The Cross-Section of Expected Stock Returns
EUGENE F. FAMA and KENNETH R. FRENCH (1992)
摘要：
结合两个简单的衡量变量：规模和账面对市价比，获得与市场β、规模、财务杠杆、账面对市价比、收益价格比有关的股票平均回报率横截面变动的关系。而且，当检验中考虑到β的变动与规模无关时，即使β是唯一解释变量，市场β跟股票平均回报率间的关系是无关的。
Sharpe(1964), Linter(1965), 和 Black(1972)所提出的资产定价模型长期被学术界及实务界用来探讨平均回报率与风险的关系。这个模型核心预测是财富投资的市场组合是马科维茨提出的均值-方差有效。效率市场投资组合意味着：(a)证券的预期回报率与市场β（一个证券收益对市场收益的回归斜率）是正的线性函数关系。(b)市场βs有能力解释预期横截面回报率。
实证上的发现有许多与Sharpe-Lintner-Black(SLB)模型相矛盾的地方。最突出的是Banz(1981)的规模效应：在给定市场βs下预期股票回报率的横截面，加入市值ME(股票价格乘以流通在外股数)这个解释变量，结果显示在给定他们的β估计下，低市值股票的平均回报率太高；高市值股票的平均回报率则太低。
另一个有关SLB模型的矛盾则是Bhandari(1988)所提出的财务杠杆与平均回报率间的正相关。财务杠杆与风险及回报率相关看起来似乎合理，但在SLB模型下，财务杠杆风险应已包含于市场β中。然而Bhandari发现财务杠杆能协助解释包含规模(ME)和β的平均股票回报率的横截面变动。
Stattman(1980), Rosenberg, Reid , and Lanstein (1985)发现美国股票的平均回报率与普通股账面价值(BE)市值(ME)比有正相关。Chan, Hamao, and Lakonishok(1991)发现账面对市价比(BE/ME)对于解释日本股票的横截面平均回报率也扮演很重要的角色。
最后，Basu(1983)认为E/P ratio也能协助解释包含规模与市场β的美国股票横截面平均回报率。Ball(1978)提出E/P是一个在预期股票回报率下，可包括所有未知因子的代表变量；无论风险来源为何，E/P较高(价格相对于盈余低)的股票似乎也伴随着高风险与高回报率。
Ball对于E/P代表变量的观点也适用于规模(ME)、财务杠杆及账面对市价比。这些变量被视为同衡量股票价格的方法，从股价中提取关于风险和预期回报率信息 (Keim(1988)。更进一步看，E/P、市值、财务杠杆、及BE/ME比都可以看作是衡量价格的版本，故认为这些变量中其中某些对于预测平均回报率是多余的假设是合理的。本文的目标为衡量市场β、规模、E/P、财务杠杆、及账面对市价比在解释NYSE、AMEX、NASDAQ股票横截面平均回报率的联合解释能力。
Black, Jensen, and Scholes(1972)、Fama, and MacBeth(1973)发现：如SLB模型预测，平均股票回报率与β在过去到1969年期间，具有正的简单相关关系。就像Reinganum(1981)及Lakonishok and Shapiro(1986)的研究结果，本文发现在近期1963-1990这段期间，β与平均回报率间之相关性消失了，即使把β作为平均回报率的唯一解释变量。附录显示，在五十年间(1941-1990)，β与平均回报率间之简单相关也很薄弱。简而言之，本文的检验并不支持SLB模型的基本预测：平均回报率与市场βs有正相关的关系。
不像β与平均回报率间之简单相关，平均回报率与规模、财务杠杆、E/P及账面对市价比之间的单一变量关系很显著。在多元变量检验中，规模与平均回报率的负相关较包含其他变量下是非常显著的。账面与市价比及平均回报率间的正
相关也持续对抗其他变量。而且，虽然规模效果吸引较多注意，账面对市价比与平均回报率的关系也扮演一个重要的角色。本文最后的结论：(a) β似乎无法协助解释横截面的股票平均回报率。(b)规模、账面对市价比似乎可吸收财务杠杆及E/P在平均股票回报率上的解释角色，至少在本文所选取的1963-1990样本期间是如此。
假如资产被理性的定价，本文关于股票风险的结论是多面的。关于风险的其中一面可由规模、市值代表。另一面可由BE/ME(账面价值对市价比)代表。
Chan and Chen(1991)认为以BE/ME衡量的风险有可能是相对不良因子。他们主张公司的盈余展望与回报率的风险因子相关。市场预期未来展望不佳的公司、相较于未来展望乐观的公司会传递低股价的信号，高账面市价比、更高的预期股价回报率(伴随而来的为高资金成本)。然而，也有可能BE/ME比正好获得解开关于公司前景非理性市场的反复无常。
无论基本经济因素为何，本文的主要结论是明确的。在1963-1990期间，两个简单的衡量变量，规模、账面对市价比(BE/ME)，提供一个横截面平均股票回报率简单且有力的解释。
下一部分本文讨论关于估计β的资料及方法。第二部分检视平均回报率与β、平均回报率与规模间的关系。第三部分检视E/P、财务杠杆、账面对市值比，对解释平均回报率上的角色。在第四部分及第五部分，总结、解释并讨论这些结果的应用。
I. 准备工作
A. DATA
使用所有非金融业的交易资料：(a)从CRSP取得NYSE、AMEX、及NASDAQ的回报率资料。(b)由CRSP提供的合并的COMPUSTAT年产业资料库中的损益表及资产负债表资料。对金融业而言可能是合理的高财务杠杆、但对其他非金融业公司也许是破产的可能，因此排除金融业。CRSP涵盖NYSE及AMEX股票回报率资料，直到1973年才加入NASDAQ的回报率。COMPUSTAT的资料从1962到1989年。1962年的起始日反映普通股的账面价值(COMPUSTAT item 60)，一般无法取得在1962年以前的资料。较重要的是，早些年COMPUSTAT的资料有严重的选择偏误：1962年以前的资料选择历史上规模大且成功的公司。
为了确保会计变量数据比被用来解释的收益率数据更早的被人们知道，将所有会计年度期末t-1(1962-1989)的会计资料与t年七月至t+1年六月的回报率相匹配。六个月的间距在会计期末及回报率检验间是保守的。早先文献(Basu(1983))假设会计期末的三个月内，会计资料是可取得的。公司的确必须在90天内提供其报告给SEC，但平均有19.8%的公司未遵守。除此之外超过40%的以12月为会计年度末的公司没有遵守90天期限的规定，于三月三十一日提交报告，且其报告直到四月也未公开。(Alford, Jones, and Zmijewski(1992))。
使用一家公司在t-1年十二月期末的市值，计算t-1年其账面对市价比、财务杠杆、及盈余股价比，并使用t年六月的市值衡量其规模。因此，为了包含在t年七月的回报率检验，公司必须有CRSP t-1年十二月、t年六月的股价。也必须有t年七月前60个月中至少24个月的月回报率(以下讨论，为了估计pre-ranking β)。样本公司必须有会计年度结束于t-1年的总账面价值(A)、账面权益(BE)、盈余(E)等COMPUSTAT资料。
在E/P、BE/ME和杠杆比率中使用十二月的市值，对于会计年末不是在十二月末的公司是客观的，因为比率中分子的会计变量与分母的市值不一致。在会计
期末使用ME也是有问题的；给定年度之横截面变动有部分是由于当年度的市场变动。举例来说，假设当年度股票皆为下跌，当年度较早衡量的比率将会低于当年度较晚衡量的比率。然而，会计比例中使用会计期末的ME相较于使用十二月的ME在回报率检验上几乎没有影响。
最后，检验有不同会计期末的公司。采用t-1所有会计期末的会计资料与t年七月到t+1年六月的回报率资料做配对，会计资料与所配对的回报率间距因每间公司不同而不同。本文用小样本的以12月为会计期末的公司做过检验，得出了相似的结果。
B. 估计市场βs
资产定价检验使用Fama and MacBeth(1973)年的横截面回归方法。每个月的横截面股票回报率对每个解释预期回报率的假设变量做回归。月回归斜率的时间序列方法，提供了不同的解释变量对平均股价的标准检验。
