概率论第二版第1、2章习题解答

18.6个人各带一把铁锹参加植树,休息时铁锹放在一起,休息后每人任取一把铁锹继续劳动,求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率.

解 设Ai={第i个人拿到自己的铁锹 },B={至少有一人拿对自己带来的铁锹 },则

P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2A3A4A5A6)?P(A1?A2?A?A4?A5?A6)

?1?1111191??????0.632. 2!3!4!5!6!14419.两艘轮船都要停靠同一泊位,它们可能在一昼夜的任意时间到达,设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时,求一艘轮船停靠泊位时,另一艘轮船需要等待的概率.

解 设x,y分别为甲,乙两船到达码头的时间,设A={一艘轮船停靠泊位时,另一艘轮船需要等待}.故样本空间??{(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}, A发生的等价条件为“x≤y≤x?1”或“y≤x≤y?2”, 令 D?{(x,y)(≤x≤y,?x?1)≤(y≤x?y2),x(?y,?) }则样本空间的面积 S??24?24?5, 7611且区域D的面积 SD?242??232??222?69.5,

22则 P(A)?SD?0.12.0 7 S?20.平面上画有间隔为d 的等距平行线,向平面任意投掷一枚长为l(l?d)的针,求针与平行线相交的概率.

解 以x表示从针的中点到最近一条平行线的距离,针与其所夹角为?,则

?d?样本空间???(x,?)0≤x≤,0≤?≤??,事件A={针与平行线相交}发生的等

2??

ll价条件“x≤sin?”,令D?{(x,?)x≤sin?,(x,?)??},

22则样本空间为边长分别为?及且区域D的面积 SD???0d?d的矩形,面积为 S??, 22lsin??d?l, 2则 P(A)?

SD2l. ?S??d习 题 1.3

1.某种动物的寿命在20年以上的概率为0.8,在25年以上的概率为0.4. 现有一该种动物的寿命已超过20年,求它能活到25年以上的概率.

B={该种动物的寿命超过20年},解 设A={该种动物能活到25年以上},

即A?B.已知 P(A)?0.4, P(B)?0.8.

?所求概率为 P(A|B)P(AB)P(A)??0..5 P(B)P(B)2. 在100件产品中有5件是次品,从中不放回地抽取3次,每次抽1件. 求第三次才取得次品的概率.

解 设Ai={第i次取到合格品},B ={第三次才取到次品},由乘法公式有

P(B)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?95945???0.0460. 10099983.有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,三厂产品中合格品率分别为95%、90%、85%,现从这批产品中随机抽取一件,求该产品为合格品的概率.

解 设A1={甲厂的产品},A2={乙厂的产品},A3={丙厂的产品},B={取到一件合格品}.即A1,A2,A3构成一个完备事件组.

则 P(B)?P(1A)P(B1|A?)5 ?0.5?0.9?P|A)2(A)P(B2?3 3P(A)P(B|A)0?.3?0.9?0.2?0..85

4. 一袋中有黄球10个,红球6个. 若不放回取球两次,每次取一球. 求下列事件的概率:(1)两次都取到黄球;(2)第二次才取到黄球;(3)第二次取到黄球.

解 设A1={第一次取到黄球},A2={第二次取到黄球},则

1093??; 161586101(2)P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)???;

16154(1)P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?(3)P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?1096105????. 1615161585. 一城市位于甲、乙两河的交汇处,若有一条河流泛滥,该市就会受灾,已知在某季节内,甲、乙两河泛滥的概率均为0.01,且当甲河泛滥时引起乙河泛滥的概率为0.5.求在此季节内该市受灾的概率.

解 设A={甲河泛滥 },B ={乙河泛滥 },由题意有

P(A)?0.01,P(B)?0.01,P(B|A)?0.5,

)?P(A)P(B|?A)则 P(AB0.0 .

在此季节内该市受灾的概率为

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.01?0.01?0.005?0.015.

6. 在下列条件下,求:P(A|B), P(B|A), P(AB), P(AB). (1)已知P(A)?0.4, P(B)?0.3, P(AB)?0.18 ; (2)已知P(A)?0.4, P(B)?0.3,且A,B互不相容.

解 (1)P(A|B)?P(AB)0.18P(AB)0.18??0.6,P(B|A)???0.45, P(B)0.3P(A)0.4

P(AB)?P(B)?P(AB)?0.3?0.18?0.12,

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]

?1?(0.4?0.3?0.18)?0.48.

(2)由于A,B互不相容,故P(AB)?0,所以

P(A|B)?P(AB)P(AB)?0,P(B|A)??0, P(B)P(A)P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)?0.3,

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)]?1?(0.4?0.3)?0.3.7. 某体育比赛采用五局三胜制,甲方在每一场比赛中胜乙方的概率是0.6(假定没有和局),求甲方最后取胜的概率.

解 比赛采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需要比赛三局,且最后一局必须是甲胜,而前面甲需要胜二局,例如,比赛三局,甲胜:甲甲甲;比赛四局,甲胜:甲乙甲甲,乙甲甲甲,甲甲乙甲;再由独立性,甲最终获胜的概率为

2323P(甲胜)=p3?C3p(1?p)?C4p(1?p)2

22?0.63?C30.63(1?0.6)?C40.63(1?0.6)2?0.6826.

8. 设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,有10件一等品,第二箱装30件,有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件,求:(1)取出的零件有一个为一等品的概率;(2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率.

解 设Ai={第i箱被挑中},i=1,2,P(A1)?P(A2)?的是一等品},j=1,2.

(1)取出的零件有一个为一等品的概率为

1;设Bj={第j次取出2

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