(0,d)。求板间的电位函数。
解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷个区域，则这两个区域中的电位上，可利用?函数将线电荷ql，以x?0为界将场空间分割为x?0和x?0两
?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?0的分界面
ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。
电位的边界条件为
y ①
?1(x,0)=?1(x,a)?0
?2(x,0)=?2(x,a)?0
ql d??) a ②
1(x,y)?0(x?
ox题 4.6
图
?2(x,y)?0(x???)
③
?1(0,y)??2(0,y)
(??2ql?x???1?x)x?0????(y?d)0
由条件①和②，可设电位函数的通解为
??1(x,y)??A?n?xan?ynesin(n?1a) (x?0)
??n?y2(x,y)??B?xanensin(n?1a) (x?0)
由条件③，有
???An?yBn?ynsin()?nsin(n?1a?n?1a) ???An?n?y?n?nsin(n?1aa)??Bnn?1asin(n?yqa)?l??(y?d) 0 由式（1），可得
An?Bn （3）
sin(m?y将式（2）两边同乘以
a)，并从0到a对y积分，有
1） （2）
（ An?Bn?2qln??0?a0?(y?d)sin(2qln?yn?d)dy?sin()an??0a （4） n?d)a
由式（3）和（4）解得
An?Bn?
qln??0sin(?1(x,y)?故
1n?d?n?xan?ysin()esin()???0n?1naa (x?0) ql??q?l2(x,y)?1???nsin(n?dn?xan?ya)esin(a)0n?1 (x?0) 4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷
ql。求槽内的电位函数。
解 由于在
(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql，以
x?x0为界将
场空间分割为
0?x?x0和x0?x?a两个区域，则这两个区(x0,y0)域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?x0的
分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度
?(y)?ql?(y?y0)，电位的边界条件为
① ?1(0,y=)，0?2(a,y)?0
② ?1(x,0)=?1(x,b)?0 ?2(x,0)=?2(x,b)?0
③
?1(x0,y)??2(x0,y )(??2?x???1?x)x?x0??ql??(y?y0)0
由条件①和②，可设电位函数的通解为
??1(x,y)??Ansin(n?yn?xn?1b)sinh(b) (0?x?x0)
y b ql o a x题4.7图
B?(x,y)??2n?1?nsin(n?yn?)sinh[(a?x)](x?x?a) bb 0由条件③，有
?n?x0n?yn?yn?Asin()sinh()?Bsin()sinh[(a?x0)]??nnbbbbn?1n?1 （1） ???Ann?1n?x0n?n?ysin()cosh()?bbb </