专题1.7 排列组合、二项式定理
一．考场传真
1. 【2017课标1，理6】(1?A．15 【答案】C 【解析】因为(1?
1)(1?x)6展开式中x2的系数为 2x
C．30
D．35
B．20
1166)(1?x)?1?(1?x)??(1?x)6，则(1?x)6展开式中含x2的项为1?C62x2?15x2，22xx112644x展开式中含的项为?(1?x)?C6x?15x2，故x2前系数为15?15?30，选C. 22xx53
3
2．【2017课标3，理4】?x?y??2x?y?的展开式中xy的系数为
A．?80
【答案】C
B．?40
C．40 D．80
3．【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：
2233有C4种方法，然后进行全排列A3即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C4?A3?36种方法。 故选D。
4．【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660
411411【解析】由题意可得：总的选择方法为C8?C4?C3种方法，其中不满足题意的选法有C6?C4?C3种方法，411411则满足题意的选法有：C8?C4?C3?C6?C4?C3?660种．
32
5．【2017浙江，13】已知多项式?x?1??x?2?=x?a1x?a2x?a3x?a4x?a5，则a4=________，
54321a5=________．
【答案】16，4
6．【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080
4134【解析】A5?C4C5A4?1080
7．【2017山东，理11】已知?1?3x?的展开式中含有x2项的系数是54，则n? . 【答案】4
22rrrr【解析】由二项式定理的通项公式?r?1?Cn?3x??Cn?3?x，令r?2得：Cn?3?54，解得n?4．
nr二．高考研究 【考纲解读】 1.考纲要求
排列、组合、二项式定理
（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理： ①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. （2）排列与组合 ①理解排列、组合的概念.
②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. ③能解决简单的实际问题. （3）二项式定理
①能用计数原理证明二项式定理.
②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2.命题规律：
(1)排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易. (2)排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量最多是一道，分值为5分，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主．高考中对本讲注重基础知识和基本解题方法、规律的考查,以及运算能力的考查,基本都为中等难度试题.最近几个年份考查多少不一. (3)与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想. 考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题． 3．学法导航
1. 切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．
2. 要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．
3．解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”． 递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?4. 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的
q，再利用换元法转化为等比数列求解. 1?p含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
rn?rr5．运用二项式定理一定要牢记通项Tr?1?Cnab，注意?a?b?与?b?a?虽然相同，但具体到它们展
nn开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Cn，而后者是字母外的部分，对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法. 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr?1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr?1. 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏. 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.
一．基础知识整合 基础知识：
1.应用两个计数原理解题的方法
(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 2.排列、组合数公式及相关性质 （1）排列数公式：
mAn?n?n?1??n?2???n?m?1??rn！n?n!?n?(n?1)???2?1(n?N*). (m?n,m,n?N*)；An?n?m?!（2）组合数公式
mAnn?(n?1)??(n?m?1)n!C?m??(m?n,m,n?N*).
Amm?(m?1)??2?1m!?n?m?!mn（3）排列数与组合数的性质