既然规模、E/P、财务杠杆、及BE/ME可精确衡量单一股票，没有理由去使用Fama-MacBeth(FM)回归中使用投资组合，从而混淆这些变量所提供的信息。大多数过去的研究均使用投资组合，这是因为利用投资组合估计市场βs较为精确。本文采用的方法是估计投资组合βs，然后将投资组合的β分配到投资组合中的每支股票。这样允许本文在FM资产定价检验使用个别股票。
B.1. β估计：细节
每年六月，所有在CRSP的NYSE股票按照规模排序决定ME的NYSE十等分分点。NYSE、AMEX、NASDAQ股票必须有CRSP-COMPUSTAT的资料，然后将其分配至按照NYSE股票规模分点的十个投资组合中。（假如本文使用这三个交易所所有的股票决定其规模分类，当NASDAQ的股票被加入样本，多数的投资组合会只包含1973年后的小股票。)
因为Chan and Chen(1988)及其他相关研究证明，规模能使平均回报率及βs产生宽的范围，因此本文利用规模构建投资组合。Chan and Chen只使用规模投资组合。产生的问题为规模与规模投资组合的βs高度相关(他们的数据为-0.988)，因此资产定价检验对于个别规模中β对平均回报率的影响缺少检验力。
为了使β的变动与规模无关，将依照规模分类的十个投资组合，依据个别股票pre-ranking βs的基础再细分为十个投资组合。pre-ranking βs是利用t年七月以前五年内24到60个月回报率估计的。仅使用NYSE股票中有t-1年COMPUSTAT-CRSP的资料的公司来设定β在每个规模中的十分位点。使用NYSE股票是为了确保β分点不会被1973年后NASDAQ的许多小公司股票所支配。利用满足COMPUSTAT-CRSP资料需求的股票设定β分点是为了保证在100个size-β投资组合中有公司存在。
在六月，分配公司到的size-β投资组合之后，计算接下来从七月到次年六月共十二个月等值加权的投资组合月回报率。最后，将得到利用规模及pre-ranking βs所构建的100个投资组合从1963年7月到1990年12月的post-ranking月回报率。然后使用在100个投资组合中，每个投资组合post-ranking回报率的完整样本(330个月)，及NYSE、AMEX、和1972年以后的 NASDAQ等被一般被视为市场代表性的股票组成的CRSP价值加权投资组合来估计βs。本文也使用NYSE股票价值加权或等值加权的代表市场的投资组合来估计βs。这些βs使得下面所讨论有关β在解释平均回报率上的角色产生推论。
本文用投资组合收益对现有及过去的月度市场回报率做回归后得出的斜率
加总来估计β。(市场一个额外的提前和滞后对βs的总和几乎没有影响)βs的加总是为了校正不同步的交易(Dimson(1979))。Fowler and Rorke(1983)表明当市场回报率自相关时，βs的加总是有偏的。1963年7月到1990年12月，每月市场回报率的一阶和二阶自相关分别是0.06及-0.05，都是距离0约1个标准差。如果Fowler-Rorkes相关性被使用，会导致βs细微的变动。因此本文依旧使用较为简单的βs加总。附录Table AI显示，使用加总的βs会使最小ME投资组合的βs大幅度增加；最大ME投资组合的βs小幅度减少。
Chan and Chen(1988)主张在检验SLB模型中用投资组合全期的β估计可以表现良好，即使投资组合中的实际βs会随着时间改变，如果βs是成比例的变动。
?jt??j?kt(?j??) (1)
且β是?j?jt是投资组合j在t时间的真实β，?j是?jt在时间t中的平均数，的平均数。附录主张公式(1)对于利用规模及β构建的投资组合(j)中，实际βs随
着时间过去的变动，是一个好的估计式。对于顽固的β跟随者，必定会怀疑解释股票平均回报率中β的薄弱角色，本文的结果表明使用五年pre-ranking βs，或是五年post-ranking βs，而不是全期post-ranking βs，也能经得起鲁棒性检验。
本文分配全期post-ranking的β给size-β投资组合的给投资组合中的每一支股票。这些是会在Fama-MacBeth对于个别股票横截面回归中被使用的βs。本文认为相对于从个别股票中获得的β估计值之不精确、全期投资组合post-ranking βs是精确的，弥补了在一个组合中所有股票βs是不一样的事实。且分配全期投资组合的βs给股票并不是指一支股票的β是固定的。股票可以随着每年股票规模(ME)的改变以及先前五年其β的估计值在投资组合间移动。
B.2 β估计
表I显示利用规模及pre-ranking βs构建的投资组合，较之以规模构建的投资组合，扩大其全期post-ranking βs的范围。只依据规模分类，post-ranking βs范围从最小ME投资组合的1.44，到最大ME投资组合的0.92。βs的范围在按规模10等分时小于β在任何规模分类下post-ranking βs的范围。举例来说，post-ranking βs在10个投资组合中之最小规模投资组合，其分类的范围从1.05到1.79。在全部100个size-β投资组合中，post-ranking βs的范围从0.53到1.79，其范围是仅按照规模分类范围的2.4倍。
另外还有两个关于βs的重要事实。首先，在每个规模的十等分下，post-ranking βs紧密的再复制pre-ranking βs的顺序。使用这个结论证明pre-ranking β分类获得实际post-ranking βs的次序。第二，β的分类并不是单纯的按照规模分类。在任何规模十分位中，ln(ME)的平均值近似于β分类投资组合。因此pre-ranking β分类达到了它的目标。在事后排序与规模不相关的βs产生显著的变动。对于本文的检验去区分β与规模对于平均回报率的影响是重要的。
II. β and Size
SLB模型在学术及实务上探讨有关风险、风险与预期回报率间相关性上扮演重要角色。接下来将证明当普通股投资组合单独以规模构建，似乎可证明模型的中心思想：平均回报率与β正相关。然而，投资组合的βs几乎与规模完全相关，因此对规模投资组合的检验似乎无法解开β与规模对平均回报率的影响。考虑到β的变动与规模无关时可打破僵局，但必须以β为代价。因此，当本文以
pre-ranking的βs为基础，将规模投资组合再分类，发现平均回报率与规模之间有显著的相关性，但平均回报率与β间不相关。
A. Informal Tests
表II表现，仅以单一因子(β或规模)将股票予以分类的投资组合，在1963年7月到1990年12月的post-ranking平均回报率。这些投资组合是构建在每年6月底，且其等权回报率计算接下来12个月。使用7月到6月的回报率与使用会计资料做检验的稍晚回报率做配对。当只依据规模或5年pre-ranking的βs做分类，本文构建出12个投资组合。中间八个以规模或β作十分位分类。最前端及最末端的再等分成四个投资组合分别为(1A, 1B, 10A,and 10B)。
由表II可看出，当投资组合仅以规模构建，可观察出规模与平均回报率间熟悉的显著负相关(Banz(1981))，且平均回报率与β间显著的正相关。每月平均回报率由最小ME投资组合的1.64%下降到最大ME投资组合的0.9%。Post-ranking βs在12个投资组合中也逐步下降，由投资组合1A的1.44下降到投资组合10B的0.9。因此，一个简单的规模分类似乎支持SLB模型对于β及平均回报率间具有正相关的预测。但这个证据由于规模与规模投资组合的βs的紧密相关而模糊。
表II中依股票市场βs基础所构建的投资组合，其βs相较于以规模基础构建的投资组合有一较大的范围(从1A的0.81到10B的1.73)。不像规模投资组合，以β分类的投资组合不支持SLB模型。在β投资组合中平均回报率有一些小小的价差，且β与平均回报率间无显着相关。举例来说，虽然两个极端的投资组合1A及10B，有着差异极大的βs，却有着几乎一致的平均回报率(月回报率分别为1.20% 和 1.18% )。1963-1990的这些结果，证明了Reinganum's (1981)以β分类的投资组合中，平均回报率与β在1964-1979这段期间不相关。
表I中利用规模、然后pre-ranking β构建的100个投资组合，提供了仅以规模或是β构建的投资组合中，β与平均回报率间的关系矛盾的证据。特别的是，二分类法对于β与规模对于平均回报率间的分别影响提供了一个清楚的图表。与SLB的主要预测相反，将β再分类的方法使平均回报率产生较小的变动。虽然post-ranking βs在每个规模的十分位分类中显著增加，平均回报率却无波动、或相当微弱的小幅减少。相较来说，表I每栏中平均回报率与βs随着规模增加而减少。
