第7-1 库仑定律 电场 电场强度 一．填空题：
1．1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克粒子构成的，中子就是由一个带2e/3的上夸克和两个带－e/3的下夸克构成。将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为
?1510?20m），中子内的两个下夸克之间相距2.60?10m，则它们之间的斥力为3.78N。
2．有一边长为a的正六边形，六个顶点都放有电荷．试计算下列二种情形下，在六边形中点处的场强大小和和方向：（a） 0 ；（b）
+q +q +q (a) +q +q -q +q -q (b) +q +q +q +q q2??0a2 方向水平向右。
3．一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (d< E?qd8??0R23,方向指向缺口处。 二．选择题： 4．在坐标原点放一正电荷Q，它在P 点(1,0)产生的电场强度为E．现在，另外有一个负电荷?2Q，试问应将它放在什么位置才能使P 点的电场强度等于零？（ C ） y (A) x 轴上x>1 (C) x 轴上x<0 (E) y 轴上y<0 5．关于电场强度定义式E=F/q0，下列说法中哪个是正确的？（ B ） (A) 场强E的大小与试探电荷q0的大小成反比 (B) 对场中某点，试探电荷受力F与q0的比值不因q0而变 (C) 试探电荷受力F的方向就是场强E的方向 (D) 若场中某点不放试探电荷q0，则F＝０，从而E＝０ (E) 电荷在电场中某点受到的电场力很大，则该点的场强也一定很大 (B) x 轴上0 O +Q (1,0) P x 三．计算题： 6．长为l的细棒上均匀分布着线密度为?的电荷，求：在细棒的延长线上与棒右端相距为d处的场强。 解：如图以棒中点为原点建立坐标轴Ox，在离棒中点为x处的均匀带电细棒上取长为dx的电荷元,其带电量为dq??dx，dq在棒延长线上与棒的一端相距为d处的P点产生的场强大小为dE?dq?4??0(r?x)21?dxl4??0(?d?x)22，方向沿x轴正方向。 dx -l/2 O x r l/2 d P x 所以整根带电细棒在延长线上P点处产生的场强大小为 E??dE??l2l?2?dx14??0(?d?x)22??l4??0d(d?l)，场强方向沿x轴正方向。 7．两个电量均为+q的点电荷相距为2a，O为其连线的中点，试求在其中垂线上场强具有极大值的点与O点的距离。 ??解 如图，两个电量均为?q的点电荷在中垂线上任一点P处各自产生的场强E1、E2大小?yE相等，关于y轴对称。所以中垂线上任一点P处场强的大小为 ??E2E1qyE?E1cos??E2cos??2E1cos?? 223/2P2???(a?y)??dEdEq3qy2??0时，场强有极大值，????0 223/2225/2?qdydy2???(a?y)2???(a?y)由此解得两个电量均为?q的点电荷中垂线上场强具有极大值的点与O点的距离为 xO?qy??2qa，最大电场强度为EMax??j 223??0a 8．如图所示，一均匀带电细棒弯成半径为R的半圆，已知棒上的总电量为q，求半圆 圆心O点处的电场强度. 解：在半圆上取一线元dl，其带电量为dq??dl?qqRd??d?， ?R?y dl ?该电荷元dq在圆心处的场强为dE，其大小为 dqqd?dE??，则半圆圆心处的场强在Ox、Oy轴 4??0R24?2?0R2?q dEx x dEy? ?dE 上的分量分别为Ey?dEy????dEsin???2??2qd?sin??0 4?2?0R2Ex??dEx??dEcos???2??2qd?q, cos??22224??0R2??0R??所以半圆圆心O点处的电场强度为E?Exi? q2?2?0R2?i 第7-2 电场强度通量 高斯定理 一．填空题： 1．一电场强度为E的均匀电场，E的方向与沿x 轴正向，如图所示。则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 0 。 2．有一边长为a 的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2 处， 有一电荷为q 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量 为 E O x a a O a/2 q q。 6?0二．选择题： 3．一点电荷，放在球形高斯面的中心处．下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量会发生变化?（ B ） (A) 将另一点电荷放在高斯面外 (B) 将另一点电荷放进高斯面内 (C) 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内 (D) 将高斯面半径缩小 ??4．高斯定理?E?dS???dV/?0适用于以下何种情况？( A ) SV(A) 适用于任何静电场 (B) 只适用于真空中的静电场 (C) 只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场 (D) 只适用于可以找到合适的高斯面的静电场 三．