江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学(含答案)

1122又S=acsin B=a×2×=22,

223解得a=3.(12分)

1

由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=9+4-2×3×2×=9,则b=3.(14分)

3

故边b的值为3.

16. (1) 在四棱锥VABCD中,

因为VD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD, 所以VD⊥BC.(3分)

因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.(4分)

又CD?平面VCD,VD?平面VCD,CD∩VD=D, 则BC⊥平面VCD.(7分)

(2) 因为底面ABCD是矩形,所以AD∥BC,(8分) 又AD?平面VBC,BC?平面VBC, 则AD∥平面VBC,(11分)

又平面ADNM∩平面VBC=MN,AD?平面ADNM, 则AD∥MN.(14分)

17. (1) 因为三楼宇间的距离都为2千米, 所以AB=AC=BC=2,(1分)

因为楼宇D对楼宇B,C的视角为120°, 所以∠BDC=120°,(2分)

在△BDC中,因为BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC,(3分) 所以22=BD2+CD2-2BD·CD·cos 120o=BD2+CD2+BD·CD≥2BD·CD+BD·CD=3BD·CD, 4则BD·CD≤,(4分)

3

当且仅当BD=CD时等号成立,

123

此时∠DBC=∠DCB=30°,BD=CD==.

cos 30°3

1143

区域最大面积S=S△ABC+S△BCD=×2×2×sin 60°+BD·CD·sin 120°=(平方千米).(7分)

2231

(或者:因为直角三角形△ABD,△ACD全等,区域最大面积S=S△ABD+S△ACD=2S△ABD=2×AB·BD

2=

43

(平方千米).(7分)) 3

(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元, π

0,?,(8分) 在Rt△BDE中,由(1)知,∠BDE=θ∈??3?232323则DE=,BE=tan θ,AE=AB-BE=2-tan θ,(9分)

3cosθ33所以y=2a·ED+a·AE=2a?

23??2-23tan θ?=23a?2-sin θ?+2a,θ∈?0,π?.(10分) +a·?3?3?cos θ?3?3cos θ???

2-sin θ-1+2sin θ

记f(θ)=,令f′(θ)==0,

cos θcos2θππ

0,?.(11分) 解得θ=∈?6?3?

π

0,?时,f′(θ)<0,函数f(θ)为减函数; 当θ∈??6?ππ?当θ∈??6,3?时,f′(θ)>0,函数f(θ)为增函数. π

所以当θ=时,f(θ)取最小值,

6此时ymin=4a(元).(12分)

43

答:(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为平方千米;

3(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元.(14分) a2

18. (1)由长轴长2a=4,准线间距离2×=42,

c解得a=2,c=2,(2分) 则b2=a2-c2=2,

x2y2

即椭圆方程为+=1.①(4分)

42

(2) 若直线l的斜率不存在,则EF=6, 136

△AEF的面积S=AD·EF=不合题意;(5分)

22

若直线l的斜率存在,设直线l:y=k(x-1),②代入①得,

(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,③

因为点D(1,0)在椭圆内,所以Δ>0恒成立. 设点E(x1,y1),F(x2,y2), 4k2±223k2+2

则x1,2=,④(6分)

2(1+2k2)

223k2+2

EF=(x1-x2)+(y1-y2)=1+k|x1-x2|=1+k·.(7分)

1+2k23|k|

点A到直线l的距离d为2,(8分) 1+k

2222242113|k|2223k+2323k+2k则△AEF的面积S=d·EF=··1+k·==10,(9分) 221+k21+2k21+2k2解得k=±1.

综上,直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(10分) (3)设直线AE:y=

y1(x+2), x1+2

5y1

令x=3,得点M?3,x+2?,

??15y2同理可得点N?3,x+2?,

??2

5y15y2所以点Q的坐标为?3,2(x+2)+2(x+2)?.(12分)

??12y25y1所以直线QD的斜率为k′=?x+2+x+2?,(13分)

4?1?2而

k(x1-1)k(x2-1)y1y2+=+= x1+2x2+2x1+2x2+2

k?