表I中β与规模的二分类法，说明β的变动若来自规模，则与平均回报率间有正相关；但若β的变动与规模无关，则无法解释1963-1990的平均回报率。似乎可适当推论规模与平均回报率之间有相关性，但若控制规模，β与平均回报率之间则没有关系。稍后的回归证实此结论，并产生其他更显著的结果。回归式说明，当考虑到β的变动与规模无关时，即使β是唯一的解释变量，β与平均回报率间的相关性很小。
B. Fama-MacBeth Regressions
表III为横截面股票回报率对规模、β，以及被使用来解释股票平均回报率的其他变量(leverage, E/P, 账面市价比)每月做FM回归的时间序列平均斜率。平均斜率提供标准FM检验确认解释变量平均值在1963年7月到1990年12月有非零的预期贴水。
就如表I及表II，表III回归式说明规模，ln(ME)，可帮助解释横截面股票平均回报率。单以规模分类的回报率做的月回归之平均斜率为-0.15%，t检验量为-2.58。无论与任何其他解释变量做回归，ln(ME)与回报率都是负相关的；ln(ME)的平均斜率总是接近或大于两倍标准误。规模效果(小公司高回报率) 被证实存在
于1963-1990间NYSE、AMEX、及NASDAQ的股票。
相较于规模解释能力的一致性，FM回归说明市场β对于解释1963-1990的股票回报率无帮助。直捣而入SLB的中心思想，单以β分类的回报率做回归之平均斜率在表III中为每个月0.15%，且仅有0.46的标准误。回报率对规模及β做回归，规模具有解释能力(平均斜率之标准误-3.41)，但β的平均斜率为负且只有1.21的标准误。Lakonishok and Shapiro (1986)对于 1962-1981间NYSE的股票的研究有类似结果。也可以说使用多种组成因子的FM回归中，β对于平均回报率无解释能力。
C. Can β Be Saved
什么可以解释β这样的结果？一个可能性是其他解释变量与真实βs相关，模糊了平均回报率与衡量的βs间的关系。但这个原因无法解释为何单独使用β解释平均回报率，β仍无解释能力。而且，leverage、账面市值比、E/P似乎并不适合代替β。β与的这些变量的月横截面相关系数平均数，皆在-0.15到0.15之间。
另一个假设是，就如SLB模型所预测的，β与平均回报率间具正相关，但相关性在估计β时被模糊了。然而，全期的post-ranking βs似乎并没有不精确。大多数βs的标准误(没有展示)为0.05或更低，只有1个大于0.1，且其标准误相对于βs的范围(0.53-1.79)来说是小的。
表I、表II中β-sorted投资组合，提供了强力的证据反对假设β衡量有误的说法。当投资组合只以单一pre-ranking βs构建(表II)，投资组合的post-ranking βs几乎复制了pre-ranking βs的次序。只有投资组合1B不在顺序，也仅相差了0.02。相似的是，当投资组合先以规模然后pre-ranking βs之分类构建(表I)，在每个规模十分位的post-ranking βs也几乎复制了pre-ranking βs的次序。
表I、表II中按照β-sorted投资组合，pre-ranking βs与post-ranking βs间次序的一致性，证明post-ranking βs对于真实βs的次序是能提供有用信息的。SLB模型的问题在于β-sorted投资组合的平均回报率没有相似的排序。不管是单以β分类的投资组合(表II)，或是先以规模再以β分类的投资组合(表I)，当post-ranking βs增加：平均回报率是平坦(表II)，或是微幅下跌(表I)。
本文证明规模效果确实存在，而且β与平均回报率缺乏相关性，与SLB模型的主张相矛盾的，本文理应检验在1963-1990年间的结果是否有特别之处。附录说明1941-1990年NYSE的回报率，与NYSE、AMEX、及NASDAQ 1963-1990年的回报率有类似的表现；在这50年间确实有规模效果存在，但β与平均回报率间的相关性小。有趣的是，1941-1965年β与平均回报率间确实有简单的相关。这25年是早期Black, Jensen, and Scholes(1972) 及Fama and MacBeth (1973)研究中主要的样本期间。然而，甚至是在1941-1965年，当本文控制规模，β与平均回报率间的关系也消失了。
III. 账面市值比, E/P, and Leverage
表I到表III说明规模及股票回报率间有强力关系，但β与股票回报率间无确实的关系。这个部分将说明账面市值比与平均回报率间亦有很高的相关性。更可能的是，book-to-market效果大于规模效果，本文也发现由规模与账面市值比的组合将取代leverage、E/P在股票平均回报率上的显著角色。
A. Average Returns
表IV说明以账面市值比 (BE/ME)或是earnings-price ratio (E/P)所构建投资组合，1963年7月到1990年12月的回报率。表IV中BE/ME及E/P投资组合是
以如表II中β及规模投资组合相同的方法（一维年度分类）所构建的。 （详细请看表格）
E/P与股票平均回报率间有一熟悉的U型关系。(例如Jaffe, Keim, and Westerfield (1989)对美国股票的研究、及Chan, Hamao, and Lakonishok (1991)对日本股票的研究)。月平均回报率从负E/P投资组合的1.46%到低但为正E/P的投资组合1B的0.93%。然后平均回报率单调上升，在最高E/P投资组合达到每月1.72%。
表IV最显着的证据为，账面市值比与平均回报率间的显著正相关。平均回报率从最低BE/ME投资组合的0.3%到最高BE/ME投资组合的1.83%，每个月有1.53%的差距。这个差距是两倍于表II中最小至最大规模投资组合间平均回报率的差距(0.74%)。也说明了账面市值比与平均回报率间显著的关系，不可能是受β的潜在影响。表IV也说明post-ranking 市场 βs在以BE/ME构建的投资组合间变动很小。
平均而言，（在2317家公司）每年只有50家公司有负的账面价值。具有负账面价值的公司大多集中在样本中的最后14年，1976-1989年，本文不将其纳入检验中。然而，负BE公司的平均回报率高，就像有高BE/ME公司的平均回报率一样。负BE(负盈余导致的)及高BE/ME(一般认为股票价格会下跌)，皆有对于未来盈余看坏的讯号预测。负BE/ME与高BE/ME公司的平均回报率与账面市值比的假设一致， 账面市值比解释平均收益的横截面变动与不良因子有关。
B. Fama-MacBeth Regressions
B.1. BE/ME
表III的FM回归证实了在解释横截面股票平均回报率上，账面市值比的重要性。只以ln(BE/ME)做的月回归平均斜率为0.5%，t统计量为5.71。账面对市价比的关系比规模效果显著，因为仅以ln(ME)做的回归之t统计量为-2.58。但账面市值比不能取代规模在解释股票平均回报率上的角色。当ln(ME)及ln(BE/ME)都被包含在回归式中，规模的平均斜率标准误依然是-1.99，book-to-market的斜率标准误则为显着的4.44。
B.2. Leverage
FM回归利用杠杆变量解释回报率，提供了有趣的一个想法深入了解账面市值比与平均回报率间的关系。本文使用了两个杠杆变量，账面资产对市值比(A/ME)、账面资产对账面价值比(A/BE)。将A/ME视为衡量市场杠杆、A/BE视为衡量账面杠杆。回归用杠杆比率的自然对数，ln(A/ME)及 ln(A/BE)，因为初步检验显示出取对数对于获得平均回报率上的杠杆效果而言，是一个好函数形式。使用对数形式也提供了在平均回报率中杠杆作用与账面市值比的关系简单解释。
回报率对财务杠杆比率做FM回归(表III)，提出了一些困惑。两个杠杆变量与回报率相关，但却有着相反的符号。如Bhandari (1988)主张，较高的市场杠杆应有较高的平均回报率，ln(A/ME)的平均斜率总为正且大于4倍标准误。但高账面应有较低的平均回报率，ln(A/BE)的平均斜率总为负且大于4倍标准误。
