4.
5.
6.
7.
§2. 5 变 换 群
一、主要内容
1．变换群、双射变换群(特别是集合M上的对称群和n次对称群)和非双射变换群的定义及例子．
2．变换群是双射变换群的充要条件；双射变换群与抽象群的关系． 1)集合M上的变换群G是双射变换群?G含有M的单或满)射变换； 2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构．
3．有限集及无限集上非双射变换群的例子(例2和例3)． 二、释疑解难
1．一般近世代数书中所说的“变换群”，都是由双射变换(关于变换乘法)所作成的群，即本教材所说的“双射变换群”．而本教材所说的“变换群”则是由一个集合上的一些变换(不一定是双射变换)作成的群．通过教材§5定理2和推论1可知，实际上变换群可分成两类：一类是双射变换群(全由双射变换作成的群，即通常近世代数书中所说的“变换群”)，另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成的群)．在学习本书时应留意这种差异．
2．本节教材定理2(若集合M上的变换群G含有M的单射或满射变换．则G必为M上的一个双射变换群，即G中的变换必全是双射变换)比有些书上相应的定理(若集合M上由变换作成的群G含有M的恒等变换，则G中的变换必全为双射变换)大为推广．因为后者要求G包含恒等变换(一个特殊的双射变换)，而前者仅要求G包含一个单(或满)射变换即可．因此，后音只是前者(本节教材定理2)的一个推论，一种很特殊的情况．两相比较，差异较大．
这种差异也说明，M上的任何一个非双射变换群不仅不能包含恒等变换，而且连M的任何单射或满射变换也不能包含．
另外，在这里顺便指出，集合M上的任何双射变换群G的单位元必是M的恒等变换．
3．集合M上的全体变换作成的集合T(M)，对于变换的乘法作成一个有单位元的半群．在半群的讨论中，这是一类重要的半群．并且本节习题中第4题还指出，当M＞1时T(M)只能作成半群，而不能作成群．
三、习题§2. 5解答
1. 解 作成有单位元半群，?是单位元．但不作成群，因为?无逆元． 2.
3. 解 G作成群：因为易知4
月15号
4.
5.
§2. 6 置 换 群
一、主要内容
1．任何(非循环)置换都可表为不相连循环之积，任何置换都可表为若干个对换之积，且对换个数的奇阴
n!偶性不变．从而有奇、偶置换的概念，且全体n次置换中奇、偶置换个数相等，各为个(n＞1)．
22．k—循环的奇偶性、阶和逆元的确定方法，以及不相连循环乘积的奇偶性、阶和逆元的确定方法．
1)k—循环与A有相反奇偶性．
－
2)k—循环的阶为k．又(i1，i2?ik)1＝(ik，?，i2，i1 )．
3)若?分解为不相连循环之积．则其分解中奇循环个数为奇时?为奇置换，否则?为偶置换．?的阶为各因子的阶的最小公倍．其逆元可由k—循环的逆元来确定．
－１
3．由置换?，?求置换???的方法．n次对称群sn的中心． 4．传递群的定义、例子和简单性质． 二、释疑解难
1．研究置换群的重要意义和作用．
除了教材中已经指出的(置换群是最早研究的一类群，而且每个有限的抽象群都同一个置换群同构)以外，研究置换群的重要意义和作用至少还有以下几方面：
1) 置换群是一种具体的群，从置换乘法到判断置换的奇偶性以及求置换的阶和逆置换，都很具体和简单．同时它也是元素不是数的一种非交换群．在群的讨论中举例时也经常用到这种群．
2) 在置换群的研究中，有一些特殊的研究对象是别的群所没有的．如置换中的不动点理论以及传递性和本原性理论等等．
3) 置换群中有一些特殊的子群也是一般抽象群所没有的．例如，交代群、传递群、稳定子群和本原群等等．就教材所讲过的交代群和传递群的重要性便可以知道，介绍置换群是多么的重要． 2．用循环与对换之积来表出置换的优越性．
首先，书写大为简化，便于运算。另外还便于求置换的阶，判断置换的奇偶性和求逆置换．因为我们知道：
k—循环的阶是k ；不相连循环之积的阶为各循环的阶的最小公倍；k—循环的奇偶性与k一1的奇侣性
－
相同；又k—循环(i1，i2?ik)的逆元为(i1，i2?ik)1＝(ik，?，i2，i1 )．
3.由教材本节例3可直接得出以下结论:n次置换群G若包含有奇置换,则G是一个偶数．
另外，由于偶置换之积仍为偶置换，故任何n次置换群G中的全体偶置换作成G 的一个子群．
5．在一般群中判断二元素是否共扼(参考第三章§6)并不容易，但是，在对称群sn中二置换是否共扼却容易判断，即二者有相同的循环结构(参考习题3．9第30题)．其证明要用到本节的定理5，这也是该定理的一个重要应用．
6．法国数学家马蒂厄于1861年和1873年曾发现四个4重传递群，分别用M11，M12，M23，M24表示，后人称为马蒂厄群．这四个群的阶数都很大，它们的阶数分别是：
三、习题§2．6解答 1.略 2.
3.略 4.略 5.
6. 证 因为H有限，故要证H≤s4只用验算H对置换乘法封闭即可． 7.解 令?＝(123456)．则G的全部6个置换是：
§2．7 陪集、指数和Lagrange定理
一、主要内容
1．左、右陪集定义和简单性质． 1)左陪集的五个基本性质：1)一5)；
2)全体左陪集与全体右陪集之间可建立双射； 3)群G关于子群H的左陪集分解式：