2019届高三年级第一次模拟考试
数学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
1
锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h为高．
3
圆锥侧面积公式：S＝πrl，其中r为底面半径，l为母线长． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，2，3}，则A∩B＝________．
2. 函数f(x)＝lg（3－x）的定义域为________．
3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．
4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．
5. 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． x2y2
6. 抛物线y＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________．
169
2
a61S67. 设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若＝－，则＝________．
a32S3
1
8. 已知函数f(x)＝x－2x，则满足f(x2－5x)＋f(6)>0的实数x的取值范围是________．
2π?π
－α，α∈?，π?，则sin 2α＝________． 9. 若2cos 2α＝sin??4??2?
10. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使→→
得DE＝3EF，则AF·BC的值为________．
11. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且数列{Sn＋n}也为公差为d的等差数列，则d＝________．
14
12. 已知x>0，y>0，x＋y＝＋，则x＋y的最小值为________．
xy
13. 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．
b＋c
14. 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)．若不等式xf′(x)－af(x)≤2对一切x∈R恒成立，则
a的取值范围为________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos B＋bcos C＝3acos B. (1) 求cos B的值；
→→
(2) 若|CA－CB|＝2，△ABC的面积为22，求边b.
16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.
(1) 求证：BC⊥平面VCD； (2) 求证：AD∥MN.
17. (本小题满分14分)
某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；
(2) 当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．
18. (本小题满分16分)
x2y2
已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为42.设A为椭圆C的左顶点，直线l
ab过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若△AEF的面积为10，求直线l的方程；
(3) 已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′.求证：k·k′为定值．