考点： 椭圆的简单性质．
专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a，b，c的关系，计算即可得到； （2）分别求出直线PB，TC的方程，代入椭圆方程，求得交点E，F的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值． 解答： 解：（1）由题意得e==解得a=2，c=则椭圆方程为
，b=1， +y=1；
2
，=，
（2）由B（0，1），C（0，﹣1），T（t，2）， 则直线TB：y=x+1，代入椭圆方程可得，（1+
）x+x=0，
2
解得xE=，
直线TC：y=x﹣1，代入椭圆方程可得xF=，
k====?=?
=，
令t+12=m＞12，则k=当且仅当m=24，即t=±2所以k的最大值为．
2
=1+
时，取得“=”，
﹣≤，
点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
19．设正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=b4=a6．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn=
，数列{cn}的前n项和为Tn，求所有正整数m的值，使得
+an，n∈N．正项等比数列{bn}满足：b2=a2，
*
恰好为数列{cn}中的项．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）利用递推式、等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （2）由题意得cn=
，可得T2m=（a1+a3+…+a2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=3+m
m
2
﹣1．T2m﹣1=T2m﹣b2m=3
m﹣1
+m﹣1，可得
2
≤3，故若使得恰好为数列{cn}中的项，只
能为c1，c2，c3．分类讨论即可得出． 解答： 解：（1）∵an＞0，当n=1时，a1=由Sn=
+an，
，
=0．
+
，解得a1=1．
当n≥2，Sn﹣1=两式相减，得
又∵an＞0，∴an+an﹣1≠0， ∴an﹣an﹣1=1，
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1， ∴an=1+（n﹣1）=n． 由b2=a2，b4=a6． ∴q=∴q=∴bn=
2
=，
=3，q＞0．
=．
（2）由题意得cn=
∴T2m=（a1+a3+…+a2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m） =
m
2
，
+
=3+m﹣1．
m2m﹣1m﹣12
T2m﹣1=T2m﹣b2m=3+m﹣1﹣2×3=3+m﹣1， ∴
=
=3﹣
≤3，
故若使得恰好为数列{cn}中的项，只能为c1，c2，c3．
（i）若3﹣=1，则3
m﹣1
=0，∴m无解．
（ii）若3﹣=2，可得3
m﹣1
+1﹣m=0，
2
显然m=1不符合题意，m=2符合题意．
当m≥3时，即f（m）=3+1﹣m，则f′（m）=3ln3﹣2m，
m﹣1m﹣12
设g（m）=3ln3﹣2m，则g′（m）=3（ln3）﹣2＞0，
即f′（m）为增函数，故f′（m）≥f′（3）＞0，即f（m）为增函数， 故f（m）＞f（3）=1＞0， 故当m≥3时，方程3（iii）若3﹣
m﹣1
m﹣1
2
m﹣1
+1﹣m=0无解，即m=2是方程唯一解．
=3，则m=1，即m=1．
2
2
综上所述：m=1或m=2．
点评： 本题考查了递推式、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知函数f（x）=x+ax﹣x+b，其中a，b为常数．
（1）当a=﹣1时，若函数f（x）在[0，1]上的最小值为，求b的值；
（2）讨论函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性；
（3）若曲线y=f（x）上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．
分析： （1）当a=﹣1时，求出函数的导数，利用函数f（x）在[0，1]上单调递减，推出b的关系式，求解b即可．（2）利用导函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a，求出极值点两个不等实根x1，2=
，①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根
3
2
时，②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，分别求解a的范围即可．
（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x1+2ax1﹣1，推出Q点处的切线方程，化简，
222
得x1+2x2=﹣3a，通过两条切线相互垂直，得到（4x2+8ax2+3a﹣1）（x2+2ax2﹣1）=﹣1．求解22
x2+2ax2﹣1≥﹣（a+1），然后推出a的范围即可．
2
解答： 解：（1）当a=﹣1时，f′（x）=x﹣2x﹣1，所以函数f（x）在[0，1]上单调递减，…（2分）
由f （1）=，即﹣1﹣1+b=，解得b=2．…（4分）
（2）f′（x）=x+2ax﹣1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=﹣a， 因为△=4a+4＞0，f′（x）=0有两个不等实根x1，2=
2
2
2
，…（5分）
①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，有
解得
． …（6分）
②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时， 有：f′（a）＜0，或
，解得
． …（8分）
③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，有，
解得综上：当当
．
时，f（x）在区间（a，+∞）上是单调增函数； 时，f（x）在区间（a，
）上是单调减函数，在区间（
，
+∞）上是单调增函数 当在区间（
时，f（x）在区间（a，
，
），（
，+∞）上是单调增函数，
）上是单调减函数．…（10）
2
（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x1+2ax1﹣1，
又设过P点的切线与曲线y=f（x）相切于点Q（x2，f（x2）），x1≠x2，则Q点处的切线方程为
2
y﹣f（x2）=（ x2+2ax2﹣1）（x﹣x2），
2
所以f（x1）﹣f（x2）=（ x2+2ax2﹣1）（x1﹣x2）， 化简，得x1+2x2=﹣3a． …（12分）
22
因为两条切线相互垂直，所以（x1+2ax1﹣1）（x2+2ax2﹣1）=﹣1，
222
即（4x2+8ax2+3a﹣1）（x2+2ax2﹣1）=﹣1．
2222
令t=x2+2ax2﹣1≥﹣（a+1），则关于t的方程t（4t+3a+3）=﹣1在t∈[﹣（a+1），0）上有解，…（14分）
所以3a+3=﹣4t﹣≥4（当且仅当t=﹣时取等号）， 解得a≥， 故a的取值范围是
． …（16分）
22
点评： 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点的应用，考查转化思想以及计算能力．
选修4-1：几何证明选讲
21．如图，已知直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．证明：DB=DC．