关于ln(A/ME) 及 ln(A/BE)平均斜率符号异向之谜有一个简单的解释。两个杠杆变量的平均斜率符号异向，但有着相近的绝对值，例如0.5和-0.57。因此市场及账面杠杆间的差异，可协助解释平均回报率。但市场及账面杠杆间的差异是账面市值比, ln(BE/ME) = ln(A/ME) - ln(A/BE)。表III显示FM回归之平均账面市
值比斜率的确与两个leverage变量斜率的绝对值很接近。
杠杆与账面市值比之间紧密联系的结果，表明有两个等效方法可解释账面市值比效应对平均回报率的效果。相对于低BE/ME公司，市场认为高BE/ME 公司(股票价格相对低于账面价值)有较差的前景。Chan and Chen (1991)推测BE/ME可能获得相对困境效果。高账面市值比率也说明一家公司的市场杠杆相对高于其账面杠杆，公司将面临大的市场施加的 杠杆，因为市场不看好其未来前景，且其股价会相对于账面价值折价。简而言之，本文的检验说明由BE/ME获得的相对困境效果，也能够由A/ME和A/BE的差异衡量的杠杆效应解释。
B.3. E/P
Ball (1978)假设E/P比率包含预期回报率其他被忽略的风险因子。假如现在盈余代表对未来盈余的预期，具有高预期回报率的高风险股票，会有相对低于其盈余的股价。因此，无论被忽略风险是什么，E/P应与预期回报率相关。然而，这项观点只在公司具有正盈余下才成立。当现在盈余为负，股价中并不包含对未来盈余的预测，因此E/P不是预期回报率的代理变量。在FM回归中，E/P须为正值，当E/P为负的情况下则使用虚拟变量。
表Ⅳ观察到的平均回报率与E/P间的U型关系，在表III中仅使用E/P变量做FM回归也出现了。E/P虚拟变量的平均斜率(每月0.57%，标准误2.28)，证实负盈余公司有较高平均回报率。有正E/P股票的平均斜率(每月4.72%，标准误4.57)显示当E/P为正，平均回报率会随E/P增加而上升。
将规模加入回归式中，将破坏E/P虚拟变量的解释能力。因此，规模更能解释平均回报率高的负E/P股票，表IV表明这些公司是平均规模小的公司。将规模及账面市值比均加入E/P回归式，会破坏E/P虚拟变量的解释能力，且将E/P的平均斜率从4.72降低到0.87(t=1.23)。对比之下，ln(ME)及ln(BE/ME)包含E/P回归式中的平均斜率，和平均回报率对规模及账面市值比做回归的平均斜率相近。这样的结果说明(正)E/P与平均回报率间的关系，是因为E/P与ln(BE/ME)是正相关的(详见表IV)。有高E/P的公司会有高账面市值比的倾向。
IV. A Parsimonious Model for Average Returns
将结果简单摘要如下：
(1) 当考虑到β的变动与规模无关，β与平均回报率间没有可靠的关系。 (2) 平均回报率中市场杠杆及账面杠杆所扮演之相对角色，可由账面市值比获得。
(3) E/P与平均回报率间之关系，似乎可由规模及账面市值比的组成所吸收。
简而言之，市场β似乎无法解释NYSE、AMEX、及NASDAQ股票在1963-1990年的平均回报率；而规模及账面市值比能解释与杠杆及E/P相关的股票平均回报率横截面的变动。
A. Average Returns, Size and Book-to-Market Equity
Table V平均收益矩阵利用简单的图表说明了，平均回报率先以规模分类成10等分、再以BE/ME分类成10个投资组合下的两维变动。规模分类中(回报率矩阵的每一行)，回报率随着BE/ME上升而增加：平均而言，在某个规模分类中，最低与最高BE/ME投资组合的回报率相差约为每月0.99%(1.63%-0.64%)。相似的，由回报率矩阵每一列的资料可看出平均回报率与规模间的负相关：平均而言，
在某个BE/ME分类中的规模投资组合的回报率价差约为0.58%。平均回报率矩阵给从回归中得出的结论赋予了生命：若控制规模，账面市值比可显著解释平均回报率的变动；若控制账面市值比，平均回报率可看出规模效应。
B. The Interaction between Size and Book-to-Market Equity
个股ln(ME)和ln(BE/ME)每月平均横截面相关性为-0.26。在Tables II 和Tables IV中以ME或BE/ME排序投资组合中的ln(ME)和ln(BE/ME)平均值的负相关也是显而易见的。因此，低市值的公司更可能会有差的前景，从而造成低股价以及高账面市值比。相反的，高市值的公司可能会有好的前景，高股价以及低账面市值比还有低的平均回报率。
在Table III中规模和账面市值比之间的相关性会对回归式造成影响，若将ln(BE/ME)并入ln(ME)做回归，ln(ME)平均斜率将从单变量回归的-0.15 (t = -2.58)变成双变量回归的-0.11(t 值 -1.99)，同样的，将ln(ME)并入ln(BE/ME)中则平均斜率从0.50 降至0.35(仍有4.44的标准误)。因此，在简单回归中的规模效应部分，是因为小ME股票更可能有高的账面市值比率，账面市值比效应部分则是因高BE/ME的股票倾向于降低(有低的ME) 。
但是，本文不该夸大规模与账面市值比之间的关系。ln(ME)和ln(BE/ME)之间的相关性为-0.26并非相当大，在Table III中双变量回归的平均斜率显示ln(ME)和ln(BE/ME)都需要解释横截面的平均股票回报率。最后，在Table V 10 x 10的平均回报率矩阵中提供了具体的证明：(a)在控制规模下，账面市值比能够解释横截面的平均回报率的主要变动。(b)在BE/ME的范围内规模与平均回报率是相关的。
C. Subperiod Averages of the FM Slopes
Table III中在1963年到1990年间平均FM斜率，在横截面股票回报率中size会有负溢价，账面市值比则有正的溢价，市场β的平均溢价实质上为0。Table VI显示来自两个大约相等期间(1963年7月到1976年12月以及1977年1月和1990年12月)的回归式的平均FM斜率：(a)横截面股票回报率对规模(ln(ME))和账面市值比(ln(BE/ME)做回归 ，(b)回报率对β,ln(ME)和ln(BE/ME)做回归。表中也分别显示，NYSE股票以市值加权与等值加权投资组合的平均回报率。
在FM回归中，截距项是标准投资组合(股票的投资权重加权为1)的回报率，解释变量平均权重为0 (Fama (1976)，第九章 )。在本文的检验中，截距项权重倾向于小股票(ME单位用百万表示，所以ln(ME) = 0隐含ME = 1 百万美元)相对高账面市值比的公司（表VI中ln(BE/ME)对一般公司来说是负的，所以当ln(BE/ME)=0时倾向于更高的样本比率）。因此平均截距相对标准误和NYSE在市值加权与等值加权的回报率来说很大并不令人意外。
像完整期一样，子期也没有提供很大的希望于用β解释平均溢价具有重要经济意义。β在1963年到1976年间的平均FM斜率中是微小的正值(每月平均0.1%, t = 0.25)而在1977年到1990年间为负值(平均每月-0.44%, t = -1.17)，这也暗示在1977年到1990年间规模效应是更弱的，但是关于在子期平均规模斜率的推论缺乏说服力。
不同于规模效应，账面市值比与平均回报率在1963年到1976年间以及1977年到1990年间都有很强的相关性。ln(BE/ME)的平均斜率超过2.95个标准误，子期的平均斜率（分别为0.36与0.35）都接近整期的平均斜率（0.35）。子期的结果因此支持这个结论：在所有考虑的变量中，账面市值比是解释平均股票回报
率横截面最有力的解释变量。
最后，Roll (1983) and Keim (1983)证明size效应在一月时影响最显着。在Table VI中本文测试了在FM回归中以每月斜率证实账面市值比和平均回报率之间的一月效应。ln(BE/ME)在一月的平均斜率是二月到十二月的2倍。不同于size的影响，然而账面市值比与平均回报率之间的显著相关性并非特别只在一月。ln(BE/ME)在二月到十二月的平均每月斜率中大约有4倍标准误，而且接近整年度的平均斜率(误差在0.05以内)。因此，账面市值比确实有一月效应，但其与平均回报率的正相关性在整年度都非常高。