计算题： 5．两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为?1和?2，且?1>?2，求两平面间电场强度的大小。 解：P为两个无限大均匀带正电的平行平面之间的任意一点，两无限大均匀带电平面在P点处各自产生的场强的大小分别为E1??1?、E2?2，方向相反，所2?02?0以两平面间的电场强度的大小为E?E1?E2? ?1??2 2?06．真空中面积为S、间距为d的两平行板(S忽略边缘效应，求两板间相互作用力的大小。 解：因Sd2 )，均匀带等量异号电荷 +q 和 - q， d2，忽略边缘效应，所以两带电平行板A、B可视为两无限大均匀带等量异号 电荷的平行板，带电平行板A两侧都是匀强电场，其场强大小E??q?，而带电平2?02S?0行板B处于平行板A所产生的匀强电场中，所以带电平行板B受到的电场力大小为 qqq2， F??Edq?E??dS?dS??S2S?0S2S?0q2同理可得带电平行板A受到的电场力大小为F? 2S?07．一内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳总电量为Q1，球壳外同心地罩一个半径为 R3的带电球面，球面带电为Q2。求：⑴ 场强E分布；⑵ 作E—r 曲线。（r为场点到球心 的距离） 解：（1）以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷分布呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而由高斯定理 ?E?dS?S?q ? E?4?r?02??q，可得E??q?04??0r2 r?R1时，高斯面内无电荷，?q?0，故E1?0 Q1Q1(r3?R13)433R1?r?R2时，高斯面内电荷?q?， ??(r?R1)?33334/3?(R2?R1)3R2?R1Q1(r3?R13)所以E2? 3324??0(R2?R1)rR2?r?R3时，高斯面内电荷?q?Q1，故E3?Q1/4???r2 r?R3时，高斯面内电荷?q?Q1?Q2，故E4?以上电场强度的方向均沿径矢方向。 (2) Q1?Q2 4??0r2第7-3 电势能 电势(积分法) 一．填空题： 1．在电场线分布如图所示的电场中，把一个负点电荷从A点移到B点，电势能将 减少 (填增加，减少或不变)；Ａ、Ｂ两点中 B 点电势较高。 AE????12．均匀静电场，电场强度E?(400i?600j)V?m，则 点a (3，2)和点b (1，0)之间的电势差Uab??2000V。 B二．选择题： 3．真空中产生电场的电荷分布确定以后，则：( C ) (A) 电场中各点的电势具有确定值 (B) 电荷在电场中各点的电势能具有确定值 (C) 电场中任意两点的电势差具有确定值 4．在静电场中下列叙述正确的是：( B ) (A) 电场强度沿电场线方向逐点减弱 (B) 电势沿电场线方向逐点降低 (C) 电荷在电场力作用下一定沿电场线运动 (D) 电势能一定沿电场线的方向逐点降低 5．如图示，直线MN长为2R，弧OCD是以N点为中心，R为半径的半圆弧，N点有正电荷+q，M点有负电荷-q。今将一试验电荷+q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功：（ D ） (A) W < 0 且为有限常量 (B) W > 0 且为有限常量 (C) W = ? (D) W = 0 -qMO+qNDPC 三．计算题： 6．电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试求球内、外的电势分布。 解: 因电荷Q的分布具有球对称性,所以球内外场强分布具有球对称性，可在球内、外作半径为r的同心球面为高斯面， ??由高斯定理?E?dS?S?q?0i?E?4?rQ2q??i?0 得:E??qi24??0r。 ，E1?r?R时（即球外） ?4??0r2，所以球外任意一点的电势 V??r???E1?dr??rQ4??0rQ43?R3dr?2Q4??0r ，?qi?r?R时（即球内） Qr43Qr3?r?3，故E2? 4??0R33R所以球内任意一点的电势为 V??Rr?R????E2?dr??E1?dr??Rr?QrQdr??R4??0r2dr 4??0R3Q(3R2?r2)(R?r)?? ? 334??R8??0R8??0R0Q22Q7．有两根半径都是R 的“无限长”直导线，彼此平行放置，两者轴线的距离是d(d≥2R)，沿轴线方向单位长度上分别带有＋λ和－λ的电荷，如图所示。设两带电导线之间的相互作用不影响它们的电荷分布，试求两导线间的电势差。 解：如图建立Ox轴，则由无限长均匀带电直导线的场强E? 可得P点（距离导线轴线为x处）的场强为 ?， ? 2??0ro . x?? P x?E???????di?i?i 2??0x2??0(d?x)2??0x(d?x)两导线间的电势差(取沿x轴正方向为积分路径)为 U?? d?RRE?dx??d?RREdx??d?RRd?R?11??d?R(?)dx?lnx?ln(d?x)??R?ln2??0xd?x2??0??0R第7-4 电势（叠加法） 场强与电势关系 一．