年利率为4%投资。给出第十年底的累积余额表达式。
21．1万元的贷款计划20年分年度还清，每年底还款1000元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率为5%投资，计算贷款方的实际收益率。
22．某活期存款账户年初余额为1000元，4月底存入500元，六月底和八月底分别提取200元和100元，年底余额为1236元，求该储户的年资本加权收益率。 23．某投资账户年初余额为10万元，5月1日的余额为11.2万元，同时投资3万元，11月1日余额将为12.5万元，同时提取4.2万元，在下一年的1月1日又变为10万元。分别用资金加权和时间加权求投资收益率。
24．某基金由两个投资人，甲年初在基金中有资金1万元，年中又投入1万元，乙年初有2万元，上半年收益率为10%，下半年收益率为20%，利用投资组合法计算甲乙应分得的收益。
25．债券A，面值为PA，收益率为iA，无违约风险；
债券B，面值为PB，收益率为iB，违约概率为p（0?p?1），如果违约发生则到期债券的价值为0，即债券B在到期时的价值为随机变量XB??PB......不违约0............违约。
问题：在什么条件（PA，PB，p，iA，iB满足什么关系）下，债券A和债券B对投资者来说有相同的期望收益？
分析：要使两债券在到期时有相同的期望收益，两债券期末的期望本利和应相同，所以应有关系：PA(1?iA)?E[XB](1?iB) 即：PA(1?iA)?PB(1?p)(1?iB)
26．某按月摊还的债务，年实际利率为11%，如果第三次还款中的本金量为1000元，计算第33次还款中本金部分的金额。
27．某借款人借款2000元，年利率为10%，要求两年内还清。借款人以偿债基金方式还款：每半年向基金存款一次，而且存款利率为季度挂牌利率8%，求每半年应偿债基金的存款额。并构造偿还表。
28．假设一笔贷款期限为5年，贷款利率为10%，如果贷款人计划每年末的总付款额为：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。
基本概念：
1. 实际利率、单利法 、复利法、均衡利率、单位度量期上贴现m次贴现值的
名义贴现率、单位度量期上结转m次利息的名义利率、实际贴现率、标准年金、变额年金、永续年金、年金现值、永续年金的现值、年金终值、变动利率年金、支付利率原则、 经历利率原则、利息结转周期、支付周期、投资项目的收益率、内涵报酬率、
2. 利率水平是受债券或货币的供求关系影响，决定利率水平的两种理论模型：
可贷资金模型和流动性偏好模型。
3. 一般情况下，在其他条件不变的情况下，收益率曲线随期限变化的规律是：
期限越长，收益率越大，收益率是关于期限的单调增函数，或者说：长期利率大于短期利率。
4. 常见的用于解释利率期限结构的理论模型有 纯粹预期假设、流动性偏好假
设、市场分割假设、区间（完全）偏好假设等。
5. 影响债券供给曲线的因素：经济周期、预期通货膨胀率、政府活动规律。 6. 影响债券需求曲线的主要因素有：经济周期、价格风险、流动性、预期利率、
预期通货膨胀率。
7. 内涵报酬率可以用来对投资项目进行评价：当内涵报酬率大于投资者预先设
定的利率时，投资项目可行。
8. 投资收益率的计算方法主要有：币值加权平均法和时间加权平均法。 9. 投资收益的分配方法主要有：投资额法（投资组合法）和投资年法 10. 当债券存在违约风险时，对风险的补偿方式有：提高收益率和降低发行价。 11. 按照利息的支付方式不同债券可分为：零息债券和附息债券。影响债券价格
的主要因素有：债券的到期时间、债券的息票率、可赎回条款、通货膨胀调整、税收待遇、债券的流动性、违约风险。
12. 债券的发行方式有：溢价发行、折价发行、平价发行。
2 已知：1） 1?2） 1?i(m)md(m)m?(1??(1?i(5)i(6)?1)(1?6) 求m?? 5d(5)d(6)?1)(1?6) 求m?? 5 由于(1?im)?(1?in)?1?i 由于(1?d(m)mm(m)m(n)n)?(1?d(n)nn)?1?d
4 设m?1，按从小到大的顺序排列i,i(m),d,d(m),?
解：由
i?d?i?d ? i?d
d(m?1)?d(m) ? d?d(m) i(m)?d(n) ? d(m)?i(m) i(m?1)?i(m) ? i(m)?i
i(m)关于m单调减，而d(m)关于m单调增，又由于 limi(m)?limd(m)??
m??m??? d?d(m)???i(m)?i
10. 期末付款先由1到n递增付款，然后再由n?1到1的递减付款形成的变额年
金称为虹式年金，试求付款期利率为i的虹式年金的现值和终值。 解：现值为：
A???2?2?3?3?,...,?(n?1)?n?1?n?n?(n?1)?n?1?,...,??2n?1 ?A??2?2?3?3?4?,..?.(,n?1)?n?n?n?1?(n?1)?n?2?,..?.?,2n
n?A??A????2??3?,...,??n??n?1??n?2?,...,??2n???(1??) 1??1??)A??((1 ??)2n2n?1同理可证终值公式。
11． 考虑下列两种等价的期末年金：
A：首付6000元，然后每年减少100元，直到某年（k），然后保持一定付款的水平直到永远；
B：每年底固定付款5000元；
如果年利率为6%，试求k（近似整数）。 解：
方法一：价值等式：5000a?|?(6000?100(k?1))?a?|?6000ak|?100?kak|?k?k0.6
5000?(6000?100(k?1))?k?6000(1??k)?100(ak|?k?k)
解得ak|?10，查表得k?15
方法二：价值等式：5000a?|?(6000?100(k?1))a?|?100(Da)k?1|
注意到 (Da)n|?n?an|i 解得ak|?10 查表得k?15
答：k?15。
5 两项基金X,Y以相同的金额开始，且有：（1）基金X以利息强度5%计息；（2）基金Y以每半年计息一次的名义利率j计算；（3）第8年末，基金X中的金额是基金Y中的金额的1.5倍。求j. 解：设两基金开始金额为单位1。
a) 第八年末基金X的累计终值为：SX?exp{??dt}?e8?
08b) 第八年末基金Y的累计终值为：SY?(1?j)16
由SX?1.5SY，e8?5%?1.5?(1?j)16 解方程求出j即可。
6 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款10,000元,期限为5年，计算下列三种还款方式中利息所占的额度：
1）贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清； 2）每年末支付贷款利息，第五年末归还本金； 3）贷款每年年末均衡偿还（即次用年金方式偿还）。 三种还款方式乙方支付的利息相同吗? 请你说明原因？
解：本题从投资者的还款角度来考虑，不考虑还款人的机会成本。并假定贷款利率和年实际利率相同。
1）一次还清，期末累计值为：10000(1?8%)5?14693.28 利息金额为：14693.28?10000?4693.28元 2）每年支付的贷款利息为：10000?8%?800元 5年支付的总利息金额：4000元 3）每次偿还金额：10000a5|0.08?100003.99271?2504.56
总的还款金额2504.56?5=12522.8 利息金额为：2522.8元 为什么会不一样呢？
28．假设一笔贷款期限为5年，贷款利率为10%，如果贷款人计划每年末的总付款额为：1000元、2000元、3000元、4000元和5000元。试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。 解：分期偿还法计算的还款金额：
L0??Rt?t?1000(Ia)5|0.10
t?1n ?1000(1?0.1)a5|0.10?5(1?0.1)?50.1
?5?0.6209?1000?1.1?3.79078?10563.58（元） 0.1