D. β and the Market Factor: Caveats
关于β在平均回报率中扮演的角色，一些负面证据的附加说明是必须的。β, 规模, 和账面市值比的平均溢价取决于这些变量在回归式上的定义。例如：将账面市值比 (ln(BE/ME))换成市值 (ln(BE))，只要规模(ln(ME))在此回归式中,则这个改变不会影响截距项和拟合值（R2）。但这个改变会使ln(ME)的平均斜率（和t统计量）增加。换句话说，规模的风险溢价会跟着提高。对β, 规模和账面市值比等重新加以定义也会产生不同的回归斜率或者关于平均溢价的不同推论，包含恢复β作用的可能。当然，目前并没有任何选用不同变量的理论基础。
此外，这里的检验仅限于对股票。若包含在其他资产，将可能改变β, 规模以及账面市值比对于平均溢价的推论。例如，在Table VI中FM回归有很大的平均截距，其说明了此回归在国库券上并非一个好的估计式，因为国库债有低的平均回报率，有可能在回报率中对潜在市场,规模和账面市值比因子有较小的压力。把检验拓展到票据与其他债券可能会使改变本文对于平均风险溢价推论，包含恢复市场β的作用。
然而，本文强调用了不同的检验方法也不可能恢复SLB 模型。恢复SLB 模型需要一个更好的变量代表市场投资组合，(a)必须颠覆本文提出的证据：市场投资组合中β与平均回报率无关 (b)以及β是平均回报率的唯一个解释变量。但此结果似乎是不太可能的。Stambaugh (1982)的证据是在检验SLB 模型时，其对于选择一个市场代理变量的敏感度似乎是很小的。因此，如果存在β平均收益的起作用，它很可能在多因子模型中被发现，这个多因子模型把平均回报和β之间的平坦简单关系转换成正斜率条件关系。
V. 结论和启示
SLB模型早已塑造了学术界和实务界对于平均回报率与风险之间的思维方式，Black, Jensen和Scholes(1972)以及Fama和MacBeth (1973)发现，正如此的预测，在1926年到1968年间的CRSP NYSE回报率资料中，平均回报率与市场β之间存在简单的正相关。但Reinganum (1981)和Lakonishok和Shapiro (1986)发现在1963年到1990年期间，平均回报率与市场β之间简单的正相关消失了。本研究的附录中显示在1941年到1990年期间的NYSE股票的平均回报率与β之间的相关性非常薄弱。总而言之，在本研究的测试中不支持SLB模型中关于平均股票回报率与市场β之间存在正相关的论点。
Banz(1981)证实平均回报率与公司规模(size)之间有显著的负相关。Bhandari(1988)发现平均回报率与杠杆(leverage)存在正相关，Basu(1983)发现平均回报率和E/P之间存在正相关。Statman(1980)，Rosenberg、Reid和Lanstein(1985)
证实以美国股票而言平均回报率和账面市值比 之间存在正相关。Chan,Hamao和Lakonishok (1992)发现在日本股票市场，BE/ME对于平均回报率是一个有力的解释变量。
如规模、收益价格比、杠杆、和账面市值比等变量都是用来衡量公司股价的标准。Ball(1978), Keim(1988)认为这些变量可被视为是依不同的方法从横截面预期股票回报率中的股价抽取出的信息。因为这些信息都是价格的衡量标准，因此预期其中一些用来解释平均回报率的变量时多余的是合理的。本文的主要研究结果是1963-1990年之间规模及账面市值比可获得与规模、收益价格比、杠杆、账面市值比相关的平均股票回报率横截面变动。
A. 合理的资产定价描述
本文研究结果会和资产定价理论一致吗?因为所有股票FM截距被限定为必须一致，FM回归总是会在回报率和预期回报率中强行加入线性因子，如此才符合Merton(1973)和Ross(1976)多因子资产定价模型。因此本文的研究平均回报率和规模与账面市值比之关系上强加了一个合理的资产定价框架。
即使本文研究结果和资产定价理论一致，他们在经济上也不能令人满意。在经济解释上，规模与账面市值比在平均回报率中所扮演的角色为何?以下建议几种方法：
(a) 回报率对ln(ME)和ln(BE/ME)的月度FM回归中的截距和斜率，如同以规模和账面市值比来分析一般风险因子仿真的投资组合回报率(Fama 1976，第九章)。测试投资组合的回报率和用来衡量商业环境变动的经济变量间的相关性，如此有助于揭露由size和账面市值比解释的经济风险。
(b) Chan, Chen和Hsieh(1985)认为在规模和平均回报率的关系代表了预期回报率和经济风险因子的更加基本的关系。评级由低到高公司债的月回报率差异，是解释规模效应最有利的因子，原则上违约风险在获取回报率上是需要被额外定价的。是否在检验中加入这个或者其他经济因子是有趣的，如Chen，Roll和Ross(1986),可以解释规模和账面市值比在本文的检验。
(c) 与此相类似，Chan和Chen(1991)认为规模和平均回报率间关系是有相当前瞻的影响。不良公司的盈余前景对经济环境是更加敏感的，这些在回报率中的不良因子都将导致预期回报率需要被额外定价。Chan和Chen以股利变动和杠杠为基础，以此不良因子构建2个虚拟的投资组合。他们证明在检验加上不良因子后，是否会吸收规模和账面市值比在平均收益中的影响有趣的。
(d) 事实上，如果股价是合理的。账面价值和市场价值比率(BE/ME)应能直接说明公司的相对前景。例如，本文预期高BE/ME的公司在资产上相对于低BE/ME的公司会有较低的盈余。在研究中建议应将高和低BE/ME公司依经济基础衡量后明确分开，低BE/ME公司持续表现强劲，而高BE/ME公司经济表现将持续疲软。
B. 不合理的资产定价描述
上面所讨论的假设由规模和账面市值比获得的资产定价影响是合理的。BE/ME是本文对于预期回报率是最有力的变量，很明显是一个替代变量。而账面市值比的横截面资料可能是对于公司相对前景的过度反应。若此过度反应的趋于被修正，则BE/ME可用来预测横截面股票回报率。
无法以简单的检验确认规模和账面市值比对平均回报率的影响是由于对市场的过度反应，至少由DeBondt和Thaler(1985)所假定的是这样的。DeBondt和
Thaler(1985)使用近3年的股票回报率资料，来测试过度反应的现象，他们的过度反应理论预测过去3年的输家相对于赢家有更强的post-ranking回报。在个股的FM回归中，滞后3年的回报甚至是单独用来解释平均回报率时并没有有力的解释。对于滞后回报的单变量回归，平均斜率是每月-0.06%，但是标准误小于0.5。
C. 应用
本文主要研究结果是 2个简单的变量规模和账面市值比似乎可以描述横截面平均股票回报率。使用这个结果取决于(a)是否会持续存在(b)是否由合理或不合理的资产定价中所造成的。
有可能只是在偶然的机会下， 规模和账面市值比对于本文样本中描述横截面的平均回报率是有力的，但却与预期回报率是不相关。本文认为这种可能性几乎没有，特别是对于账面市值比。首先，尽管BE/ME一直被吹捧为衡量股票平均回报率的前景，但没有证据显示其解释力随着时间降低，在1963年到1990年间BE/ME与平均回报率之间有显著的相关性；若将时间分成1963年到1976年间和1977年到1990年间两个子期，结果也是非常的。第二，本文在经济基本面上的初步工作表明，高BE/ME的公司相对于低BE/ME的公司更可能持续性惨淡收益。显而易见的，1980年代小公司相较于大公司则有长期间的盈利不佳。在基本面中的系统模式给了我们一些希望：规模和账面市值比代表了在和相对收益的前景有关回报中的风险因子，也就是在预期回报率下是被合理定价的。
如果本文的研究结果并不是偶然的，则这个结果对主要关心长期平均收益的投资者来说，对他们的投资组合形成和绩效评估具有实践意义。如果资产定价是合理的，规模和BE/ME将是重要的风险因子。本文的研究结果意味着可以通过比较有相似规模和BE/ME特性的标准投资组合的平均收益，来评估管理资产组合(如养老基金和共同基金)的绩效。同样的，对于不同的投资组合策略的预期收益可以由相匹配的规模和BE/ME特性所组成的投资组合的历史平均回报率来推测而得。
如果资产定价是不合理的且规模和BE/ME不是风险因子，本文研究仍可能被用来评价投资组合绩效和衡量不同投资策略下预期回报率。但是，若股价是不合理的，则此研究结果持续存在的可能是值得怀疑的。
