function [xc,yc,r,fval,exitflag,output] = tlscirc(x,y) % TLS circle fit
options=optimset('TolFun',1e-10); [x0,y0]=circfit(x,y); % center estimate
[z,fval,exitflag,output]=fminsearch(@circobj,[x0,y0],options,x,y);
[f,r]=circobj(z,x,y); xc=z(1); yc=z(2); function [f,r] = circobj(z,x,y)
% TLS circle fit objective f and radius r n=length(x);
X=x-z(1); Y=y-z(2); X2=X'*X; Y2=Y'*Y; r=sum(sqrt(X.^2+Y.^2))/n; f=X2+Y2-n*r^2;
The circfit function is used above as an initial estimator. The objective values of tlscirc and circfit differ by nearly 14% in the example below.
x=[1;2;3;5;7;9]; y=[7;6;7;8;7;5]; plot(x,y,'bo'), hold on [xc,yc,r,f]=tlscirc(x,y)
% [xc,yc,r,f]=[4.7398, 2.9835, 4.7142, 1.2276] rectangle('Position', [1,1],'EdgeColor','b')
[xc,yc,r] = circfit(x,y)
X=x-xc; Y=y-yc; f=sum((sqrt(X.^2+Y.^2)-r).^2) % [xc,yc,r,f]=[4.7423, 3.8351, 4.1088, 1.3983] rectangle('Position', [1,1],'EdgeColor','r')
hold off, axis equal Genial @ USTC 2004-4-17
[xc-r,yc-r,2*r,2*r],
'Curvature',
[xc-r,yc-r,2*r,2*r],
'Curvature',
matlab非线性曲线拟合
最近在用matlab做非线性曲线拟合，发现matlab功能确实很强大，总结其方法有如下几种：
一、Matlab非线性拟合工具箱 单一变量的曲线逼近
Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。 假设我们要拟合的函数形式是y=a+(b-a)*c^2*(c^2-x^2)/((c^2-x^2)^2+(2*d*x)^2);其中a,b,c,d是待定系数。
在命令行输入数据： x=8:0.01:12.4; y=real(epsilon); 2、启动曲线拟合工具箱 》cftool
3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool” （1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；
（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；
（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；
（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：
Custom Equations：用户自定义的函数类型
Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x) Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic
spline、shape-preserving Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~ Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c
Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型
Smoothing Spline：平滑逼近
Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1) Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：
——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；
——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
在本例中选Custom Equations，点击“New”按钮，选择“General Equations”标签，输入函数类型y=a+(b-a)*c^2*(c^2-x^2)/((c^2-x^2)^2+(2*d*x)^2)，设置参数a、b、c、d的上下限，然后点击OK。
5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results框中得到拟合结果，如下例：
General model:
f(x) = a+(b-a)*c^2*(c^2-x^2)/((c^2-x^2)^2+(2*d*x)^2) Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 3.155 (3.129, 3.181) b = 3.025 (2.998, 3.051) c = 9.577 (9.572, 9.582) d = 0.1387 (0.1312, 0.1462) Goodness of fit: SSE: 32.94 R-square: 0.924
Adjusted R-square: 0.9235 RMSE: 0.2746 拟合曲线如下
二、利用nlinfit函数实现，代码如下： clc;
x=8:0.01:12.4; x=x;
y=real(epsilon); y=y';
myfunc=inline('beta(1)+(beta(2)-beta(1))*beta(3)^2*(beta(3)^2-x.^2)./((beta(3)^2-x.^
2).^2+(2*beta(4)*x).^2)','beta','x');
my_opts = statset('MaxIter',300,'TolFun',1e-12,'TolX',1e-12); beta=nlinfit(x,y,myfunc,[1 1 10 1],my_opts); %调整初值可能导致不同结果,但貌似增加一个options对结果没起什么作用
beta(1) beta(2) beta(3) beta(4)
%test the model xx=min(x):0.01:max(x);
yy=beta(1)+(beta(2)-beta(1))*beta(3)^2*(beta(3)^2-x.^2)./((beta(3)^2-x.^2).^2+(2*beta(4)*x).^2);