4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。
解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,?)均为线电荷电荷的电位
ql的电位?l(r,?)与感应
?in(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??in(r,?)。线电荷ql的电位为
ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? （1）
?l(r,?)??而感应电荷的电位
?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。
?(r,?)满足的边界条件为
① ?(r,?)??lr(?,(r)??)；
②
?(a,?)?C。
由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为
??(r,?)??l(r,?)??Annr?cosn?n?0 （2）将式（1）和（2）带入条件②，可得到
??Aa?nncosn??C?qln?02??lna2?r20?2ar0cos?0 2将
lna?r20?2ar0cos?展开为级数，有
lna2?r2?0?2ar??lnr1a0cos0??(r)ncosn?n?1n0 带入式（3），得
??A?nq?lnacosn??C???[lnr1ann?020??()cosn?]0n?1nr0 A?C?qlql由此可得 2??lnrAa2n00n??0，
2??0n(r)0 故导体圆柱外的电为
?(r,?)??ql2??lnr2?r20?2rr0cos??0
3）
（4）
（5）
（ 1a2n(C?lnr0)??()cosn?2??02??0n?1nr0r （6）
qlql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为
ql1a2n?()cosn??(lnR??lnr)?2??0n?1nr0r2??0
ql?其中
R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?(r,?)写成为
?(r,?)??ql2??0lnR?ql2??0lnR??ql2??0lnr?C?ql2??0lnr0
由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（
r0,0）q的线电荷l；
a2
(,0)
?qqr位于0的线电荷l；位于r?0的线电荷l。
4.13 在均匀外电场
E0?ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U0；
（2）导体上
充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解 （1）这里导体充电至时导体球面上的电荷密度在
U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此
???0U0a，q?4??0aU0。E总电荷将导体球放入均匀外电场0中后，
E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体
球仍为等位体。 设
?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
?0(r,?)??E0z??E0rcos?
是均匀外电场
E0的电位，?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为 ①
r??时，?(r,?)??E0rcos?；
② r?a时，
?(a,?)?C0，
??0?S??dS?q?r
其中
C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使C0?U0。
?2?1?(r,?)??Ercos??Arcos??Br?C1 011由条件①，可设
3A?aE0，B1?aU0，C1?C0?U0 1代入条件②，可得到
3?2?1C?U?(r,?)??Ercos??aErcos??aUr00000若使，可得到
（2）导体上充电荷Q时，令
Q?4??0aU0，有
U0?Q4??0a
Q4??0r
?(r,?)??E0rcos??a3E0r?2cos??利用（1）的结果，得到
4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场
E0?ezE0，在介质中有一个半径为
a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为?）。
解 在电场电场
E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加
E0与极化电荷的电场Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界
条件为 ①
r??时，?2(r,?)??E0rcos?；
?(r,?)为有限值； ② r?0时，1r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，
?0??1????2?r?r
③
由条件①和②，可设
?1(r,?)??E0rcos??Ar1cos? ?2(r,?)??E0rcos??A2r?2cos?
带入条件③，有
?3A1a?A2a?2，??0E0??0A1???E0?2?aA2
a ? ?0 o
z
???0???03A1??E0A2??aE02???2???00由此解得 ，
E0 题4.14图
?1(r,?)??所以
3?E0rcos?2???0
?2(r,?)??[1????0a3()]E0rcos?2???0r
3?E02???0 E0?(???0)E0a3()[er2cos??e?sin?]2???0r
空腔内、外的电场为
E1????1(r,?)?E2????2(r,?)?空腔表面的极化电荷面密度为
?p??n?P2r?a??(???0)er?E2r?a??3?0(???0)E0cos?2???0
4.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为r1和r2，球的中心放置一个电偶极子
p，球壳上的电荷量为Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。
解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子
p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但
内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q，且均匀分布在外表面上。 球壳外的场可由高斯定理求得为
E2(r)?erQ4??0r2
r1 r2 z Q ?2(r)?Q4??0r
?2?外表面上的电荷面密度为 设球内的电位为
Q4?r22
，其中
o p ?1(r,?)??p(r,?)??in(r,?)题 4.15图
?p(r,?)?是电偶极子
pcos?p?P(cos?)2214??0r4??0r
p的电位，?in(r,?)是球壳内表面上的感应电荷的电位。