附录
Size versus β: 1941-1990
本文研究采用1963-1990年间的股票进行分析，显示出β和平均股票回报率之间缺乏相关性，这与Black, Jensen 和 Scholes (1972)、Fama和MacBeth(1973)、Chan和Chen(1988)检验SLB模型的结果是相矛盾的，因此更进一步的检验是合适的。本文检验了规模和 β在平均回报率所扮演的角色，资料是采用NYSE从1941年到1990年间半个世纪的股票来进行研究，是避开了经济大萧条对回报率的高度波动的最长时间段。本文在检验中不包含会计变量，因为在1962年之前COMPUSTAT的数据是有很大偏见的（倾向于成功的公司）。
本文先参考了Chan和Chen(1988)年的研究结果。和他们一样，本文发现当只采用规模组成的投资组合中，不论是规模和β都与平均回报率有高度相关；当β上升，则平均回报率上升；当规模下降，则平均回报率上升。在规模组成的投
资组合中，规模(In(ME))和β几乎完全相关（相关系数-0.98），因此难以将规模和β在平均回报率担任的角色上加以区别。
有一个方法能使β产生显著的变动但是又与规模无关，即先按照规模组成投资组合然后再按照β组成投资组合。如同Table I 到Table III，本文发现单独用规模组成的投资组合中，β产生的独立变动会消除β和平均回报率间的正相关性。此结果在1941年到1990年间的NYSE股票和1963年到1990年间的NYSE、AMEX和NASDAQ股票都有相同的情形。
此附录也有研究方法上的目标，例如:在Table III的FM回归使用个股回报率当因变量。本文分配投资组合的βs给个股，但是以公司特有值中其他变量如规模，β可能在个股中回归式中处于不利地位。但是，此附录中显示，把β和规模放在同等地位的投资组合回归中，产生的结果比得上个股的回归。
A. Size Portfolios
Table AI显示采用1941年到1990年间NYSE股票，由规模所形成的12组投资组合用以比较平均月回报率和市场βs的关系，在这些规模组成的投资组合中，显示平均回报率和β有显著的正相关。从最小ME到最大ME的投资组合，平均回报率从1.96%降至0.93%，而β则由1.6降至0.95。在Table AI 中FM回归中显示由规模组成的投资组合中，平均回报率和β存在正相关。在只考虑β和规模投资组合回报率回归式中，每月一单位β的平均溢价为1.45%。在个股回报率回归式每一单位β的平均溢价1.39%。两者都有3倍标准误。然而规模投资组合中βs仍未脱离规模残差的影响。从Table AI中得知简单回归之回报率对β做回归得到的平均残差与size无关。1941年到1990年间，这些正向的SLB结果与Chan和Chen(1988)在1954年到1983年对于规模投资组合所做检验得到的结果相似。
然而从Table AI中显示在规模投资组合中βs不是一个好的解释变量。他们在规模和平均回报率之关系衡量做了一个很好的研究，但在衡量β和平均回报率之关系则是糟糕的。以回报率做回归分析β之残差依个股pre-ranking βs来分群，低β的股票会有正的平均残差0.51%；而高β的股票会有负的平均残差-1.05%。因此显示了由规模投资组合所推估的市场线，其β在平均回报率中的抵换关系被夸大了；他们低估了低β股票的平均回报率且高估了高β股票的平均回报率。这个由个股β排序的平均残差样本中建议(a)β在个股中的变动无法在规模投资组合中取得。(b)相对于规模而言，β的变动无法取得回报率。
B. Two-Pass Size-β Portfolios
如同Table I用个股βs进一步将规模细分，结果导致β显著波动且规模彼此独立。在规模等分中β的排序总是产生相似于平均ln(ME)但不同于βs的投资组合。Table AII也显示出在规模独立之下的β，投资者对于β的波动并未给予补偿。尽管在每一个规模等分中βs有很大的范围，平均回报率也并未因β而上升。 在Table III中FM回归将size和β在1941年到1990年间的NYSE平均回报率的角色定型。单独由β的回报率做回归是为了显示由size和β所形成的投资组合之βs会优于单独由size所组成，造成了β的平均斜率由每月1.39%跌至0.24%因此，β的变动与size是无关的此推翻了平均回报率与β是相关的论点。
在Table III中市场线是成立的，然而在Table AI中，可以消除β与平均残差之间的负相关。因此，size和β所构建的投资组合(Table III)，可产生相较于只单
独由size所组成的投资组合(Table AI)对于平均回报率和β之间的关系有较好的描述。当投资组合只单纯由size所组成时且改善对平均回报率与β之间关系的描述，可证明无法由β估计Two-Pass Size-β投资组合中真实βs的变动。
不幸的，TableAIII中市场线因size残差影响所以要负担成本。个别股票以ME为基础来分群，在100组size-β投资组合中βs的回报率所做回归中的平均残差显示小规模股票会有正值，而大规模股票则有负值(最小ME群每月0.6%，最大ME群为-0.27%)。因此若考虑了β的变动以及size是独立的，则将导致βs在平均回报率上脱离size的影响。这种size残差影响如同Banz(1981)采用由size和β所组成的投资组合中的βs相似。
在只单由size所组成的投资组合中，size与β的相关系数为-0.98。在β的独立变动中，包含两次排序β较低者之间的相关系数为-0.5。此较低的相关系数其意为在回报率的双变量回归中β与ln(ME)似乎是用来区别平均回报率中真实β影响与真正size影响。
在双变量回归中对于β而言在size-β投资组合中使用βs是一个坏消息。ln(ME)的平均斜率近似于size回归中非变量的价值，且有几乎4倍的标准误；但β的平均斜率是负的并且小于1倍标准误。此双变量回归指出size与平均回报率有高度相关。但在Table AIII回归只用β来解释平均回报率，而双变量回归中说明当βs无法替代size时，β与平均回报率不存在可靠的相关性。这些在1941年到1990年间NYSE股票所指出对SLB不利的论点与Table III中1963年到1999年间NYSE,AMEX和NASDAQ股票有相似的研究结果。
C. Subperiod Diagnostics
本文在1941年到1990年间研究结果似乎和Black, Jensen和Scholes(BJS)(1972)以及Fama和MacBeth(FM)(1973)有相同的理念：即对β与平均回报率存在正相关的看法是对立的。在BJS和FM中所采用的βs是由β组成的投资组合中选出的，而且市场指标是采用NYSE的等值加权投资组合。本文使用由size和β所组成的投资组合中的βs以及当(a)市场指标是采用NYSE市值加权的投资组合(b)投资组合只由βs组成(c)由size-β组成的投资组合变动由size到β变成β到size时，对于本文所推估的β与平均回报率不相关的理念是不变的。 本研究和早期研究最主要的不同在于样本期间。BJS和FM的研究在1960年代结束。Table AIV显示当本文平均的将1941年到1990年的时间平均分开，则由β所组成的FM回报率回归中，在1941年1965年间平均斜率(每月平均0.5%,t=1.82)，如同早期的研究结果，比照1966年到1990年间平均斜率则趋近于0(每月平均-0.02,t=-0.06) Table AIV显示造成1941年到1965年间和1966年到1990年间的误差是由于平均回报率与β其简单回归会有较大的抵换关系是因在1941年到1950年期间β每月产生平均1.26%的溢价且超过2倍标准误。反之，1966年到1990年间平均回报率与β之相关性微弱，是因在1981年到1990年间负平均斜率(-1.01, t=-2.1)抵制了正的平均斜率(0.82,t=1.27)。1941年到1965年间回归式中增加size(ln(ME))变量将造成β的平均斜率由0.5(t=1.82)下跌至0.07(t=0.28),对照双变量回归中得知其值为(-0.16, t=-2.97)近似于(-0.17, t=-2.88),和1941年到1950年间解释相似。总而言之，在Subperiod中任一β的正平均溢价将隐藏在size效应中。
