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【例 12】 有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩
子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？ 【解析】 首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟，老爷爷跟爸爸一起过河，
用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟，弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，用时1分钟，最后与姐姐一起过河，用时3分钟．一共用时：3+3+12+1+6+1+3=29分钟．最后能够安全全部过河．
【巩固】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒
塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 【解析】 小强和中强先过桥，用2分钟；再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，
用10分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟，他们一起用时间：2＋1＋10＋2＋2=17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河．（时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过．这样保证总的时间是最短的）.
【巩固】 赵大爷和一个小八路带着一个负伤的红军战士因为叛徒出卖被日本鬼子追到一条小河边，河岸
边只有一条能同时乘坐两人的小船，赵大爷划船需要2分钟，小八路划船需要3分钟，负伤的红军战士划船需要5分钟，现在在危机关头，需要尽快过河，采用怎样的过河方式，三个人全部过河用时最少？ 【解析】 赵大爷首先跟小八路或者红军战士一起过河，用时2分钟，再由赵大爷把船划过来，用时2分钟，
最后把剩下的人一起载过去，再用时2分钟．一共用时6分钟．
8-1.智巧趣题.题库 教师版 page 5 of 11 【例 13】 37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)．他们要全部渡过河去，至少
要使用这只小船渡河多少次？ 【解析】 如果由37÷5=7……2，得出7+1=8次，那么就错了．因为忽视了至少要有1个人将小船划回来
这个特定的要求．实际情况是：小船前面的每一个来回至多只能渡4个人过河去，只有最后一次
小船不用返回才能渡5个人过河．因为除最后一次可以渡5个人外，前面若干个来回每个来回只能渡过4个人，每个来回是2次渡河，37=4×8+5，所以渡河次数是8×2+1=17（次）. （注：由于数据的特殊性，刚好最后一次5个人过河）．
【巩固】 38个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载4人的小船(无船工)．他们要全部渡过河去，至少
要使用这只小船渡河多少次？ 【解析】 根据前面的解答，实际上前面每次过河的人数只有3人，最后一次最多过4人，因为38=3×12+2，
所以前面3人一次过了12次，来回一共划了12×2=24（次），最后一次是2人过河，还要用1次．所以最终需要渡河的次数是24+1=25（次）．
【例 14】 有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根．甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根
火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴．每次至少要取走一根火柴．谁取得最后一根火柴谁胜．如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？ 【解析】 采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根
火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）．所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜.
【例 15】 黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的3个数．规定在
谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：甲有必胜的策略吗？ 【解析】 甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个
数．这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划．因此，若甲先划，且按上述策略进行，则甲必能获胜.
【例 16】 两个人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁获胜．你
选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？ 【解析】 因为50（1+5）=8……2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是（1+5=）
6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜．
【巩固】 1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～
7个格．规定将棋子移到最后一格者输．甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 【解析】 一开始棋子已占一格，棋子的右面有空格1111-1=1110（个）．只要甲始终留给乙（1+7=）8的
倍数加1格，就可获胜．（1111-1）（1+7）=138……6，所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1．以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜．
【巩固】 桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如
果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？ 8-1.智巧趣题.题库 教师版 page 6 of 11
【解析】 获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论
对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜．现在桌上有55根火柴，55÷4=13……3，所以只要甲第一次取走3根，剩下52根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜．
【例 17】 有11根火柴，两人轮流从中拿取，每次至少取1根．先取者第一次取得数目不限（但不能全部
取走），以后每人取得数目不得超过另一人上次取得数目的2倍规定取得最后一根者为胜．先取者的获胜策略是什么？ 【解析】 甲第一次取3根，可获胜.
