(人教版)2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第6节 空间向量及其运算学案 北师大版

第6节 空间向量及其运算

最新考纲 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

知 识 梳 理

1.空间向量的有关概念

名称 空间向量 相等向量 相反向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 (或平行向量) 共面向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得a=λb. (2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式:p=xa+yb,其中x,y∈R,a,b为不共线向量,推论的表达→→→→→→→→→→→式为MP=xMA+yMB或对空间任意一点O,有OP=OM+xMA+yMB或OP=xOM+yOA+zOB,其中x+y+z=1.

(3)空间向量基本定理

如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数

平行于同一个平面的向量 定义 在空间中,具有大小和方向的量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 λ1,λ2,λ3,使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.

空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念

→→

①两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则∠AOBπ

叫作向量a与b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是[0,π],若〈a,b〉=,则称a与b2

1

互相垂直,记作a⊥b.

②非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)空间向量数量积的运算律: ①结合律:(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a;

③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

数量积 共线 垂直 模 夹角 向量表示 坐标表示 a·b a=λb(b≠0,λ∈R) a·b=0(a≠0,b≠0) |a| 〈a,b〉(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 22a21+a2+a3 cos〈a,b〉=a1b1+a2b2+a3b3 2222a2b21+a2+a3·1+b2+b3[常用结论与微点提醒]

→→→

1.在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:OA=xOB+yOC(其中x+y=1),O为平面内任意一点.

→→→→

2.在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是:OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1),O为空间任意一点.

3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a,b共面.( )

(2)对任意两个空间向量a,b,若a·b=0,则a⊥b.( )

(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.( ) (4)若a·b<0,则〈a,b〉是钝角.( )

解析 对于(2),因为0与任何向量数量积为0,所以(2)不正确;对于(3),若a,b,c中

2

有一个是0,则a,b,c共面,所以(3)不正确;对于(4),若〈a,b〉=π,则a·b<0,故(4)不正确.

答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是( ) A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b

解析 若c,a+b,a-b共面,则c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,则a,b,

c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间

向量的一组基底. 答案 C

→→→

3.如图所示,在四面体OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中→

点,E为AD的中点,则OE=________(用a,b,c表示).

1→1→→11→111→→111→→→

解析 OE=OA+AE=a+AD=a+(OD-OA)=a+OD=a+×(OB+OC)=a+b+c.

2222222244111

答案 a+b+c

244

4.(2018·宜春月考)已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,则|b|=____________. 解析 a·b=2×(-4)+3×2+1·x=0,∴x=2, ∴|b|=(-4)+2+2=26. 答案 26

5.已知a=(cos θ,1,sin θ),b=(sin θ,1,cos θ),则向量a+b与a-b的夹角是________.

解析 a+b=(cos θ+sin θ,2,cos θ+sin θ),

2

2

2

a-b=(cos θ-sin θ,0,sin θ-cos θ),

∴(a+b)·(a-b)=(cosθ-sinθ)+(sinθ-cosθ)=0, π∴(a+b)⊥(a-b),则a+b与a-b的夹角是.

2答案

π 2

考点一 空间向量的线性运算

2

2

2

2

3

→→

【例1】 如图所示,在简单几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设AA1=a,AB=b,→

AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:

→→→(1)AP;(2)MP+NC1.

→→→→→1→

解 (1)因为P是C1D1的中点,所以AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+D1C1

21→1

=a+c+AB=a+c+b.

22

→→→

(2)因为M是AA1的中点,所以MP=MA+AP 1→→=A1A+AP 2

1?111?

=-a+?a+c+b?=a+b+c.

2?222?→→→1→→

又NC1=NC+CC1=BC+AA1

21→→1

=AD+AA1=c+a, 22

→→?11??1?所以MP+NC1=?a+b+c?+?a+c?

?22??2?313

=a+b+c. 222

规律方法 1.选定空间不共面的三个向量作基向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算. 2.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.

提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算. 【训练1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点. →1→1→

(1)化简:A1O-AB-AD=________.

22

4

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