?2x1x2+x1+x2-4?.(14分)

??x1x2+2(x1+x2)+4?

2k2-44k2

由(2)中③得,x1+x2=,xx=,代入上式得,(15分)

1+2k2121+2k24k2-8+4k2-4(1+2k2)?y1y2?+=k??= 222x1+2x2+2?2k-4+8k+4+8k?-12k2

2=-. 18k3k5则k′=-,

6k

5

所以k·k′=-为定值.(16分)

6

19. (1) 设等比数列{an}的公比为q(q>0), 因为a1=2,a2a4=a1q·a1q3=64, 解得q=2,则an=2n.(1分)

当n=1时,a1b1=2,则b1=1,(2分)

当n≥2时,a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·2n1+2,① a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-2)·2n+2,② 由①-②得,anbn=n·2n,则bn=n. 综上,bn=n.(4分)

11111-??1-?…?1-?<(2)不等式λ??2b1??2b2??2bn?2bn+1对一切正整数n都成立, 11111-??1-?…?1-?<即λ??2??4??2n?2n+1, 111

1-??1-?…?1-?>0, 因为??2??4??2n?当λ≤0时,不等式显然成立;(5分)

1111

1-??1-?…?1-?2n+1<, 当λ>0时,则不等式等价于??2??4??2n?λ111

设f(n)=(1-)(1-)…(1-)2n+1,

242n则

f(n+1)

f(n)

?1-1?…?1-1??1-1?2n+3?2??2n??2n+2?= 11?1-?…?1-?2n+1?2??2n?

2n+1·2n+34n2+8n+3==<1.(7分)

2n+24n2+8n+4

所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…, 13所以>f(n)max=f(1)=,

λ223则0<λ<,

323

综上λ<.(8分)

3

(3) 在数列{cn}中,从b1至bk(含bk项)的所有项和是:

k(k+1)k+1-

(1+2+3+…+k)+(21+22+…+2k1)×2=+2-4.(10分)

2当k=9时,其和是45+210-4=1 065<2 019,

当k=10时,其和是55+211-4=2099>2019,(12分) 又因为2 019-1 065=954=477×2,(14分)

所以当m=9+(2+22+…+28)+477=996时,Tm=2 019. 即存在m=996,使得Tm=2 019.(16分) 20. 当a=1,b=1时,f(x)=ln x-x,(1分) 11

则f′(x)=-1,则f′(1)=-1=0.(3分)

x1又f(1)=-1,

则所求切线方程为y=-1.(4分)

(2) 当a=1时,f(x)=ln x-bx, 1-bx1

则f′(x)=-b=,(5分)

xx

由题意知,函数的定义域为(0,+∞),

①若b≤0,则f′(x)>0恒成立,

则函数f(x)的增区间为(0,+∞);(6分) 1

②若b>0,则由f′(x)=0,得x=,

b

11

0,?时,f′(x)>0,则函数f(x)的单调增区间为?0,?;(7分) 当x∈??b??b?11

,+∞?时,f′(x)<0,则函数f(x)单调减区间为?,+∞?.(8分) 当x∈??b??b?

1

0,?,综上,当b≤0时,函数f(x)单调递增,增区间为(0,+∞);当b>0时,函数f(x)的单调增区间为??b?1?单调减区间为??b,+∞?.

(3) 因为x1,x2分别是方程aln x-x=0的两个根,即aln x1=x1,aln x2=x2.

两式相减a(ln x2-ln x1)=x2-x1, x2-x1则a=,(9分)

x2lnx1

x2-x1

则不等式a<(1-m)x1+mx2(m>0),可变为<(1-m)x1+mx2,

x2lnx1x2

-1x1mx2两边同时除以x1得,<1-m+,(10分)

x2x1lnx1

t-1x2令t=,则<1-m+mt在t∈(1,+∞)上恒成立.

x1ln t因为1-m+mt>0,ln t>0,

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