专题二．竖直上抛运动
◎ 知识梳理
1．特点：初速度V0竖直向上，只受重力作用的运动叫竖直上抛运动，是匀减速直线运动的特例。 2．公式
注意：
①选初速度V0的方向为正方向，若V方向向上，则V取正值，若V方向向下，则取负值，最高点为其分界点；若物体位于抛出点上方则S取正值，位于抛出点下方则S取负值。
②上述各式均适用于竖直上抛运动的往返全过程，这时t从抛出开始计时。 3．竖直上抛运动的对称性：
①时间对称性：对应竖直上抛物体运动的同一段竖直高度，上行和下行的时闻相等。因而，物体从某点出发上升到最高点与最高点落至抛出点所用时间相等，即： 物体从抛出到落回抛出点的总时间为：t=2Vo/2
②速度对称性：物体在上升和下降经过同一位置时速度大小相等、方向相反，即：Vt=V0 注意：若物体所受阻力不能忽略．则不存在上述对称性。
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4．竖直上抛运动最大上升高度H=V0/2g
◎ 例题评析
【例3】 在竖直的井底，将一物块以11m/s的速度竖直地向上抛出，物体冲过井口再落到井口时被人接住，
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在被人接住前1s内物体的位移是4m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10m／s，求： (1)物体从抛出到被人接住所经历的时间； (2)此竖直井的深度。
【分析与解答】: (1)设人接住物块前1s初的时刻速度为v
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则有h=vt1-1/2gt1
即4=v×1-5，解得v=9m/s（以向上方向为正） 则物块从抛出到接住所有总时间为 t=
v?v0+t1=1.2s ?g2
(2)竖直井的深度为h=vot-gt/2=6m
【例4】从同一地点以相同速度20m/s先后竖直上抛两个小球，第二个小球比第一个小球晚1s，则第二个小球抛出后经过多长时间与第一个小球相遇?(不计空气阻力) 【分析与解答】：此题是一道常见的竖直上抛运动习题．依据竖直上抛运动的特点，可从不同角度运用多种方法求解．一方面可对运动学公式进行全面地复习，以加深对运动学公式的理解；另一方面可培养分析问题的灵活性和解题思维的发散性． 解法1：公式法
从竖直上抛运动的整个过程来看，小球做可往返的匀减速直线运动，设第二个小球抛出后经过t s与第
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一个小球相遇，两球相遇时其位移相等，由公式s= V0t-gt/2
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V0t-gt/2= V0（t+1）-g（t+1）/2 可解得t=1.5s. 解法2：速率对称法
在竖直上抛运动的过程中，在同一高度处，物体上升与下降的速率相等，即两球相遇时的速度大小相等，方向相反．有：-[20-g(t+1)]=20-gt 2gt=30．t=1.5s
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解法3：时间对称法
在竖直上抛运动过程中，物体从某高度处到达最高点的时间与从最高点返回原处的时间相等．则两球运动过程如图所示． //
t=v0/g=20/10=2s,而t=t+O.5s．故t=1.5s 【答案】：1.5 s
◎ 能力训练2
1．一只氢气球以10m/s的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距离气球为h的地方，有一石子以20m/s
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的初速度竖直上抛．那么下列说法正确的是(“撞击”不是“相遇”，g=10m/s) A．h=4m，则石子能够两次撞击气球 B．h=5m，则石子一定能够撞击气球
C．h=5m，则石子一定不能撞击气球 、 D．h=6m，则石子一定不能够撞击气球
2.一个从地面上抛的物体,它两次经过一个较低的A点的时间间隔为5s,两次经过一个较高的B点的时间间隔为3s,则AB间的距离为: A.80M B.40M C.20M
D.初速度未知，无法确定
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3．在一拉力作用下，使小球自地面开始以a1=8m/s的加速度竖直向上做匀加速直线运动，1s末将小球释
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放，问小球经多少时问落回地面?(不计空气阻力，g取10m/s0)
4．在地面上以初速度2竖直上抛一物体A后，又以初速度在同一地点竖直上抛另一物体B，若要两物体能在空中相碰，则A与B两物体抛出的时间隔必须满足什么条件？（不计空气阻力）
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5．一竖直发射的火箭在火药燃烧2s内具有3g的向上加速度，不计空气阻力，g取10m/s，当它从地面点燃发射后，它能上升的最大高度为多少？在空中运动的时间为多长？ 240m
6．将一小球A从距地面高h处由静止释放，不计空气阻力，同时将另一小球B从A的正下方的地面上以速度v0竖直上抛，讨论下列问题：
(1)使A、B在B上升过程中相遇，v0满足什么条件? (2)使A、B在B下降过程中相遇，v0满足什么条件?
