成考专升本高数二课堂笔记

x→+∞,f(x)=2+→2

例:函数f(x)=2+e-x,当x→+∞时,f(x) →? 【答疑编号11010104:针对该题提问】

解:f(x)=2+e-x=2+

x→+∞,f(x)=2+→2

所以

(3)当x→-∞时,函数f(x)的极限

定义 对于函数y= f(x),如果当x→-∞时,f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x→-∞时,f(x)的极限是A,记作

x→-∞ f(x) →?

则 f(x)=2+ x→-∞, -x→+∞

(x<0)

f(x)=2+→2

例:函数,当x→-∞时,f(x) →?

【答疑编号11010105:针对该题提问】 解:当x→-∞时,-x→+∞

→2,即有

由上述x→∞,x→+∞,x→-∞时,函数f(x)极限的定义,不难看出:x→∞时f(x)的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时,函数f(x)有相同的极限A。

例如函数,当x→-∞时,f(x)无限地趋于常数1,当x→+∞时,f(x)也

无限地趋于同一个常数1,因此称当x→∞时的极限是1,记作

其几何意义如图3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲,因为有

即虽然当x→-∞时,f(x)的极限存在,当x→+∞时,f(x)的极限也存在,但这两个极限不相同,我们只能说,当x→∞时,y=arctanx的极限不存在。 (四)函数极限的定理

定理1.7 (惟一性定理)如果存在,则极限值必定惟一。

定理1.8 (两面夹定理)设函数满足条件:

在点的某个邻域内(可除外)

(1),(2)

则有。

也成立。

注意:上述定理1.7及定理1.8对 下面我们给出函数极限的四则运算定理

定理1.9 如果则

(1)

(2)

(3)当时,时,

上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形,有以下推论: 推论 :

(1)

(2)

(3)

用极限的运算法则求极限时,必须注意:这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在,且求商的极限时,还要求分母的极限不能为零。 另外,上述极限的运算法则对于 (五)无穷小量和无穷大量 1.无穷小量(简称无穷小)

的情形也都成立。

定义 对于函数则称在该变化过程中,

,如果自变量x在某个变化过程中,函数为无穷小量,一般记作

的极限为零,

常用希腊字母,…来表示无穷小量。

定理1.10 函数以A为极限的必要充分条件是:

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)