2
y D C P A O 图1 B x A C y E O F 图2 B x 解：（1）∵抛物线y＝－x＋bx＋c经过点A（－1，0），C（0，3）
???－1－b＋c＝0?k＝2?∴ 解得? ?c＝3?c＝3??
∴抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋3
2
（2）令－x＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴B（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b′
2
y D C ???3k＋b′＝0?k＝－1?∴ 解得? ′?b＝3?b′＝3??
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3 设P（a，3－a），则D（a，－a＋2a＋3）
22
∴PD＝－a＋2a＋3－(3－a)＝－a＋3a ∴S△BDC＝S△PDC＋S△PDB
2
P A O B x
＝
111
PD2a＋PD2(3－a)＝PD23 222
3332272
＝－(－a＋3a)＝－(a－)＋
2228
y E C H N M A O F B x
333
∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）
222
（3）∵y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4
∴OF＝1，EF＝4，OC＝3
过C作CH⊥EF于H点，则CH＝EH＝1 当M在EF左侧时
22
MFFN
∵∠MNC＝90°，∴△MNF∽△NCH，∴＝
NHHC
设FN＝n，则NH＝3－n，∴
2
1－mn＝ 3－n1
y E C H 即n－3n－m＋1＝0
2
关于n的方程有解，△＝(－3)－4(－m＋1)≥0
5
得m≥－
4
当M在EF右侧时
连接CE，在Rt△CHE中，CH＝EH＝1 ∴∠CEH＝45°，即∠CEF＝45°
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM＝45°
A O F B M x ∵FM＝EF＝4，∴OM＝5
即N为点E时，OM＝5，∴m≤5
综上，m的变化范围为：－
5
≤m≤5 4
141．（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田）如图，抛物线y＝ax＋bx＋2交x轴于A（－1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′ 恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
y y
C D C D
x x A O B A O B
备用图
2
解：（1）∵抛物线y＝ax＋bx＋2经过A（－1，0），B（4，0）两点
2
??a－b＋2＝0∴? 解得：?16a＋4b＋2＝0?
?
?3?b＝2
a＝－
12
123
∴y＝－x＋x＋2
22
123
当y＝2时，－x＋x＋2＝2，解得：x1＝3，x2＝0（舍去）
22
∴点D坐标为（3，2）
（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能： ①当AE为一边时，AE∥PD，∴P1（0，2）
②当AE为对角线时，根据平行四边形对角顶点到另一条对角线距离相等， 可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等 ∴P点的纵坐标为－2，代入抛物线的解析式
－
3＋413－41123
x＋x＋2＝－2，解得：x1＝，x2＝ 2222
3－413＋41∴P2（，－2），P3（，－2）
22
综上所述：P1（0，2），P2（
3－413＋41
，－2），P3（，－2） 22
（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方 123
设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，－a＋a＋2）
22
①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ＝a， 123123PQ＝2－(－a＋a＋2)＝a－a
2222
y C D Q P A O Q′ F B x
∵∠CQ′O＋∠FQ′P＝90°，∠CQ′O＋∠OCQ′＝90°
∴∠FQ′P＝∠OCQ′，又∵∠COQ′＝∠Q′FP＝90°
Q′CPQ′
∴△COQ′∽△Q′FP，∴＝ COQ′F
123
a－a
2a2
∴＝，∴Q′F＝a－3 2Q′F
图1 22
∴OQ′＝OF－Q′F＝a－(a－3)＝3，CQ＝CQ′＝3＋2＝13
即a＝13，∴P（13，
－9＋313
2
）
Q F y C A O Q′ D B x
②当P点在y轴左侧时（如图2），CQ＝－a， PQ＝2－(－
123123
a＋a＋2)＝a－a 2222
x ∵∠CQ′O＋∠FQ′P＝90°，∠CQ′O＋∠OCQ′＝90°
∴∠FQ′P＝∠OCQ′，又∵∠COQ′＝∠Q′FP＝90°
Q′CPQ′
∴△COQ′∽△Q′FP，∴＝ COQ′F
123
a－a22－a
∴＝，∴Q′F＝3－a 2Q′F
P 图2 22
∴OQ′＝Q′F－OF＝3－a－(－a)＝3，CQ＝CQ′＝3＋2＝13
即a＝－13，∴P（－13，
－9－313
2
）
－9＋313
综上所述，满足条件的点P坐标为（13，
2
2
），（－13，
－9－313
2
）
142．（湖北孝感）如图，抛物线y＝ax＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点坐标分别是A（－1，0），B（3，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；
（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为____________时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为____________时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）． y y D D
C 2 1 P C 2 1 A －B 1 M 2 3 A x －B 1 2 3 2 －1 O －1 －2 －1 O －1 －x 2 2 备用图 解：（1）∵抛物线y＝ax＋bx＋c过点C（0，3），∴c＝3
2
又∵抛物线y＝ax＋bx＋c过点A（－1，0）、B（3，0）
2
???0＝a－b＋3?a＝－1∴? 解得：? ?0＝9a＋3b＋3?b＝2??
∴抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋3
22
∵y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4 ∴顶点D的坐标是（1，4）
（2）设直线BD的解析式为y＝kx＋n（k≠0），把B、D的坐标代入，得
2
???0＝3k＋n?k＝－2? 解得：? ?4＝k＋n?n＝6??
y C 2 1 D P ∴直线BD的解析式为y＝－2x＋6
∵P点在线段BD上，∴设P点坐标为（m，－2m＋6） 又∵PM⊥x轴于点M，∴PM＝－2m＋6，OM＝m 又∵A（－1，0），C（0，3），∴OA＝1，OC＝3 ∴S四边形PMAC＝S△OAC＋S梯形PMOC
A －B 1 M 2 3 2 －11
＝×1×3＋(－2m＋6＋3)2m 22
1 O －1 －x
93921052
＝－m＋m＋＝－(m－)＋
22416
2
∵1＜
99105
＜3，∴当m＝ 时，四边形PMAC面积的最大值为 4416
93此时P点坐标是（，）
42
1115
（3）（2，3）；（，）
416
y C D P 提示：①当四边形PQAC是平行四边形时
则CP∥x轴
∵点P在抛物线上
∴点P与点C关于抛物线的对称轴x＝1对称 ∵C（0，3），∴P（2，3）
②当四边形PQAC是等腰梯形时 则∠QAC＝∠PCA
在OC上取点E，使∠EAO＝∠OCP，连接AE，设OE＝x 则∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE＝3－x
在Rt△OAE中，由勾股定理得：OA＋OE ＝AE
A O Q B x 222
y C D 4222
∴1＋x＝(3－x)，解得x＝ 3
∴tan∠OCP＝tan∠EAO＝
OE4＝ OA3
E 2
过点P作PF⊥y轴于点F，设P（m，－m＋2m＋3）
22
则PF＝m，CF＝3－(－m＋2m＋3)＝m－2m
PF4m4
∴tan∠OCP＝＝，∴2＝ CF3m－2m3
A O F Q P B x