(名师导学)2020版高考数学总复习-第18讲导数与函数的综合问题练习理(含解析)新人教A版

令h″(x)=0,解得x=ln 2a.

所以h′(x)在(-∞,ln 2a)上单调递减,在(ln 2a,+∞)上单调递增. 所以h′(x)min=h′(ln 2a)=2a-2aln 2a-1,

设m=2a,g(m)=m-mln m-1,而 g′(m)=1-(1+ln m)=-ln m, 则g(m)在(1,+∞)上单调递减,在(0,1)上单调递增,

1

所以g(m)max=g(1)=0,即h′(x)min≤0 (当m=1即a=时取等).

21

1° 当a=时,h′(x)min=0, 则h′(x)≥0恒成立.

2所以h(x)在R上单调递增,又h(0)=0,则h(x)有一个零点; 1

2°当a>时,ln 2a>0,h′(x)min=h′(ln 2a)<0,

2

有h′(x)在(-∞,ln 2a)上单调递减,在(ln 2a,+∞)上单调递增, 且x→+∞时,h′(x)=e-2ax-1>0, 则存在x1>0使得h′(x1)=0,又h′(0)=0,

这时h(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增, 所以h(x1)0,h(0)=0, 所以这时h(x)有两个零点;

1

3°当0

2

有h′(x)在(-∞,ln 2a)上单调递减,在(ln 2a,+∞)上单调递增, 且x→-∞时,h′(x)=e-2ax-1>0, 则存在x2<0使得h′(x2)=0.又h′(0)=0,

这时h(x)在(-∞,x2)上单调递增,在(x2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.

9

xx2

x所以h(x2)>h(0)=0.又x→-∞时,h(x)=e-ax-x-1<0,h(0)=0. 所以这时h(x)有两个零点;

11

综上:a=时,原方程一个解;当a≠且a>0时,原方程两个解.

22

x2

方法总结 【p40】

1.应用导数解决不等式的问题,构造函数应用导数推理求解是有效方法之一,也是近几年高考压轴题的常见命题方法之一.

(1)利用导数解不等式,一般可构造函数,利用已知条件确定函数单调性解不等式; (2)证明不等式f(x)

(3)利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.

2.应用导数解决方程根的探究等问题,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

理解题意

3.(1)利用导数解决生活中的优化问题的思路是:阅读审题――→引入建模将实际问题抽象为数学问题应用导数解决模型

――→解模――→回归实际.

(2)在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义可知该极值点就是最值点.

走进高考 【p40】

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1.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)≥0,求a的值;

?1??1??1?(2)设m为整数,且对于任意正整数n,?1+??1+2?…?1+n?<m,求m的最小值. ?2??2??2?

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).

①若a≤0,因为f??11?2???=-2+aln 2<0,所以不满足题意; ②若a>0,由f′(x)=1-a=x-axx知,

当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增, 故x=a是f(x)在x∈(0,+∞)的唯一最小值点. 由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0. 故a=1.

(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0 令x=1+1?12n得ln??1+2n???<1

2

n,从而

ln???1+12???+ln??1?1+22???+…+ln??1?1+2n??11

11?<2+2

2+…+2n=1-2n<1,

故??1?1+2?????1?1+22???…???1+12n???

<e,

而???1+12?????1?1+22?????1?1+23???

>2,所以m的最小值为3. 考点集训 【p195】

A组题

1.正三棱柱体积为V,则其表面积最小时,底面边长为( )

11

3333A.V B.2V C.2V D.4V

【解析】设底面边长为a,高为h,则V=Sh=

32

ah, 4

∴h=4V43V=2, 2

3a3a32343Va=a2+ 42a则表面积为S=3ah+243V则S′=3a-2,

a43V43V3

令S′=3a-2=0可得3a=2,即a=4V.

aa【答案】D

2.若不等式2xln x≥-x+ax-3对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,0) B.(-∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞)

332

【解析】2xln x≥-x+ax-3,则a≤2ln x+x+,设h(x)=2ln x+x+(x>0),则

2

xxh′(x)=

(x+3)(x-1)

.当x∈(0,1)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;当x∈(1,2

x+∞)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.所以h(x)min=h(1)=4.所以a≤h(x)min=4.

【答案】B

3.已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)=-3,且对任意实数x,总有f′(x)<3,则不等式f(x)<3x-15的解集为( )

A.(-∞,4) B.(-∞,-4)

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