概率论第二版第1、2章习题解答

则 P(B)?P(1A)P(B1|A?) ?P|A)2(A)P(B2?3 3P(A)P(B|A)161251549??????. 2882882881616. 设袋中有n个黑球,m个白球,现从袋中依次随机取球,每次取一个球,观察颜色后放回,并加入1个同色球和2个异色球. 求第二次取到黑色球且第三次取到白色球的概率.

解 设Ai={第i次取到白色球},i=1,2,3,则所求概率为 P(A2A3)?P(A1)P(A2A3|A1)?P(A1)P(A2A3|A1)

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mn?2m?3nn?1m?4?????. n?mn?m?3n?m?6n?mn?m?3n?m?6习 题 1.4

1. 已知P(A)?0.4, P(B)=0.3,且A、B相互独立,试求:P(A|B), P(A?B),

P(AB), P(AB), P(A?B).

?解 P(A|B)P(AB)P(A)P(B)??P(A)?0., 4P(B)P(B)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.58,

P(AB)?P(A)P(B)?(1?0.4)?0.3?0.18, P(AB)?P(A)P(B)?(1?0.4)?(1?0.3)?0.42,

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?(1?0.4)?0.3?0.18?0.72.

2. 甲、乙两人各自向同一目标射击,已知甲命中目标的概率为 0.7,乙命中目标的概率为0.8,求:(1)甲、乙两人同时命中目标的概率;(2)恰有一人命中目标的概率;(3)目标被命中的概率.

解 设A={甲击中目标},B={乙击中目标},则P(A)?0.7,P(B)?0.8. (1)P(AB)?P(A)P(B)?0.7?0.8?0.56;

(2)P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.38; (3)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.94. 3. 甲、乙二人约定,将一枚匀称的硬币掷三次,若至少出现两次正面,则甲胜;否则乙胜.求甲胜的概率.

解 至少出现两次正面包含两种情况:恰有两次出现正面、三次都是正

113面.恰有两次出现正面的概率为C32()2??;三次都是正面的概率为

2281313C3()?.

28311故甲胜的概率为 ??.

8825. 甲、乙二人进行棋类比赛,假设没有和棋,每盘甲胜的概率为p,乙

胜的概率为1-p. 每盘胜者得1分,输者得0分. 比赛独立地进行到有一人首先超过对方2分时结束. 求甲首先超过对方2分的概率.

解 设C?{甲首先超过对方2分},每盘比赛若甲胜记为A, 若乙胜记为B, 根据题意,比赛共进行偶数盘,若甲首先超过对方2分时,则有 共赛两盘: AA;

共赛四盘: ABAA?BAAA;

共赛六盘: ABABAA?BAABAA?ABBAAA?BABAAA; 共赛八盘: ABABABAA?BAABABAA?ABBAABAA?ABABBAAA ?BABAABAA?BAABBAAA?ABBABAAA?BABABAAA; ??

即 P(C)?p2?2p3(1?p)?22p4(1?p)2?23p5(1?p)3?24p6(1?p)4?? ?p2[1?2p(1?p)?22p2(1?p)2?23p3(1?p)3?24p4(1?p)4??]

p2 ?p?[2p(1?p)]?.

1?2p(1?p)k?02?k6. 一汽车沿一街道行驶,要经过三个有信号灯的路口,每个信号灯工作都是相互独立,且红、黄、绿信号显示时间的比例为2:1:2,求此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率.

解 汽车经过三个有信号灯的路口,可以看作是3重伯努利试验.此车通过三个路口时遇到一次红灯的概率为

312C3()?()2?0.432. 557. 甲、乙、丙三人同时独立的向一飞机射击,他们击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7. 设若只有一人击中,飞机坠毁的概率为0.2,若恰有两人击中,飞机坠毁的概率为0.5,若三人均击中,飞机坠毁的概率为0.8. 求飞机坠毁的概率.

解 设Ai={飞机被i个人击中},i=1,2,3, B={飞机坠毁},由独立性有

P(A1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36, P(A2)?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.41, P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14.

P(B|A1)?0.2,P(B|A2)?0.5,P(B|A3)?0.8, 故 P(B)??PA(iP)B(Ai|?)i?130.?36?0.?20.?41?0.5?0.1.4 0.80.3898. 某厂生产的仪器,经检验可直接出厂的占0.7,需调试的占0.3,调试后可出厂的占0.8,调试后仍不能出厂的占0.2. 现新生产n(n≥2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立),求:(1)全部能出厂的概率;(2)恰有两台不能出厂的概率;(3)至少两台不能出厂的概率.

解 设A={1台仪器可直接出厂}, B={1台仪器最终能出厂},则

A?B,B?A?BA,

p?P(B)?P(A)?P(BA)?P(A)?P(A)P(B|A)?0.7?0.3?0.8?0.94. (1)P{仪器全部能出厂}?pn?0.94n;

n?2n?2n?2(2)P{恰有两台不能出厂}?Cnp(1?p)2?Cn0.94n?20.062;

(2)P{至少两台不能出厂}

11?1?[pn?Cn(1?p)pn?1]?1?0.94n?Cn0.06?0.94n?1.

9. 5个元件工作独立,每个元件正常工作的概率为p,求以下系统正常工作的概率.

(1)串联;(2)并联;(3)桥式连接(如图1.4.1).

解 设C为系统正常工作,利用独立性有

(1) 当元件串联时,需5个元件都正常工作,系统才能正常工作:

55P(C)?C5p?p5;

(2)当元件并联时,5个元件至少有一个正常工作,系统才能正常工作:

P(C)?1?(1?p)5;

(3)记中间的元件为A5,左面两个元件分别为A1,A3,右面两个元件为

A2,A4。当A5正常工作时,相当于A1,A3并联,与A2,A4并联电路再串联而得;当A5失效时,相当于A1,A2串联,与A3,A4串联电路进行并联而得.则

P(C)?P(A5)P(C|A5)?P(A5)P(C|A5).

P(C|A5)?P[(A1?A3)?(A2?A4)]?[1?(1?p)2]2; P(C|A5)?P[(A1A2)?(A3A4)]?1?(1?p2)2;

故 P(C)?P(5A)P(C5|A?)222 (pP|A)?[?12(1p?)?]?115(A)P(C5?)

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