D. Can the SLB Model Be Saved?
在对没有解释力下结论之前，在本研究中应适当的考虑其他的解释变量。一
个可能的结果显示由size排序的β产生的波动可能只是样本误差，如此一来β的波动和平均回报率不具相关性也将不令人意外，或者在双变量检验中size影响了β，这对βs的标准误建议的解释都无法使SLB Model被保留。由size和β组成的投资组合标准误(0.02到0.11)只稍稍大于单纯只由size组成的投资组合标准误(0.01到0.1, Table AI)。而且在size之内的post-rankingβs的范围中可知与βs的标准误有高度相关。
其他可能的适当情形(1)若实际的βs随时间变动，则在FM测试中，使用整期的post-rankingβs并不会比由size和β所组成的投资组合来的好，若此会构成一个问题，则在size-β投资组合中post-ranking βs和Subperiod不应该有高相关性。
在1941-1965和1966-1990前半期中，在size-β投资组合中βs的相关性是0.91，本文中有利的证据显示一整期的β估计真实的投资组合信息，也可用过去5年的βs在FM回归结果发现只要是由size和β所组成的投资组合，对于β在平均回报率的角色上结论仍未改变。
在Table AII中可知，任何想要证实SLB Model中β与平均回报率有简单正相关的理论都将面临3个不利的情形(a)由size和pre-ranking βs所组成的投资组合中都将使得post-ranking βs产生很大的范围。(b) post-ranking βs会再复制出一个pre-rankingβs用来组成由β排序的投资组合(c)与SLB Model对立，β sort无法在平均回报率上产生相似的排序。在Table AII中以size deciles 排序的平均回报率矩阵中，高β投资组合的平均回报率小于或近似于低β投资组合。
在Table AIII中，在回报率回归的β违反了SLB Model的不利论点，当此测试允许β的变动与size无关，以及即使当β是唯一的解释变量时在1941-1990年间，β与平均回报率的关系是微弱的或者不存在。结论：SLB无法描述过去50年的平均股票回报率。
表1
1963年7月至1990年12月，按规模和β形成的投资组合的平均回报、post-ranking βs 和平均规模：股票先按ME（向下）然后
pre-ranking β（横向）排序：
逐年形成投资组合。规模（ME，股价乘以流通股股数）的分点以t年6月在CRSP数据库所有NYSE的股票。所有NYSE, AMEX, 和 NASDAQ 股票符合CRSP-COMPUSTAT数据的要求，按照CRSP分点分配进10个规模是投资组合。每个规模组合再按照用t年6月前的2-5年的月度收益估计个股的β分成10个投资组合。我们只用符合CRSP-COMPUSTAT数据的要求NYSE的股票建立β分点。然后再计算100个投资组合从t年7月至t+1年6月的等值加权月度收益。
每个投资组合的post-ranking βs 用全期（1963年7月至1990年12月）样本post-ranking回报估计的。Pre-和post-ranking βs（这里和其他所有的表）是回归的斜率总和来源于NYSE, AMEX, 和 （1972年 以后）NASDAQ股票按照市值加权的投资组合，月度回报对现在和之前的月回报的回归。平均回报率是月平均等值加权投资组合回报率的时间序列平均数，用百分比表示。投资组合的规模是个股每年6月末月平均ln(ME)时间序列平均数，ME用百万美元表示。
按照Size-β分组的投资组合中，最小规模组合的每月平均股票数量在70到177之间，在第2和第3组的数量在15到41之间，剩下的7组的数量在11到22之间。
每一列表示按照规模等值加权投资组合的数据，每一行表示股票按照β分组等值加权投资组合的数据。
表2
1963年7月至1990年12月，按照规模或者pre-ranking β形成的投资组合的属性
在t年的6月末，以规模（ME）或者pre-ranking β的值为基础分成12个投资组合。用t年6月前的2-5年(取决于可获得的)的月度收益估计pre-ranking βs。组合2-9覆盖变量排序的中间部分，最低和最高的组合再平均分成两个部分（1A,1B,10A,10B）。按照ME分组的投资组合的分点以在CRSP数据库所有NYSE股票的ME值为基础。NYSE对于pre-ranking βs分点同样用来形成β投资组合。然后NYSE, AMEX, 和 NASDAQ 股票按照NYSE的分点分配进规模或者pre-ranking β形成的投资组合中。本文计算每个投资组合从t年7月至t+1年6月的月度等值加权收益，然后再t+1年的6月重新形成投资组合。
BE是普通股的账面价值加上资产负债表的递延税项，A是总账面资产，E是收益（非常项目前的收益，加上损益表递延税项，减去优先股股利）。BE,A和E都是每家公司t-1年最新会计年末数据。用市值ME衡量的会计比率用的是t-1年12月末的数据。公司规模ln（ME）用的是t年6月份的数据，ME用百万美元表示。
平均回报率是月平均等值加权投资组合回报率的时间序列平均数，用百分比表示。ln(ME)，ln(BE/ME), ln(A/ME), ln(A/BE), E（+）/P, 和虚拟变量 E/P 是这些变量在每个投资组合的月度均值的时间序列平均数。当收益是正的，虚拟变量E/P为0。当收益是负的，虚拟变量E/P为1。虚拟变量E/P表示了在每个投资组合中股票收益为负的平均比例。
β是月度投资组合βs时间序列平均数。（表1）股票在t年的6月末在size-β投资组合中分配post-ranking β。在t年的6月至t+1年的7月，用这些个股的βs的平均数来计算每个投资组合的βs。
Firms是每月投资组合中股票平均数量。
表3
1963年7月至1990年12月，股票回报率对β、规模、账面市值比、杠杆、收益价格比逐
月回归的平均斜率（及t-统计量）
在t年6月末，在size-β投资组合的分配股票的post-ranking β。BE是普通股的账面价值加上资产负债表的递延税项，A是总账面资产，E是收益（非常项目前的收益，加上损益表递延税项，减去优先股股利）。BE,A和E都是每家公司t-1年最新会计年末数据。用市值ME衡量的会计比率用的是t-1年12月末的数据。公司规模ln（ME）用的是t年6月份的数据。回归中，个股解释变量的值与CRSP中t年7月至t+1年6月的收益率相匹配。会计数字与收益率之间的时间间隙确保会计数字在收益率之前可得到。如果收益是正的，E(+)/P是总收益与市值的比率，虚拟变量E/P为0。如果收益是负的，E(+)/P为0，虚拟变量E/P为1。
平均斜率是1963年7月至1990年12月月度回归斜率的时间序列平均数，t统计量是斜率除于其时间序列标准误。
在月度回归中，平均有2267之股票。为了在回归中避免给以极端值大的权重，使E(+)/P, BE/ME, A/ME, 和A/BE的最小和最大的0.5%的值，等于随后的最大或者最小的值。这对推断没有影响。
表4
1963年7月至1990年12月按照账面市值比（BE/ME）和收益价格比（E/P）形成的投资组合的属性