甲取了3根以后剩下8根，乙如果取3，4，5，6根，那么甲将余下的取完，甲胜；乙如果取1根或者2根，那么甲接着取2根或者1根，此时剩下5根，以后若乙取2，3，4根，加将余下的取完，甲胜；若乙取1根，加再取1根，剩3根，无论乙再如何取，甲必胜．
【巩固】 有一堆火柴，甲先乙后轮流每次取走1～3根．取完全部火柴后，如果甲取得火柴总数是偶数，
那么甲获胜，否则乙获胜．试分析这堆火柴的根数在1～11根时，谁将获． 【解析】 显然，1根时乙胜，2根或3根时甲胜，4根时乙胜．5根时，甲先取1根，若乙取1根，则甲
取3根，若乙取2根或3根，则甲取1根，甲胜．6根时，甲先取1根，若乙取1根或2根，则甲取3根；若乙取3根，则甲取1根，甲胜．7根或8根时，甲先取3根，以后同5根或6根的情况，甲胜．9根时，甲取1～3根，相当于8～6根时乙先取的情况，由上面的分析，最终乙可取得偶数根，则甲为奇数根，乙胜．10根时，甲先取1根，11根时，甲先取2根，转化为9根时乙先取的情况，甲胜．
【例 18】 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真币和重量不同。现需弄清楚
伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？ 【解析】 分成50、50、1三堆：第一次称两个50，如果平了，第二次从这100个任意拿1个（当然是真
的）与第三堆的1个称，自然会出结果；第一次称两个50不平是正常的，第二次我们把其中的一堆（或重的或轻的都行）分成25、25、称第二次：1、把轻的分成25、25，如果平了，说明那堆重的有假，当然假的是超重；如果不平，说明这50个轻的有假，假的是轻了；2、把重的分成25、25，道理同上。所以两次可以发现轻重，但是找不出哪个是假的。
【例 19】 有大、中、小3个瓶子，最多分别可发装入水1000克、700克和300克。现在大瓶中装满水，
希望通过水在3个瓶子间的流动动使得中瓶和小瓶上标出装100克水的刻度线，问最少要倒几次水？ 【解析】 ６
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【例 20】 把123，124，125三个数分别写在下图所示的A，B，C三个小圆圈中，然后按下面的规则修改
这三个数。第一步，把B中的数改成A中的数与B中的数之和；第二步，把C中的数改成B中（已改过）的数与C中的数之和；第三步，把A中的数改成C中（已改过）的数与A中的数之和；再回到第一步，循环做下去。如果在某一步做完之后，A，B，C中的数都变成了奇数，则停止运算。为了尽可能多运算几步，那么124应填在哪个圆圈中？
【解析】 当124在A中时，每次运算后的状态分别为：偶奇奇—偶奇奇—偶奇偶—偶奇偶—偶奇偶—偶奇
奇—偶奇奇，需6步完成操作。
当124在B中时，第一次后，B中的数字为偶数+奇数=奇数，而A、C也是奇数，运算完毕。 当124在C中，开始状态为奇奇偶，然后变为奇偶偶—奇偶偶—奇偶偶—奇奇偶—奇奇奇，需5步操作。
所以124在A中时，运算的次数最多。
【例 21】 （可以当作故事给学生出题）0国王带着1、3、5、7、9、11六位大臣去旅游。晚上大家要
去住旅馆，可只有三间房。0国王自己要住一间，剩下的两间房都能住三个人，一间是奇数房，只能住奇数；一间是质数房，只能住质数。结果六位大臣商量着竟然吵了起来。
“我是质数，我应该住质数房！” 1大臣说：
“不对，你是奇数，我才应该住质数房！” 3大臣说：
他们闹得不可开交，最后只好请0国王来评判。可0国王一时之间也不知道该怎么安排。同学们，你们能帮助他们吗？你们能够设计几种不同的住法呢？ 【解析】 首先，在题目里1大臣所说的是错误的，而3大臣所说的是正确的。
所有的六位大臣都可以去住奇数房，但只有3、5、7、11四位大臣可以住在质数房。 所以，例如1、3、9住奇数房，5、7、11住质数房的安排方法就是正确的。
由前面的分析，1、9必须住在奇数房，所以另外四个数中任何一个也住进奇数房，都是一种住
1?4种不同的住法。 法，那么一共有C4
【例 22】 若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有
装棋子，然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下。小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子。问共有多少个盒子？ 【解析】 原来有个空的，说明现在也有个空的；现在空的说明原来这盒有1个，当然现在也必须有个盒子
8-1.智巧趣题.题库 教师版 page 8 of 11