1122又S＝acsin B＝a×2×＝22，
223解得a＝3.(12分)
1
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋4－2×3×2×＝9，则b＝3.(14分)
3
故边b的值为3.
16. (1) 在四棱锥VABCD中，
因为VD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， 所以VD⊥BC.(3分)
因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.(4分)
又CD?平面VCD，VD?平面VCD，CD∩VD＝D， 则BC⊥平面VCD.(7分)
(2) 因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，(8分) 又AD?平面VBC，BC?平面VBC， 则AD∥平面VBC，(11分)
又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD?平面ADNM， 则AD∥MN.(14分)
17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2千米， 所以AB＝AC＝BC＝2，(1分)
因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°， 所以∠BDC＝120°，(2分)
在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分) 所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos 120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD， 4则BD·CD≤，(4分)
3
当且仅当BD＝CD时等号成立，
123
此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝＝.
cos 30°3
1143
区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝×2×2×sin 60°＋BD·CD·sin 120°＝(平方千米)．(7分)
2231
(或者：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×AB·BD
2＝
43
(平方千米)．(7分)) 3
(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元， π
0，?，(8分) 在Rt△BDE中，由(1)知，∠BDE＝θ∈??3?232323则DE＝，BE＝tan θ，AE＝AB－BE＝2－tan θ，(9分)
3cosθ33所以y＝2a·ED＋a·AE＝2a?
23??2－23tan θ?＝23a?2－sin θ?＋2a，θ∈?0，π?.(10分) ＋a·?3?3?cos θ?3?3cos θ???
2－sin θ－1＋2sin θ
记f(θ)＝，令f′(θ)＝＝0，
cos θcos2θππ
0，?.(11分) 解得θ＝∈?6?3?
π
0，?时，f′(θ)<0，函数f(θ)为减函数； 当θ∈??6?ππ?当θ∈??6，3?时，f′(θ)>0，函数f(θ)为增函数． π
所以当θ＝时，f(θ)取最小值，
6此时ymin＝4a(元)．(12分)
43
答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为平方千米；
3(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元．(14分) a2
18. (1)由长轴长2a＝4，准线间距离2×＝42，
c解得a＝2，c＝2，(2分) 则b2＝a2－c2＝2，
x2y2
即椭圆方程为＋＝1.①(4分)
42
(2) 若直线l的斜率不存在，则EF＝6， 136
△AEF的面积S＝AD·EF＝不合题意；(5分)
22
若直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－1)，②代入①得，
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，③
因为点D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立． 设点E(x1，y1)，F(x2，y2)， 4k2±223k2＋2
则x1，2＝，④(6分)
2（1＋2k2）
223k2＋2
EF＝（x1－x2）＋（y1－y2）＝1＋k|x1－x2|＝1＋k·.(7分)
1＋2k23|k|
点A到直线l的距离d为2，(8分) 1＋k
2222242113|k|2223k＋2323k＋2k则△AEF的面积S＝d·EF＝··1＋k·＝＝10，(9分) 221＋k21＋2k21＋2k2解得k＝±1.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(10分) (3)设直线AE：y＝
y1(x＋2)， x1＋2
5y1
令x＝3，得点M?3，x＋2?，
??15y2同理可得点N?3，x＋2?，
??2
5y15y2所以点Q的坐标为?3，2（x＋2）＋2（x＋2）?.(12分)
??12y25y1所以直线QD的斜率为k′＝?x＋2＋x＋2?，(13分)
4?1?2而
k（x1－1）k（x2－1）y1y2＋＝＋＝ x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2
k?
?2x1x2＋x1＋x2－4?.(14分)
??x1x2＋2（x1＋x2）＋4?
2k2－44k2
由(2)中③得，x1＋x2＝，xx＝，代入上式得，(15分)
1＋2k2121＋2k24k2－8＋4k2－4（1＋2k2）?y1y2?＋＝k??＝ 222x1＋2x2＋2?2k－4＋8k＋4＋8k?－12k2
2＝－. 18k3k5则k′＝－，
6k
5
所以k·k′＝－为定值．(16分)
6
19. (1) 设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 因为a1＝2，a2a4＝a1q·a1q3＝64， 解得q＝2，则an＝2n.(1分)
当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1，(2分)
＋
当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n1＋2，① a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·2n＋2，② 由①－②得，anbn＝n·2n，则bn＝n. 综上，bn＝n.(4分)
11111－??1－?…?1－?<(2)不等式λ??2b1??2b2??2bn?2bn＋1对一切正整数n都成立， 11111－??1－?…?1－?<即λ??2??4??2n?2n＋1， 111
1－??1－?…?1－?>0， 因为??2??4??2n?当λ≤0时，不等式显然成立；(5分)
1111
1－??1－?…?1－?2n＋1<， 当λ>0时，则不等式等价于??2??4??2n?λ111
设f(n)＝(1－)(1－)…(1－)2n＋1，
242n则
f（n＋1）
f（n）
?1－1?…?1－1??1－1?2n＋3?2??2n??2n＋2?＝ 11?1－?…?1－?2n＋1?2??2n?
2n＋1·2n＋34n2＋8n＋3＝＝<1.(7分)
2n＋24n2＋8n＋4
所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…， 13所以>f(n)max＝f(1)＝，
λ223则0<λ<，
323
综上λ<.(8分)
3
(3) 在数列{cn}中，从b1至bk(含bk项)的所有项和是：
k（k＋1）k＋1－
(1＋2＋3＋…＋k)＋(21＋22＋…＋2k1)×2＝＋2－4.(10分)
2当k＝9时，其和是45＋210－4＝1 065<2 019，
当k＝10时，其和是55＋211－4＝2099>2019，(12分) 又因为2 019－1 065＝954＝477×2，(14分)
所以当m＝9＋(2＋22＋…＋28)＋477＝996时，Tm＝2 019. 即存在m＝996，使得Tm＝2 019.(16分) 20. 当a＝1，b＝1时，f(x)＝ln x－x，(1分) 11
则f′(x)＝－1，则f′(1)＝－1＝0.(3分)
x1又f(1)＝－1，
则所求切线方程为y＝－1.(4分)
(2) 当a＝1时，f(x)＝ln x－bx， 1－bx1
则f′(x)＝－b＝，(5分)
xx
由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，
①若b≤0，则f′(x)>0恒成立，
则函数f(x)的增区间为(0，＋∞)；(6分) 1
②若b>0，则由f′(x)＝0，得x＝，
b
11
0，?时，f′(x)>0，则函数f(x)的单调增区间为?0，?；(7分) 当x∈??b??b?11
，＋∞?时，f′(x)<0，则函数f(x)单调减区间为?，＋∞?.(8分) 当x∈??b??b?
1
0，?，综上，当b≤0时，函数f(x)单调递增，增区间为(0，＋∞)；当b>0时，函数f(x)的单调增区间为??b?1?单调减区间为??b，＋∞?.
(3) 因为x1，x2分别是方程aln x－x＝0的两个根，即aln x1＝x1，aln x2＝x2.
两式相减a(ln x2－ln x1)＝x2－x1， x2－x1则a＝，(9分)
x2lnx1
x2－x1
则不等式a<(1－m)x1＋mx2(m>0)，可变为<(1－m)x1＋mx2，
x2lnx1x2
－1x1mx2两边同时除以x1得，<1－m＋，(10分)
x2x1lnx1
t－1x2令t＝，则<1－m＋mt在t∈(1，＋∞)上恒成立．
x1ln t因为1－m＋mt>0，ln t>0，