填空题： 1．电荷分别为q1，q2，q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上， 如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R，则b点处的电势V＝ q2 O q1 q3 ?8??R102q1?q2?2q3。 ? b 2．半径为R的均匀带电细圆环，电荷线密度为?，则环心处的电势V=E= 0 。 ?，场强大小2?03．一“无限长”均匀带电直线，沿z轴放置，线外某区域的电势表达式为V＝Aln(x2+y2)， 22式中A为常数，该区域电场强度的两个分量为：Ex??2Ax(x?y)， Ey??2Ay(x2?y2)。 二．选择题： 4．下列各种说法中正确的是：（ B ） (A) 电场强度相等的地方电势一定相等 (B) 电势梯度较大的地方场强较大 (C) 带正电的导体电势一定为正 (D) 电势为零的导体一定不带电 5．关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的？（ C ） (A) 在电场中，场强为零的点，电势必为零 (B) 在电场中，电势为零的点，电场强度必为零 (C) 在电势不变的空间，场强处处为零 (D) 在场强不变的空间，电势处处相等 6．如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q、2q、3q．若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为：（ C ） (A) q23qQ 4??0a63qQ 4??0a (B) 43qQ 4??0a2qa .Oa (C) (D) 83qQ 4??0aa3q三．计算题： 7．电荷q均匀分布在长为2a的细棒上。⑴ 求棒的延长线上离棒的中点O为x的P点的电势；⑵ 由场强与电势关系求P点的场强。 解:（1）如图在离棒中点为l处的均匀带电细棒上取一线元dl,其带电量为 dqqdlq? dl，dq在P处产生的电势为dV?4??0(x ?l)8??0a(x?ld)l 2ap . . a -a O 所以整根带电细棒在P点处产生的电势 l x aqdlqx?a?ln V??dV?? ?a8??a(x?l)8??ax?a00dq??dl?x ????V??qx?a?q11?q（2）E?Ex?? i??(ln)i??(?)i?i?x?x8??0ax?a8??0ax?ax?a4??0(x2?a2)8．球壳的内半径为R1，外半径为R2，壳体内均匀带电，电荷体密度为? ，Ａ、Ｂ、Ｃ点分别与球心O相距为a、b、c，求：Ａ、Ｂ、Ｃ三点的电势与场强。 解：（1）作半径为r的同心球面为高斯面，由于电荷分布具有球对称性，电场强度分布也呈球对称性，高斯面上各点的电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而由高斯定理 ??E??dS?S?q?0i ? E?4?r2??q?0i 得:E??qi24??0r R2 A B O . . R1 C . 所以A、B、C三点的场强分别为 EA?0 ?(b3?R13)?(R23?R13)， EC? EB?3?0b23?0c2 电场强度沿径矢方向 （2）A、B、C三点的电势分别为 VA??0dr??aR1R2R133??(R?(r3?R13)?222?R1)?dr?dr?(R2?R1) 22?R2?03?0r3?0r2VB??R2b333??(R?(r3?R13)?R)2R?2221?dr??dr?(3R2?b?1) 22R6?0b3?0r3?0r2VC?? ?C?(R23?R13)?(R23?R13) ?dr?3?0r23?0c第8-1 静电场中的导体 一．填空题： 1．在带电量为Q的金属球壳内部，放入一个带电量为q的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为?q，外表面所带电量为Q?q。 2．将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的孤立导体附近，则导体内的电场强度 不变 ，导体的电势 减小 ，导体的电量 不变 （填增大、不变、减小）。 二．选择题： 3．将一个试验电荷q0(正电荷)放在带有负电荷的大导体外附近一点P处，测得它所受的力的大小为F，若考虑到电量q0不是足够小，则：( B ) (A) F/q0比P点处原先的场强数值小 (C)F/q0等于原先P点处场强的数值 (B) F/q0比P点处原先的场强数值大 (D)F/q0与P点处场强数值关系无法确定 三．计算题： 4．在半径为R的接地导体薄球壳附近与球心相距为d (d>R)的P点处，放一点电荷q，求球壳表面感应电荷q '及其在空腔内任一点的电势和场强。 解：球壳表面及其内部空间各点等电势,因为接地，电势为零。 ROdp对于球心，电势为0，故 ?dq'4??0R?q4??0d?0 所以，q'??dq'??qRdq(d?r) 4??0|(d?r)|3 空间电场由点电荷q和感应电荷q '这两部分电荷产生的电场叠加而成： 故空腔内r处感应电荷产生的电场E(r)?? 