2018-2019学年上海市交大附中高二(上)期末数学试卷

化简,整理得:,其中y≠﹣2

联立两个t的表达式,得:

两式交叉相乘,得:

(x﹣3)(1﹣y)=(2﹣x)(y+2) 化简,整理,得:3x+y﹣7=0(x≠3). 故答案为3x+y﹣7=0(x≠3).

【点评】本题相对来说比较简单,但要注意的是转化后x和y相应的取值问题,这一点容易忽略.本题属于基础题.

11.(3分)在平面直角坐标系中,双曲线Γ的中心在原点,它的一个焦点坐标为

分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线Γ上的点P,若

满足的一个等式是 4ab=1 . 【分析】根据

是渐近线方向向量,进而可知双曲线渐近线方程根据c=

化简整理可得答案. 是渐近线方向向量,

,进而求

(a、b∈R),则a、b

得a和b,求得双曲线方程,进而根据【解答】解:因为所以双曲线渐近线方程为又

,∴a=2,b=1

双曲线方程为∴

故答案为4ab=1.

=(2a+2b,a﹣b),

,化简得4ab=1.

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了考生分析问题和解决问题的能力. 12.(3分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A在椭圆

上,点P满足

,且

,则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 10 .

【分析】由已知可知,O,A,P三点共线,先设Op与x轴的夹角为θ,B为A(x,y)在x轴上的投影,从而有线段OP在x轴上的投影长度为|

|cosθ=

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,结合椭圆方程及基本不等式可求.

【解答】解:∵∴∵

,则O,A,P三点共线, ,

设Op与x轴的夹角为θ,B为A(x,y)在x轴上的投影, 则线段OP在x轴上的投影长度为|

|cosθ=

≤48×

=10,

当且仅当故答案为:10.

即|x|=时取得最大值10.

【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的性质的综合应用,属于中档试题. 二、选择题:

13.(3分)对于一元二次方程ax+bx+c=0(其中a,b,c∈R,a≠0)下列命题不正确的是( ) A.两根x1,x2满足B.两根x1,x2满足

2

2

C.若判别式△=b﹣4ac>0时,则方程有两个相异的实数根 D.若判别式△=b﹣4ac=0时,则方程有两个相等的实数根

2

【分析】根与一元二次方程根与判别式△的关系以及根与系数之间的关系分别进行判断即可.

【解答】解:由根与系数之间的关系得对实系数二次方程,无论判别式△≥0还是△<0,两根x1,x2满足

,故A正确,

不成立,故B错误,

2

若两根x1,x2为虚根,则

判别式△=0时,方程有两个相等的实数根,△=b﹣4ac>0时,则方程有两个相异的实数根,故C,D,正确, 故选:B.

【点评】本题主要考查命题的真假判断,根据一元二次方程根与判别式△以及根与系数之间的关系是解决本题的关键.

14.(3分)已知两点A(1,2),B(4,﹣2)到直线l的距离分别为1,4,则满足条件的直线l共有( ) A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

【分析】由于以点A为圆心,半径1为的圆,与以点B为圆心,半径为4的圆相外切,满足条件的直线l即两个圆的公切线,故两个圆的公切线的条数即为所求.

【解答】解:由点A(1,2),B(4,﹣2),易得|AB|=5,以点A为圆心,半径1为的圆,

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与以点B为圆心,半径为4的圆外切,

故满足条件的直线l即两个圆的公切线,显然,两个圆的公切线共有3条, 故选:C.

【点评】本题考查了查直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、直线方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

15.(3分)如图.在四边形ABCD中.AB⊥BC,AD⊥DC,若|

|=a,|

|=b.则

=( )

A.b﹣a

2

2

B.a﹣b

22

C.a+b

22

D.ab

【分析】利用向量的线性运算及向量的数量积公式,即可得到结论. 【解答】解:∵AD⊥DC, ∴∴

??

=0, =(

+

)(?

)=

(?

+

)=

(?

+

),

∵AB⊥BC, ∴∴∵|∴

?﹣=0, (?

+

)=

|=a,|

2

|=b,

2

=b﹣a,

故选:A.

【点评】本题考查向量在几何中的应用,考查向量的线性运算及向量的数量积公式,属于中档题. 16.(3分)已知F为抛物线C:y=4x的集点,A,B,C为抛物线C上三点,当“和谐三角形”,则“和谐三角形”有( ) A.0个

【分析】根据满足数个得答案.

【解答】解:抛物线方程为y=4x,A、B、C为抛物线C三点,

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22

时,称△ABC为

B.1个 C.3个 D.无数个

时,得到F为△ABC的重心,然后结合构造以F为重心的三角形可以构造无

当满足时时,F为△ABC的重心,

连接AF并延长至D,使FD=AF,

当D在抛物线内部时,存在以D为中点的弦BC,则这样的三角形有无数个. 故“和谐三角形”有无数个, 故选:D.

【点评】本题主要考查抛物线性质的应用,结合条件键.注意利用数形结合去求解判断. 三、解答题:

17.设 z+1为关于 x 的方程 x+mx+n=0,m,n∈R的虚根,i为虚数单位. (1)当 z=﹣1+i 时,求 m、n 的值;

(2)若 n=1,在复平面上,设复数 z 所对应的点为 P,复数 2+4i 所对应的点为 Q,试求|PQ|的取值范围. 【分析】(1)由z=﹣1+i,可得z+1=i,可得方程 x+mx+n=0的两根分别为i,﹣i.利用根与系数的关系可得

,解出m,n.

(2)设z=a+bi(a,b∈R),可得=sinθ,θ∈[0,2π).|PQ|=

【解答】解:(1)∵z=﹣1+i,∴z+1=i, 则方程 x+mx+n=0的两根分别为i,﹣i. 由根与系数的关系可得(2)设z=a+bi(a,b∈R),则由题意可得:(z+1)

2

2

2

时,得到F为△ABC的重心是解决本题的关

=a+1﹣bi.由题意可得:(z+1)=(a+1)+b=1.令a+1=cosθ,b

22

,化简即可得出.

,即m=0,n=1; =

2

2

=a+1﹣bi.

=(a+1)+b=1.

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