§1 定积分的性质定积分的性质积分中值定理
因此
1b1b?1b?f(x)dx?f(t)dtdx?????aab?ab?a?b?aa?1b?f(x)dx,矛盾;?b?aa1b1b或f(x)dx?f(x)dx,矛盾.??b?aab?aa注2 积分第一中值定理的几何意义如下图所示:
数学分析第九章定积分高等教育出版社§1 定积分的性质定积分的性质积分中值定理yf(?)xa?b图中y?f(x) 在[a,b]上的曲边梯形的面积，等于O以[a,b]为底,f(?)为高的矩形面积.而1bf(?)?f(x)dx?b?aa这可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值，是有限个数的算术平均值的推广.数学分析第九章定积分高等教育出版社§1 定积分的性质定积分的性质积分中值定理
例2求?f(x)dx,其中?11?2x?1?1?x?0,f(x)???x0?x?1,?e解利用区间可加性，
?1?1f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?1001??(2x?1)dx??edx?1001?x?(x?x)?1?e?120?x10??2?e?1??1?e数学分析第九章定积分高等教育出版社?1§1 定积分的性质定积分的性质积分中值定理
????例3求f(x)?cosx在??,?上的平均值.?22?解所求的平均值为
1?2f(?)???cosxdx??2?12?sinx??2?2??数学分析第九章定积分高等教育出版社