电势由点电荷q和感应电荷这两部分电荷产生的电势叠加而成： 故r处电场V(r)?? q 4??0|(d?r)|5．如图，两块相同的金属板A和B，面积均为S，平行放置，两板间距远小于金属板的线度，两板分别带电qA和qB，求两板四个表面的电荷密度。 解：静电平衡:E内?0 qA σ 1 q B σ 4 (?2??3)?s?????(?E??s?E??s??0)312??2??? ????????(?E?1?2?3?4?0)14内?2?2?2?2?? σ σ 2 3 A B ?qA?(?1??2)?s又??qB?(?3??4)?sq?qB??1??4?A2sq?q?2???3?AB2s6．证明静电平衡条件下，金属导体表面任意一点的电场垂直于该点的表面。 解： 如果电场不垂直于表面，则该电场有沿着表面切线方向的分量。导体中的自由电荷会在这分量的作用下沿着表面做定向移动，这破坏了平衡条件。 所以，静电平衡时候，金属表面的电场垂直于表面。 第8-2 静电场中的电介质、电位移、有电介质时的高斯定理 一．填空题： 1．两块平行带电平板间充满各向同性相对电容率为?r的均匀电介质.若两个极板带有异号等量的面密度为?的自由电荷，则介质中电位移的大小D=?，电场强度的大小E= ?。 ?0?r2．如图，在与电源连接的两块平行金属板间填入两种不同的均匀的电介质，则两种电介质中的场强 相等 ， 电位移 不相等 (填相等或不相等)。 ?r1?r2二．选择题： 3．半径为R的均匀带电介质球体，电荷体密度为ρ，电容率为?，则介质内半径为r处的点的场强大小为：（ A ） (A) ρr/(3?) (B)ρr2/(2?r) (C) ρr2/(2R) (D) ρ/(4r2?) 4．两块平行金属板两极板始终与一个输出电压一定的电源相连，当两极板间为真空时，电场强度为E0，电位移为D0，而当两极板间充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介 质时，电场强度为E，电位移为D，则：( B ) (A)E?E0/?r,D?D0 (B) E?E0,D??rD0 (D) E?E0,D?D0 (C)E?E0/?r,D?D0/?r 三．计算题： 5．在半径为a的金属球外有一层外半径为b 的同心均匀电介质球壳,电介质的相对电容率为?r,金属球带电Q, 求：⑴介质层内外的场强大小；⑵介质层内外的电势；⑶金属球的电势。 解： (1)E1? (2)V1?Q4??0rQ4??0rb,(r?b);2,?E2?Q4??0bQ4??0?rr2?QQ,(a?r?b)E3?0,(r?a) V2?11(?)4??0?rrb(3)V3??E2dr??E3dr?ab11Q(?)?4??0?rab4??0b6．在一半径为R1的长直导线外套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为?r，设沿轴线单位长度上导线的电荷线密度为?，试求介质层内的D,E,P。 解：在介质层内取半径为r ?R1?r?R2?，长为l的闭合圆柱面，由高斯定理 ?D?ds??qi得D?2?rl=?l?D? s?er2?r而E?D?0?r??er;2??0?rr P?D??0E??1???1??er。er沿径向与导线垂直. ??r?2?r 7．有一高压电器设备中用一块均匀的陶瓷片（ ?2?6.5）作为绝缘材料，其击穿场强为 107V/m，已知高压电在陶瓷片外空气中激发均匀电场，其场强E1 与陶瓷面法线夹角 ??300，大小为E1?2?104V/m．求陶瓷中的电位移D2 和场强E2,该结缘材料是否会 被击穿？ 解：如图中所示，设陶瓷内电位移的方向与法线成?2角： tg?2= ?r26.5tan?1=tan300?r11 0=6.5?0.5774=3.753D1=?1E1 n ?1 ?2?75.1 因为陶瓷表面没有自由电荷，所以在法线方向电位移连续 D1cos?1?D2cos?2 小于击穿场强，所以陶瓷不会被击穿。 D2?D1cos?1cos300??1E1cos?2cos75.100.8660.258空气?1 陶瓷?2 ?2 D2=?2E2 ?1?8.85?10-12?2.0?104??5.95?10-7C/m2 第8-3 电容、电容器；静电场的能量、能量密度 一．填空题： 1．一平行板电容器，两极板间电压为U12，其间充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质，电介质厚度为d，则电介质中的电场能量密度w= 1?0?r(U12/d)2。 222．半径为R的孤立导体球，带电量为2Q，其电场能量为Q电量为Q的孤立导体球的电场能量为Q2(2??0R)；半径为R/4，带 (2??0R)。 3．一平行平板电容器被一电源充电后，即将电源断开，然后将一厚度为两极板间距一半的金属板放在两极板之间，则下列各量的变化情况为：⑴电容 增大 ；⑵极板上面电荷 不变 ；⑶极板间的电势差 减小 ；⑷极板间的场强 不变 。（增大、减小、不变） 二．选择题： 4．极板间为真空的平行板电容充电后与电源断开，今将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列几种说法中正确的是：（ D ） (A)极板上的自由电荷面密度增加 (B)电容器的电容增大 (D)电容器两板间电势差增大 (C)电容器两极板间场强的大小减小 三．