在每年t-1年年末，以BE/ME或者E/P的值为基础分成12个投资组合。组合2-9覆盖变量排序的中间部分，最低和最高的组合再平均分成两个部分（1A,1B,10A,10B）。对于E/P分组的有13个投资组合，组合0表示有负的E/P。因为BE/ME和E/P和上市股票不显著相关，所以他们的投资组合分点取决于所有满足CRSP-COMPUSTAT数据要求的股票的变量值。BE是普通股的账面价值加上资产负债表的递延税项，A是总账面资产，E是收益（非常项目前的收益，加上损益表递延税项，减去优先股股利）。BE,A和E都是每家公司t-1年最新会计年末数据。用市值ME衡量的会计比率用的是t-1年12月末的数据。公司规模ln（ME）用的是t年6月份的数据，ME用百万美元表示。本文计算每个投资组合从t年7月至t+1年6月的月度等值加权收益，然后在t+1年的6月重新形成投资组合。
平均回报率是月平均等值加权投资组合回报率的时间序列平均数，用百分比表示。ln(ME)，ln(BE/ME), ln(A/ME), ln(A/BE), E（+）/P, 和虚拟变量 E/P 是这些变量在每个投资组合的月度均值的时间序列平均数。当收益是正的，虚拟变量E/P为0。当收益是负的，虚拟变量E/P为1。虚拟变量E/P表示了在每个投资组合中股票收益为负的平均比例。
β是月度投资组合βs时间序列平均数。（表1）股票在t年的6月末在size-β投资组合中分配post-ranking β。在t年的6月至t+1年的7月，用这些个股的βs的平均数来计算每个投资组合的βs。
Firms是每月投资组合中股票平均数量。
表5
1963年7月至1990年12月，按规模和账面市值比形成的投资组合的平均月度回报：股
票先按ME（向下）然后BE/ME（横向）排序
在每年t年的6月，满足CRSP-COMPUSTAT数据要求的NYSE, AMEX, 和 NASDAQ 股票分配进用NYSE规模分点的10个投资组合中。然后再把NYSE, AMEX, 和 NASDAQ 股票按照用t-1年的账面市值比排序成10个BE/ME投资组合。BE/ME是会计年度t-1年普通股的账面价值加上资产负债表的递延税项与t-1年12月的市值之比。
平均回报率是月平均等值加权投资组合回报率的时间序列平均数，用百分比表示。 每一列表示按照规模分组的投资组合的等值加权平均回报率。每一行表示按照BE/ME分组的投资组合的等值加权平均回报率。
表6
NYSE等值加权和价值加权的投资组合子期平均月度回报率
回报率对（a）规模（ln(ME)）和账面市值比（ln(BE/ME））和（b）β、（ln(ME））和(ln
（BE/ME））月度FM横截面回归的平均截距和斜率
Mean是月回报率的时间序列平均数，Std是其时间序列标准差，t(Mn)是 Mean除于其时间序列标准误。
表A1
1941-1990年NYSE股票按照规模分组的投资组合的平均回报率、post-ranking βs 和Fama-MacBeth回归斜率 在每年t-1年年末，以ME的值为基础分成12个投资组合。包含所有在t-1年12月有CRSR价格及股份和在t-1年12月之前60个月中至少有24个月的回报率（为了估计pre-ranking β）的NYSE股票。中间8个投资组合覆盖规模分类的2-9，最低和最高的组合再平均分成两个部分（1A,1B,10A,10B）。本文用所有存在的股票计算t年12个月投资组合的等值加权回报率。平均回报率是1941-1990年月平均投资组合回报率的时间序列平均数，用百分比表示。平均公司数是每月投资组合中股票平均数量。简单βs是由1941-1990年样本按照规模分类的投资组合post-ranking月度回报率对当前月度价值加权NYSE投资组合回报率做回归估计的。加总βs是post-ranking月度回报率对当前和之前月度价值加权NYSE投资组合回报率做回归斜率的加总。
在FM回归中的自变量被定义在每家公司在每年t-年12月末。在规模投资组合中每只股票在t-1年年末分配post-ranking （加总）β。ME是t-1年年末价格乘以在外流通股股数。在个股回归中，解释变量的值与t年每个月CRSP回报率相匹配。投资组合回归中，等值加权投资组合回报率和t年每个月存在股票的等值加权平均β和ln(ME)相匹配。Slope是FM回归中平均月度(600个月)斜率，SE是平均斜率的标准误。残差来源于在t-1年按照规模（ME）或者pre-ranking β(由可获得的24至60个月月度数据估计)分成的12个投资组合t年的月度回归。平均残差是月度等值加权投资组合残差的时间序列平均数，用百分号表示。回归（1）和回归（2）（没有标示出）的平均残差和回归（4）和回归（5）非常相似。
表A2
1941-1990，按照规模和pre-ranking β形成的投资组合的属性：NYSE股票先按ME（向下）然后pre-ranking β（横向）排序 在t-1年年末，在CRSP的NYSE股票分成10个规模(ME)的投资组合，每个规模投资组合再按照t-1年12月末之前24-60个月度回报估计的个股pre-ranking β分成10个β投资组合。100个投资组合的等值加权月度回归在t年计算的。平均回报率是月平均等值加权投资组合回报率的时间序列平均数，用百分比表示。每个投资组合的post-ranking βs 用全期1941-1990年样本post-ranking回报估计的。Pre-和post-ranking βs是斜率总和来源于月度回报率对现在和之前的月度NYSE价值加权市场回报率的回归。投资组合的规模是个股每年每月平均ln(ME)时间序列平均数，ME用百万美元表示。每个Size-β投资组合中每月平均有10只股票。每一行表示按照规模分组的投资组合的等值加权参数值。每一列表示按照β分组的投资组合的等值加权参数值。
表A3
1941-1990年，按照规模和pre-ranking β形成的投资组合的NYSE个股月度FM回归的平均斜率、标准误差和残差
（表A2）在t-1年年末，在size-β投资组合分配股票的post-ranking β。ln(ME)是t-1年末股价乘以在外流通股股数的自然对数。在个股回归中，解释变量的值与t年每个月CRSP回报率相匹配。投资组合回归中，等值加权投资组合回报率和t年每个月存在股票的等值加权平均β和ln(ME)相匹配。Slope是FM回归中平均月度(600个月)斜率，SE是平均斜率的标准误。
残差来源于在t-1年按照规模（ME）或者pre-ranking β(由可获得的24至60个月月度数据估计)分成的12个投资组合t年的月度回归。平均残差是月度等值加权投资组合残差的时间序列平均数，用百分号表示。用100个size-β投资组合回报率作为自变量对个股回报率的FM（1）至（3）回归中的平均残差总是小于0.01，这并不奇怪，因为1941-1990年可比较投资组合月度FM β或者ln（ME）时间序列斜率和个股回归的相关系数总是大于0.99。
表A4
NYSE等值加权和价值加权的投资组合子期平均回报率
个股回报率对β和规模（ln(ME））FM横截面回归的平均截距和斜率的值
Mean是平均VW或者EW回报率，或者个股回报率对β和规模（ln(ME））月度FM横截面回归的平均斜率。Std是回报率或者斜率的时间序列标准差，t(Mn)是标准误时间序列的均值。表A2中用100个size-β投资组合回报率作为自变量的FM回归平均斜率（未标出）和个股回报率非常接近。（1941-1990年可比较投资组合月度FM β或者ln（ME）时间序列斜率和个股回归的相关系数总是大于0.99。）