A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8
B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4
C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为 8∶9
D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为 81∶4
13.一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材： A．精确秒表一个 B．已知质量为m的物体一个 C．弹簧测力计一个 D．天平一台（附砝码） 已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径R 和行星质量M。（已知万有引力常量为G）
（1）两次测量所选用的器材分别为 、 。（用序号表示） （2）两次测量的物理量分别是 、 。
（3）用该数据推出半径R、质量M的表达式：R= ，M= 。
FT2F3T4;13.【答案】（1）A；BC （2）周期T；物体的重力F （3） 4?2m16?4m3G14.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T.火星可视为半径为r0的均匀球体.
14.解：设火星的质量为M；火星的一个卫星的质量为m ，火星探测器的质量为m’,在火星表面时重力
. 有加速度为g′
Mmπ2 = m( 2 对火星的一个卫星： G── )r ① ──r2T Mm ′对火星探测器： G── = m′g′ ② 2r0
υ1 =2 g′h ③
─────────
υ = √υ12 +υ02 ④
由以上各式得 υ =
2
√
───────r38π2h 2
──── ─── ⑤ 2 +υ02 rT0
15.已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕
地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
23Mm2?4?h ??同步卫星绕地球作圆周运动，由G得M??mh??GT2h2?T?2?请判断上面的结果是否正确，并说明理由.如不正确，请给出正确的解法和结果.
?请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 15.不正确.应为G
Mm?R?h?2?2??m??T?232???4?R?h，得M? ???R?h?2GT2?237
?2?gR2MmGMm由mg?，得 或由?M?G?m?TGR2r2?1?4?2r3 得??rM?GT2?1216.宇宙中某星体每隔4.4×10-4 s就向地球发出一次电磁波脉冲．有人曾经乐观地认为，这是外星人
向我们地球人发出的联络信号，而天文学家否定了这种观点，认为该星体上有一个能连续发出电磁波的发射源，由于星体围绕自转轴高速旋转，才使得地球上接收到的电磁波是不连续的．试估算该星体的最小密度．（结果保留两位有效数字）
16.解：接收电磁波脉冲的间隔时间即是该星体自转的最大周期
星体表面物体不脱离星体时满足：
2πMm
G2 = mR( )2 RT43
而M= πRρ
33π
∴ρ= 2
GT
代入已知数据得：ρ=7.3×1017kg/m3
专题三.万有引力定律的应用二
◎ 知识梳理
1.通过观测卫星的周期T和行星表面的重力加速度g及行星的半径R可以求出卫星的高度，也可以根据高度求出线速度和周期等。
2.利用万有引力提供向心力可以推导恒量关系式。 3. 利用卫星运动规律与光学问题综合
◎ 例题评析
【例8】已知地球半径约为R=6.4?106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。
【分析与解答】：因为mg= G
MmMm，而G=mr(2π/T)2 22Rr 所以，r=
3gR2T2=4?108m. 24?【例9】.我国已于2004年启动“嫦娥绕月工程”，2007年之前将发射绕月飞行的飞船.已知月球半径
62
R=1.74×10m，月球表面的重力加速度g=1.62m/s.如果飞船关闭发动机后绕月做匀速圆周运动，距离月
5
球表面的高度h=2.6×10m，求飞船速度的大小.
解:在月球表面
GMm?mg ① 2RGMmmv2飞船在轨道上运行时 ② ?2R?h(R?h)由①②式解得:v?Rg ③ R?h3
代入已知数据得:v=1.57×10m/s
38
【例10】行星的平均密度是?，靠近行星表面的卫星运转周期是T，试证明：?T2是一个常量，即对任何行星都相同。
4?2R3证明：因为行星的质量M=（R是行星的半径）(根据万有引力加速度与向心加速度)，行星的
GT2体积
4M3?， ?R3，所以行星的平均密度?==
3VGT23?即?T2=，是一个常量，对任何行星都相同。
GV=
r3【例11】设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T，试证明：2是一个常数，即对于同一天
Tr3体的所有卫星来说，2均相等。
TMmr3GMr32
证明：由G2= mr(2π/T)得2=，即对于同一天体的所有卫星来说，2均相等。
4?2rTT【例12】某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此
卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
【分析与解答】：（只要阳光射到S，即可看到，由于漫反射作用，日落时间内阳光被地球挡住）设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.有 S GmM2?2?mr() 2Trr A θ R O E 太阳光
春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示
赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心. 由图17可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有
rsin??R
图7
2?T 2?MG2?g Rt?4?2R3由以上各式可解得 t?arcsin(2)
?gTT1◎ 能力训练3
1.把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周.由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（CD）
A.火星和地球的质量之比 B.火星和太阳的质量之比
C.火星和地球到太阳的距离之比
39
D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比
2.地球同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2,，地球半径为R，则（B）
a1a1R2v1R2vRr① ＝ ② =2 ③=2 ④1＝
Rra2a2rv2rv2A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
3.把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周.由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（CD） A.火星和地球的质量之比 B.火星和太阳的质量之比
C.火星和地球到太阳的距离之比
D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比
4.现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星．它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起．设某双星中A、B两星的质量分别为 m 和 3m，两星间距为L，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动，则O点距B星的距离是多大？它们运动的周期为多少？
解：设O点距B星的距离为x，双星运动的周期为T，由万有引力提供向心力． 3m2π
对于B星：G2 = 3mx( )2
LT3m2π
对于A星：G2 = m(L-x) ( )2
LTL-x1
∴ = 3即 x = L ∴ T =πL
x4
L
(3分) Gm
22
4.2005年10月，我国神舟六号载人飞船成功发射.标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平.飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道.已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，求：
?飞船在上述圆形轨道上运行的速度v； ?飞船在上述圆形轨道上运行的周期T. ?v?gR2 ?
T?2?R?h?R?h?3gR2
5.某研究性学习小组首先根据小孔成像原理估测太阳半径，再利用万有引力定律估算太阳的密度.准备的器材有:①不透光圆筒，一端封上不透光的厚纸，其中心扎一小孔，另一端封上透光的薄纸；②毫米刻度尺.已知地球绕太阳公转的周期为T，万有引力常量为G.要求:(1)简述根据小孔成像原理估测太阳半径R的过程.(2)利用万有引力定律推算太阳密度.
解:(1)其过程如图所示，用不透光圆筒，把有小孔的一端对准太阳，调节圆筒到太阳的距离，在薄纸的另一端可以看到太阳的像.用毫米刻度尺测得太阳像的直径d，圆筒长为L.
设太阳的半径为R，太阳到地球的距离为r.由 成像光路图可知:△ABO∽△CDO，则:
Rd/2dr?，即R?. （需知r） rL2L (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质
40
C O D L A d B