计算题： 5．两根长l半径?的平行直导线距离为a,且???a,a??l, 求这两根直导线构成的电容器的电容。 解：如图建立坐标系，设p点坐标为x，设单位长度导线带电量?，系统带电q??l。p点 x处的电场E(x)?a1q1? ??x?a??, 故两直导线之间的电势差： 2??0lx2??0la?xaqU??E(x)dx??(??1q1?)dx2??0lx2??0la?xqaq ?11(?)dx2??0l?xa?x?q ???0llna?l??0qqa?q/(ln())? U??0l?ln(a/?)根据电容器电容的定义，C?6．一平行板电容器极板面积为S，厚度为d，均等分为左右各一半，如图.左半部体积内充有电容率为?1的介质，右半体积内充有电容率为?2的介质，求该电容器的电容。 解：该电容器可看成左右两个电容并联。 SS?1?2S(???)12 C?C左?C右=2+2 =dd2d7．两个同轴的圆柱，长度都是L，半径分别为R1与R2 (L>>R1,R2)，这两个圆柱带有等值 异号电荷Q，两圆柱之间充满电容率为?的电介质，忽略边缘效应。⑴ 求这个圆柱形电容器的电容；⑵ 求与圆柱轴线垂直距离为r（R1 < r < R2）处一点P的电场能量密度； ⑶ 求电介质中的总电场能量。 解： 由高斯定理，r处的电场强度E(r)?R2Q， 2??rLR2R1 R2 （1）故两圆柱的电势差U?R1?E(r)dr?QQR2 dr?ln?2??rL2??LR1R1r 故C?Q2??L? RUln2R112Q2Q（2）因为E(r)?，所以，wE??E(r)? 28?2?r2L22??rLQ2?rLdrQ2R2（3）总能量W??wE2?rLdr?? ?ln2224??rL4??LR1R1R18．在点A和点B之间有五个电容器，其连接图如图所示（电容 R2R2值已标出，单位为?F）。⑴ 求A,B之间的等效电容； ⑵ 若A、B之间的电势差为12V,求UAC，UCD，UDB。 解：（1）依题意，A,B之间的电容满足 1111???, CABCACCCDCDB而CAC?4?8?12，CCD?6?2?8，CDB?24， 故 11111111???????，CAB?4?F CABCACCCDCDB128244?6（2）Q?UABCAB?12?4?10?4.8?10C，故：UAC?5Q4.8?10?5???4V， ?6CAC12?10UCDQ4.8?10?5Q4.8?10?5???6V，UDB???2V CCD8?10?6CDB24?10?6第9-1 毕奥—萨伐尔定律 一．选择题： 1．一根载有电流I的无限长直导线，在A处弯成半径为R的圆形，由于导线外有绝缘层，在A处两导线靠得很近但不短路，则在圆心处磁感应强度B的大小为：( C ) (A) (?0+1)I/(2?R) (C) ?0I(-1+?)/(2?R) (B) ?0I/(2?R) (D) ?0I(1+?)/(4?R) I O I A R I O R h 2．将半径为R的无限长导体薄壁管(厚度忽略) 沿轴向割去一宽度为h(h< i(A) ?0ih/2?R (C) i?0h/4?R 二、计算题： (B) 0 O ’(D) i?0h 3．载有电流为I的无限长导线，弯成如图形状，其中一段是半径为R的半圆，则圆心处的磁感应强度B的大小为多少？ 解： 选 为正方向 1 B?B1?B2?B3 3 ????R R 2 I O ??I(1?2), B1??4?R??I??I2B??, B3? 24R4?R2 ??IB?(??2?1) ? 4?R 4．用相同的导线组成的一导电回路，由半径为R的圆周及距圆心为R/2的一直导线组成(如图)，若直导线上一电源?，且通过电流为I，求圆心Ｏ处的磁感应强度。 解 设大圆弧的电流为I1,小圆弧的电流为I2,则I1?I2?I，选 为正方向 ol1???I?1??S 根据电阻定律有????I?l22?S? 可得:I1l1?I2l2 RO R/2o??0I1l1，方向为 4?R?Il 小圆弧电流在圆心处O产生的磁感应强度:大小为B2?022，方向为? 4?R 大圆弧电流在圆心处O产生的磁感应强度:大小为B1? 直导线电流在圆心处O产生的磁感应强度: 大小为B3?3?0I?5?cos?cos??，方向为?R?66?2?R4??2?0I? 所以,总电流在圆心处O产生的磁感应强度:B?B1?B2?B3， 大小为:B?3?0I,方向为2?R 5．如图，两线圈共轴，半径分别为R1和R2，电流分别为I1 和I2 ,电流方向相同，两圆心相距2 b,联线的中点为O 。求轴线上距O 为x 处P 点的磁感应强度B。如果电流方向相反，情形又如何？ 2 b R1 I1 x O P R2 ?I2 解：B?B1?B2 2?0I1R12I2R2 B? ?223222322[R1?(b?x)]2[R2?(b?x)]?0方向沿着X轴正向 电流方向相反，情形如何？ ?? 若I1与I2方向相反，则B1与B2方向也相反， B?B1?B2、 2?0I1R12I2R2 B? ?22[R12?(b?x)2]322[R2?(b?x)2]32?0 第9-2 磁场的高斯定理 安培环路定理 一．选择题： 1．