(0,d)。求板间的电位函数。
解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷个区域，则这两个区域中的电位上，可利用?函数将线电荷ql，以x?0为界将场空间分割为x?0和x?0两
?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?0的分界面
ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。
电位的边界条件为
y ①
?1(x,0)=?1(x,a)?0
?2(x,0)=?2(x,a)?0
ql d??) a ②
1(x,y)?0(x?
ox题 4.6
图
?2(x,y)?0(x???)
③
?1(0,y)??2(0,y)
(??2ql?x???1?x)x?0????(y?d)0
由条件①和②，可设电位函数的通解为
??1(x,y)??A?n?xan?ynesin(n?1a) (x?0)
??n?y2(x,y)??B?xanensin(n?1a) (x?0)
由条件③，有
???An?yBn?ynsin()?nsin(n?1a?n?1a) ???An?n?y?n?nsin(n?1aa)??Bnn?1asin(n?yqa)?l??(y?d) 0 由式（1），可得
An?Bn （3）
sin(m?y将式（2）两边同乘以
a)，并从0到a对y积分，有
1） （2）
（ An?Bn?2qln??0?a0?(y?d)sin(2qln?yn?d)dy?sin()an??0a （4） n?d)a
由式（3）和（4）解得
An?Bn?
qln??0sin(?1(x,y)?故
1n?d?n?xan?ysin()esin()???0n?1naa (x?0) ql??q?l2(x,y)?1???nsin(n?dn?xan?ya)esin(a)0n?1 (x?0) 4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷
ql。求槽内的电位函数。
解 由于在
(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql，以
x?x0为界将
场空间分割为
0?x?x0和x0?x?a两个区域，则这两个区(x0,y0)域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?x0的
分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度
?(y)?ql?(y?y0)，电位的边界条件为
① ?1(0,y=)，0?2(a,y)?0
② ?1(x,0)=?1(x,b)?0 ?2(x,0)=?2(x,b)?0
③
?1(x0,y)??2(x0,y )(??2?x???1?x)x?x0??ql??(y?y0)0
由条件①和②，可设电位函数的通解为
??1(x,y)??Ansin(n?yn?xn?1b)sinh(b) (0?x?x0)
y b ql o a x题4.7图
B?(x,y)??2n?1?nsin(n?yn?)sinh[(a?x)](x?x?a) bb 0由条件③，有
?n?x0n?yn?yn?Asin()sinh()?Bsin()sinh[(a?x0)]??nnbbbbn?1n?1 （1） ???Ann?1n?x0n?n?ysin()cosh()?bbb
qln?n?yn???(y?y0)Bnsin()cosh[(a?x0)]??0bbbn?1 （2）
?由式（1），可得
Ansinh(n?x0n?)?Bnsinh[(a?x0)]?0bb （3）
sin(将式（2）两边同乘以
m?y)b，并从0到b对y积分，有
2qln?x0n??Ancosh()?Bncosh[(a?x0)]n??0bb2qln?y0sin()n??0b （4）
由式（3）和（4）解得
?b0?(y?y0)sin(n?y)dy?b
An?
2qln?y01n?sinh[(a?x0)]sin()sinh(n?ab)n??0bb
Bn?2qln?x0n?y01sinh()sin()sinh(n?ab)n??0bb
?1(x,y)?故
1n?sinh[(a?x0)]???0n?1nsinh(n?ab)b 2ql??sin(n?y0n?xn?y)sinh()sin()bbb (0?x?x0)
?2(x,y)?n?x01sinh()???0n?1nsinh(n?ab)b 2ql??sin(若以
n?y0n?n?y)sinh[(a?x)]sin()bbb (x0?x?a)
y?y0为界将场空间分割为0?y?y0和y0?y?b两个区域，则可类似地得到
?1(x,y)??sin(1n?sinh[(b?y0)]???0n?1nsinh(n?ba)a 2ql?n?x0n?yn?x)sinh()sin()aaa (0?y?y0)
?2(x,y)??sin(n?y01sinh()???0n?1nsinh(n?ba)a 2ql?n?x0n?n?x)sinh[(b?y)]sin()aaa (y0?y?b)
4.8 如题4.8图所示，在均匀电场
E0?exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱
的半径为a。求导体圆柱外的电位?和电场E以及导体表面的感应电荷密度?。 解 在外电场电荷的电位
E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位?0与感应
?in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，
外电场的电位为荷的电位
?0(r,?)??E0x?C??E0rcos??C（常数C的值由参考点确定）
，而感应电
?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，
所以?(r,?)满足的边界条件为
y ?)?C ① ?(a,②
?(r,?)??Es?C0rco?r(??)
E0
a o x
?1?(r,?)??Ercos??Arcos??C 01由此可设
?1?Eacos??Aacos??C?C 01由条件①，有
题4.8图
2A?aE0 1于是得到
故圆柱外的电位为
?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C