(3) 求出?在下述基底下的矩阵：
?1??1??0????????1??1?,?2???1?,?3??1?
?1??2??1???????(4) 写出从?1,?2,?3到e1,e2,e3的过渡矩阵。 3．已知线性方程组
?x1?x2?a1?x?x?a?342 ?x?x?b?131??x2?x4?b2(1) 求出系数矩阵的秩；
(2) 给出方程组有解的充分必要条件。
4．令实二次型?(x1,x2,?,xn)?X'AX,其中A?A'?(aij)n?n,X?(x1x2?xn)',设?1与?2分别是A的最大与最小特征值。则对任意的n个实数
b1,b2,?,bn均有
?1(b12?b22???bn2)?(b1b2?bn)A(b1b2?bn)'??2(b12?b22???bn2)
5．令V是一个n维欧氏空间，?1,?2,?,?n是V的一个标准正交基，?是V的一个线性变换，A?(aij)n?n是?关于这个基的矩阵，证明
aji???(?i),?j?,i,j?1,2,?,n.
6．设?是n维向量空间V的一个线性变换，p(x)?(x??)r(x??)s是?的极小多项式，此处?和?是不同的复数。令
V??ker(???)r?{??V|(???)r??0},V??ker(???)r?{??V|(???)r??0}证明：(1) V?和V?都是?的不变子空间；
(2) V?V??V?；
(3) ?|V?的极小多项式是(x??)r，?|V?的极小多项式是(x??)s。
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广西大学 2004年
1．计算行列式
x1a1Dn?a1a1a2x2a2a2a3a3x3a3???an???an???an
??????????????????xn其中，xi?ai,i?1,2,???,n。
2．已知B是一个非零矩阵，且B的每一个列向量都是方程组
?x1?2x2?2x3?0??2x1?x2??x3?0 ?3x?x?x?023?1的解。(1) 求?的值；(2) 证明|B|?0。
3．设a1,a2,???,an是两两互异的整数，试证明多项式
f(x)?(x?a1)(x?a2)???(x?an)?1
在有理数域上不可约。
4．设A,B是n?n矩阵，且A2?B2?E(E是n级单位矩阵)，|A|?|B|?0，证明A?B不是可逆矩阵。
5．设V是一个n维欧氏空间，??0是V中一个固定的向量，证明 (1) V1?{?|(?,?)?0,??V}是V的一个线性子空间； (2) dimV1?n?1。
6．设A为n级实对称矩阵，A2?A，A的秩等于r(0?r?n)。 (1) 证明存在正交矩阵T，使
?ErTAT???O??1O?? O??其中Er是r级单位矩阵；
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(2) 计算|A?2En|。
7．设A,B为两个n?n矩阵，A的n个特征值两两互异，若A的特征向量恒为B的特征向量，证明AB?BA。
8．证明数域F上的n维线性空间V的任一子空间都是某一线性变换的核。 9．设V是数域F上的n维线性空间，?是V的线性变换，V1,V2是V的两个非平凡子空间，且V?V1?V2，试证明?是可逆线性变换的充要条件是
V??(V1)??(V2)。
2005年
1．计算行列式
a0a1Dn????an?2an?1?10???00x?1???00??????????????? 00???x?100???0x2．已知矩阵
?31?1??21?????A??002?，B???10?
?1?12??31?????矩阵X满足AX?B?2X，求X。
3．当a,b为何值时，线性方程组
?ax1?x2?x3?4??x1?bx2?x3?3 ?x?2bx?x?423?1有唯一解，无解，有无穷多组解？在有无穷多组解时求其全部解。
4．设有s个n维向量?i?(ai1,ai2,???,ain)(1?i?s?n)，其分量满足
|ajj|?证明这s个向量线性无关。
i?1,i?j?|asij|(1?j?s)
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5．设W1,W2是n维线性空间V的两个子空间，证明
(1) 若W1,W2均是V的两个非平凡子空间，则存在??V，使?1?W1,?1?W2同时成立。
(2) 若dim(W1?W2)?dim(W1?W2)?1，则W1?W2或W2?W1。 6．设
V1?{(x1,x2,???,xn)?Pn|k1x1?k2x2?????knxn?0,ki?P,i?1,2,???,n}
V2?{(x1,x2,???,xn)?Pn|x1?x2?????xn}
证明，若k1?k2?????kn?0，则P?V1?V2。
7．设f(x)?d(x)f1(x)，且f(x)与g(x)不全为零，证明d(x)g(x)?d(x)g1(x)，是f(x)，g(x)的一个最大公因式的充分必要条件是(f(x),g(x))?1。
8．设A,B都是n阶实对称矩阵，证明
(1) 若A,B都是正定矩阵且AB?BA，则AB是正定矩阵； (2) 如果A?B与B?A均为半正定矩阵，则A?B。
9．设W1,W2是n维线性空间V的两个子空间，且其维数之和为n，证明存在
V的线性变换?，使Ker??W1，?(V)?W2。
2006年
1. 设a?b，证明(x?a)(x?b)|f(x)当且仅当f(a)?f(b)?0。 2.设A为
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阶方阵且|A|?6，A?(?1,?2,?3,?4)，求
|?3?2?2??1,4?2,3?1,2?4|。
3. 设A为n阶方阵，?1,?2,?3是n维列向量且?1?0，A?1??1，
A?2??1??2，A?3??2??3，试证明?1,?2,?3线性无关。
4. 设A为n阶方阵，证明秩(An)?秩(An?1)。 5. 求齐次线性方程组
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