均匀磁场的磁感强度B垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S 面的磁通量的大小为：（ B ） (A) 2?rB 2(B) ?rB 2 (C) 0 (D) 无法确定的量 2．如图，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I，则下述各式中哪一个是正确的？（ D ） ??(A) ?B?dl?2I?0 ??(C) ?B?dl???0I L3L1??(B) ?B?dl??0I L2??(D) ?B?dl???0I L4二．填空题： ??3．在安培环路定理?B?dl=?0?Ii中，?Ii是指闭合曲线所包围的所有电流代数和， Lii ? B是指闭合线L上各点的磁感应强度，它是由L内、外电流共同决定的。 4．如图，在无限长直载流导线的右侧同一平面内，通过面积为S1、S2两个矩形回路的磁通量之比为： 1:1 。 5．真空中毕一萨定律表达式dB?IaS1aS2 2a?0Idl?r?；稳恒磁场的安培环路定理的表达式4?r3?B?dl???I0li； 磁场的高斯定理表达式 ?B?ds?0；安培环路定理说明磁场是涡旋 s场；磁场的高斯定理说明磁场是无源场。 三．计算题： 6．高压输电线在地面上空25m 处，通过电流为1.8?10A 。⑴ 求在地面上由这电流所产生的磁感应强度多大？⑵ 在上述地区，地磁场为0.6?10磁场相比如何？ ?43T，问输电线产生的磁场与地 ?0I4??10?7?1.8?103??1.4?10?5T 解：(1)B?2?r2??25?5?4 (2)B/BE?1.4?10/(0.6?10)?0.24 7．如图，电流I均匀地自下而上通过宽度为a的无限长导体薄平板，求薄板所在平面上距板的一边为d的P点的磁感应强度。 解：建立坐标系，如图所示，考虑在x处，取长度为dx的小窄条电流， 则其电流大小为 dI?Idx aI o d 在P点激发的磁感应强度的大小为 P dB?2??a?d?x??0dI?2?a?a?d?x??0Idx x a 方向 ? 所有小窄条电流在P点激发的磁场方向都是同方向的， 则所有电流在P点的激发的磁感应强度的大小为 B?dB???a02?a?a?d?x??0Idx??0Id?aln 2?ad 方向为 ? 8．如图单层线圈均匀密绕在截面为长方形的整个木环上，共有N匝，求流入电流I后，环内的磁感应强度分布和截面上的磁通量。 I 解： (1)由安培环路定律, 根据对称性有 ?B?dl?B2?r??IN 0l h D1D2?0NI ?B?2?r (2)磁通???Bds??Bhdr?0INhD2dr?2??D/2r?0INhD221 ?第9-3 洛伦兹力 安培力 一．选择题： 1．下列说法中正确的是：( AD ) 2?lnD1(A)带电粒子垂直射入匀强磁场时，若其运动轨道是圆，则圆周运动的周期与入射速度无关； (B)带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的周期与磁感应强度无关； (C)由圆线圈中电流在线圈中心激发的磁感应强度大小与线圈半径无关； (D)一无限长直通电导线通过一圆平面的圆心，通过圆平面的磁通量与平面的法向无关。 2．如图所示，真空中电流元I1dl1在原点O处，沿x轴正方向放置，电流元I2dl2在z轴上，沿z轴正方向放置，两者相距为r，假设电流元1对电流元2的作用力为d f1，电流元2对电流元1的作用力为d f2。则：（ D ） y ??(A) df1?df2 (B) df1?df2 ?Idl(C) df1?0,df2?0121I2dl2 4?rO I1 d l1 x z I2 d l2 (D) df1??0I1dl1I2dl2,df2?0 4?r2二．填空题： 3．从太阳射来的速度为0.80?108m/s的电子进入地球赤道上空高层范艾伦辐射带中，该处磁场为4.0?10?7T，此电子回转轨道半径为1.1?103m；若电子沿地球磁场的磁感线旋进到地磁北极附近，地磁北极附近磁场为2.0?10?5T，其轨道半径为 23 m 。 三．计算题： 4．如图一无限长直导线通以电流I1，与一个电流I2的矩形刚性载流线圈共面，设长直导线固定不动，求矩形线圈受到的磁力大小，问它将向何方向运动。 解：建立坐标系：向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，垂直纸面向外为z 轴正方向，则电流I1产生的磁场为：B???0I1k 2?x A D I1 I2 E h B F C r b ?0I1I2h??0I1?F?Ihj??k??i 电流CD段受力为：CD2??2?r?2?r?同理：电流EF段受力为：F电流DE段受力：Fr?bEF???0I1?0I1I2h ??I2hj???k???2??r?b??2??r?b?i????0I1??0I1I2?r?b? Idxi?k??In?2?j??DE?2?x2?r????rr?b? 同理：电流FC段受力为：F???0I1I2In???jFC2?r???总的磁力为F?FCD?FEF?FDE?FFC线圈将向左运动 ??0I1I2h?0I1I2h??0I1I2h11???i?(?)i ??2??r?b??2?r2?r?br??5．如图相距2a的两条竖直放置的载流长直导线，电流强度均为I，方向相反．