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专题三．平抛运动
◎ 知识梳理
1．曲线运动
（1）曲线运动产生的条件
质点所受合外力的方向和物体运动的速度方向不在一条直线上，或者加速度方向和速度方向不在同一直线上。
(2)曲线运动的轨迹和速度方向
做曲线运动的物体，速度方向即轨迹上那点切线的方向，若物体做曲线运动时，物体所受合外力突然消失，那么物体将沿轨迹上该点的切线方向抛出，此时做匀速直线运动。 (3)作曲线运动物体所受的合力
物体在作曲线运动时，它所受的合力总是指向物体运动轨迹曲线的凹侧，物体的加速度也指向曲线的
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凹侧。当合力方向与物体运动即时速度方向的夹角小于90时，物体运动速度增加；当合力方向与即时速
0
度方向的夹角大干90时，物体运动的速度就减小。 2．平抛运动
物体具有水平初速度，只在重力作用下的运动。
(1)平抛运动的两个分运动：水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动。
(2)平抛运动的速度： 水平方向：vx=v0 竖直方向：vy=gt
(3)平抛运动的位移 水平方向：S=v0t
(4)．平抛运动的性质
做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。 ◎ 例题评析
【例5】如图10所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向而大小不变(即由F变为-F)，在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是 ( ) A．物体不可能沿曲线Ba运动 B．物体不可能沿直线Bb运动 C．物体不可能沿曲线Bc运动
D．物体不可能沿原曲线由B返回A
【分析与解答】 物体在A点时的速度VA沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动，此力F必有垂直于VA的分量，即F力只可能为图11中所示的
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各种方向之一；当物体到达B点时，瞬时速度VB沿B点的切线方向，这时受力F=-F，
/
即F只可能为图中所示的方向之一，可知物体以后只可能沿曲线Bc运动，所以本题的正确答案是A、B、D。
【例6】如图12所示，一个做平抛运动的小球，先后通过a、b、c三点，若相邻两点间的水平距离均为s，
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竖直距离分别为h1和h2，则抛出该球的初速大小为_______(不计空气阻力)
【分析与解答】本题主要考查平抛运动的独立性和等时性； 先由竖直方向的匀变速运动规律h2-h1=gt,得t=
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h2?h1； g再由水平方向的匀速运动得v0=s/t=s
g
h2?h1如果本题中的a点为坐标原点，建立坐标系，那么抛出点的坐标如何呢？
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竖直速度Vb=(h1+h2)/2t=g*(ta+t) 得ta，则ha=1/2gta,Sa=v0ta
【例7】如右图13所示，a、b两点距地面高度分别为H和2H，从a、b两点分别水平抛出一小球，其水平射程之比为sl:s2=3:2，试求两小球运动轨迹的交点c距地面的高度． 【分析与解答】：设a、b两小球的水平初速分别为v1、v2 对a: s1=v12H/g, 对b: s2=v22H/g
由sl:s2=3:2，得vl:v2=3:2
设小球落至c点的水平位移为s，则
【例8】、如图14所示，一高度为h=0.2m的水平面在B点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V0=5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从B点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）。 某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则
h1?V0t?gsin??t2,由此可求得落地的时间t。问：sin?2你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。
【分析与解答】:不同意。小球应在B点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。
A B 正确做法为：落地点与B点的水平距离
h θ 2h2?0.2s?V0t?V0?5??1(m) 斜面底宽 图14
g10l?hctg??0.2?3?0.35(m)
因为s?l,所以小球离开B点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。
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