0,1)使得
f?(?)(??1)k?k(??1)k?1f(?)?0
故f?(?)(??1)?kf(?)?0 则?f?(?)?kf(?)?f?(?)
例6 设f(x),g(x)在(a,b)内可导，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，求证f(x)在(a,b)内任
意两个零点之间至少有一个g(x)的零点
证：反证法：设a?x1?x2?b，f(x1)?0，f(x2)?0而在(x1,x2)内g(x)?0，
则令F(x)?f(x)在[x1,x2]上用罗尔定理 g(x)
[?f(x1)?f(x2)?0,?F(x1)?f(x1)f(x2)?0,F(x2)??0] g(x1)g(x2)
（不妨假设g(x1)?0,g(x2)?0否则结论已经成立）
则存在??(x1,x2)使F?(?)?0，得出f?(?)g(?)?f(?)g?(?)?0与假设条件矛盾。所以在(x1,x2)内g(x)至少有一个零点
例7 设f(x),g(x)在[a,b]二阶可导，且g??(x)?0，又f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0 求证：（1）在（a,b）内g(x)?0； （2）存在??(a,b)，使
f??(?)f(?)? g??(?)g(?) 证：（1）用反证法，如果存在c?(a,b)使g(c)?0，则对g(x)分别在[a,c]和[c,b]
上用罗尔定理，存在x1?(a,c)使g?(x1)?0，存在x2?(c,b)使g?(x2)?0，
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