长为2b，质量为m的金属棒MN位于两直导线正中间，且在同一平面内，欲使MN处于平衡状态，求MN中的电流强度以及电流流向。 解：由于金属棒受重力，那么可以判断电流方向为M?N I M 2a 2b N I?I?0I建立坐标系，两电流产生的磁感强度大小为B?0? 2?x2?(2a?x)金属棒所受安培力大小为 F??dF??a?ba?b?0I?1?0II??a?b?1???Idx?In???? 2??x2a?x??a?b?? 由F=mg，可得I???mg?a?b??0IIn???a?b? 6．如图在载流为I1的长直导线旁，共面放置一载流为I2的等腰直角三角形，线圈abc，腰长ab = ac = L，边长ab平行于长直导线，相距L ，求线圈各边受的磁力F。 解 建立坐标系：电流I1产生的磁感强度B?? 边ab受力：Fab??0I1k 2?x??L0L?II??I?I2dyj?B??I2dyj???01k???012i 02??2?L? 边ac受力：Fac?2LL?I2dxi?B??2LL?0I1I2In?2???0I1??I2dxi???k???j 2?x2????II?II??I?Fbc??I2dxi?dyj???01k???012dxj??012dyi2?x2?x?2?x? 边bc受力： 2LL?IIIn?2??0I1I2In?2??II?0I1I2 ??012dxj??dyi?012i?j2?x2??2L?y?2?2?L0?? 简单解法：F1??0I1?III2L?012， 2?L2?2L?I?II01 F2??I2dx?012ln2 L2?x2? F3? bI1I2 aLc?2LL?I2?0I1I2201I2dx?ln2 2?x2? 第9-4 磁场对载流线圈的作用（力矩） 磁介质 一．选择题： 1．在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A1 = 2 A2，通有电流I1 = 2 I2，它们所受的最大磁力矩之比M1 / M2 等于( C ) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1/4 2．一段长为L的导线被弯成一个单匝圆形线圈，通过此线圈的电流为I，线圈放在磁感应线与线圈平面平行的均匀磁场B中，则作用在线圈上的力矩是：( D ) (A) B I L2 / 4 (B) 2B I L/ 8 2 (C) B I L2 / 8 (D) B I L2 / (4? ) 3．对铁磁质加温使其熔化，则变为( A ) (A) 顺磁质 (B) 抗磁质 (C) 仍为铁磁质 (D) 视熔化后温度而定,上述三者均有可能 二．填空题： 4．从微观分子角度看磁性的来源，产生顺磁是 分子磁矩（分子磁矩受到外磁场作用沿外磁场方向排列引起的） ，抗磁是 附加磁矩（电子运动受到外磁场作用产生的附加磁矩，与外场方向相反） ，铁磁质是 磁畴（铁磁质内部形成的一些微小的自发磁化区域，是电子间因自旋引起的强相互作用引起的）。 5．如图所示为三种不同铁磁质的磁滞回线，若要制造电磁铁，应选用图 A 所示材料最为合适，若要制造永磁体，应选用图 B 所示材料最为合适。 (A) (B) (C) 三．计算题： 6．一面积为S的平面线圈，载有电流置于磁感强度为B的均匀磁场中，将线圈从力矩最 ?大位置转过α角。⑴ 求在此过程中力矩做的功A；⑵ 转角为α时线圈所受的磁力矩M。 解：(1)线圈受磁场的力矩为M?m?B，大小为M?mBsin?， 当???1??2过程中，力矩做的功为 A?????21Md???ISBsin?d??ISB(cos?2?cos?1) ?1?2 所以，当????(??)，A?ISBsin? 22? (2) M?mBsin??ISBsin(?2??)?ISBcos? 7．一根长直同轴电缆，内外导体之间充满磁介质，如图所示，磁介质相对磁导率为?r (?r<1)，导体的磁化可忽略。沿轴向有稳恒电流I通过电缆，内外导体上电流方向相反。求空间各区域内的磁场强度和磁感应强度。 解：由介质中的安培环路定理Hdl?l ??Ii i?r R1 R2 对r?R1:有2?rH1??0IrIIr2?r?H?,M?0,B?11122?R122?R12?R1II,M2?(ur?1)2?r2?rR3 对R1?r?R2:有2?rH2?I?H2?B2??H2??0?rI2?rIR3?r2对R2?r?R3:有H3?222?rR3?R2?0IR32?r2B3?222?rR3?R2对r?R3:有H4?0,M4?0??????2??,M3?0第10-1 电磁感应定律 动生电动势 一．选择题： 1．如图两个导体回路平行，共轴相对放置，相距为D，若沿图中箭头所示的方向观察到大回路中突然建立了一个顺时针方向的电流时，小回路的感应电流方向和所受到的力的性质是：( C ) (A) 顺时针方向，斥力 (B) 顺时针方向，吸力 (C) 逆时针方向，斥力 (D) 逆时针方向，吸力 2．如图一载流螺线管竖直放置，另一金属环从螺线管端上方沿管轴自由落下，设下落过程中圆面始终保持水平，则圆环在图中A、B、C三处的加速度大小关系为：( B ) (A) aA>aB>aC (B) aB>aA>aC (C) aC>aA>aB (D) aC>aB>aA 3．