概率论第二版第1、2章习题解答

?1 1?. 所以Y?g(X)的概率分布为 ???0.5 0.5????8. 设X服从[a,b]上的均匀分布,证明?X??服从[a???,b???]上的均 匀分布.

?1,a≤x≤b;?证明 X的密度函数为fX(x)??b?a

?其它.?0,y??x??的反函数为x?h(y)?y???,h?(y)?1?.

由教材中定理2.6.1,Y??X??的密度函数

?y??1y??f()?,a≤≤b;?X fY(y)??????0,其它.?对??0,有

?1,a???≤y≤b???;? fY(y)???(b?a)?0,其它.?对??0,有

1?,b???≤y≤a???;? fY(y)????(b?a)?0,其它.?于是当??0时,Y??X??在区间Y?[a???,b???]上服从均匀分布,

当??0时,Y??X??在区间Y?[b???,a???]上服从均匀分布.

?f(x)?0, 0≤x≤?;10. 已知随机变量X的密度函数为fX(x)??

?0, 其它.求Y?sinX的密度函数fY(y).

解 由题设知X在[0,?]上取值,故Y?sinX在[0,1]上取值,故 当y?0或y?1时,fY(y)?0. 当0≤y≤1时,Y的分布函数为

FY(y)?P(Y≤y)?P(0≤Y≤y)

?P(0≤sinX≤y)?P{(0≤X≤arcsiny)?(??arcsiny≤X≤??? ?P(0≤X≤arcsiny)?P(??arcsiny≤X≤??

??arcsiny0f(x)dx?????arcsinyf(x)dx

故当0≤y≤1时,

fY(y)?FY?(y)?所以

11?y2f(arcsiny)?11?y2f(??arcsiny).

?1?f(arcsiny)?f(??arcsiny)??, 0≤y≤1;?2? fY(y)??1?y? 0, 其它.?

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