如图一矩形导体线圈放在均匀磁场中，磁场方向垂直于线圈平面向里，a、b分别为线圈上下短边上的两个点，当线圈以速度v垂直于磁场方向向右运动时，则：( B ) (A) ab两点无电势差，线圈内无电流。 (B) ab两点有电势差，且va>vb，线圈内无电流。 (C) ab两点有电势差，且vb>va，线圈内有电流。 (D) ab两点有电势差，且vb>va，线圈内无电流。 × × × × ×× × × × ×× × × × ×× × × × ×× × × × ×B× × × × ×ABCavb二．填空题： 4．桌子上水平放置一个半径 r = 10 cm 的金属圆环，其电阻 R = 2Ω，地球磁场磁感强度的竖直分量为5×10-5 T，若将环面翻转180°，沿环流过任一横截面的电荷q= ??2?r2B??1.57?10?6C。 RR5．半径为 r 的小绝缘圆环，置于半径为 R 的大导线圆环中心，二者在同一平面内，且 r << R。在大导线环中通有正弦电流（取逆时针方向为正）I = I0 sinωt，其中ω、I0 为常数，t 为时间，则任一时刻小线环中感应电动势（取逆时针方向为正）为 ?0?r2I0?2Rcos(?t)。 三．计算题： 6．有一测量磁感强度的线圈，其截面积S = 4.0 cm2，匝数N = 160匝，电阻R = 50Ω。线圈与一内阻Ri＝30Ω的冲击电流计相连，若开始时线圈的平面与均匀磁场的磁感应强度B相垂直，然后线圈的平面很快地转到与B的方向平行，此时从冲击电流计中测得电荷值q = 4.0×10C。问此均匀磁场的磁感强度B的值为多少？ -5 Nd?， dtdq又有|?|?I(R?Ri)?(R?Ri)， dt解：由法拉第电磁感应定律???结合①②得：N???(R?Ri)?q， 由题意，???BS， ④ ② ③ ① (R?Ri)?q(50?30)?4.0?10?5结合③④得：B???0.05(T) ?4NS160?4.0?107．如图一个边长为a的正方形线圈与一长直导线位于同一平面内，长直导线通以电流 I=I0 sin ? t (式中I0、?为常数)，求方形线圈中感应电动势。 (图中箭头表示电流的正方向) 解：如图建立Ox轴，在x处取dx窄条，则x处 B??0I，d??B?a?dx 2?xO B x dx x a?d所以，线圈中的磁通量为 ???d?0Ia?Iaa?ddx?0ln()， 2?x2?dI d 线圈中的感应电动势为 ????I?aa?dd???00ln()cos(?t)， dt2?da 正方向为顺时针方向，如图所示。 第10-2 动生电动势、感生电动势 一．选择题： 1．在下列描述中正确的是：( B ) (A) 感生电场和静电场一样，属于无旋场； (B) 感生电场和静电场的共同点，就是对场中的电荷具有作用力； (C) 因为感生电场对电荷具有类似于静电场对电荷的作用力，所以在感生电场中也可类似 于静电场一样引入电势； (D) 感生电场和静电场一样，能脱离电荷而单独存在. 2．用导线围成的回路(两个以O点为圆心半径不同的同心圆，在一处用导线沿半径方向相连)，放在轴线通过O点的圆柱形(虚线)均匀磁场中，回路平面垂直于柱轴，如图所示. 如磁场方向垂直图面向里，其大小随时间而减小，则(A)→(D)各图中哪个图上正确表示了感应电流的流向？( B ) B? ·O O (A) ·O O (B) ·O O (C) ·O O (D) 二．填空题： 3．如图所示，一导线构成一正方形线圈然后对折，并使其平面垂直置于均 ?匀磁场B。当线圈的一半不动，另一半以角速度ω张开时（线圈边长为2 r）， 线圈中感应电动势的大小ε＝2B?rsin?。(设此时的张角为θ，见图) 4．如图所示柱形空间有均匀磁场，磁感应强度为B，在不同半径r a、r b （r a< r b）处放置两个大小相等的小环a和b，环轴与柱轴平行，当B以速度dB / d t增加时，两环处的感生电场的比值 E a / E b =ra:rb，两环内的感生电动势的比值 ?a?b2a O b = 1 : 1 。 三．计算题： 5．如图所示，一根长为 L 的金属细杆 ab 绕竖直轴 O1O2 以角速度ω在水平面内旋转。O1O2 在离细杆 a 端 L/5 处。若已知地磁场在竖直方向的分量为B。求 ab 两端间的电势差 U a ?U b 。 解 在杆上距离转轴x处取dx宽的一小段，则其动生电动势为 d??B??x?dx， 所以?ob??4L50B??x?dx?8B?L2，方向为o→b， 251B?L2，方向为o→a， 50同理有?oa??L50B??x?dx?由此，Ua?Ub??oa??ob?? 3B?L2。 106．如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈， 以匀速度v沿垂直于导线的方向离开导线。设t = 0时，线圈位于图示位置，求：⑴ 在任意时刻t 通过矩形线圈的磁通量Φ；⑵ 在图示位置时矩形线圈中的电动势ε。 解 ⑴在线圈中距离长直导线x处取dx宽的窄条，则B? d??B?l?dx， 所以????0I， 2?x?b??ta??t?0Il?Ilb??tdx?0ln； 2?x2?a??t⑵由法拉第电磁感应定律????Il??d??????0?? ?dt2??b??ta??t?? t=0时，???0Il(b?a)， 2?ab 可见??0，所以电动势方向与B成右手螺旋关系，即为顺时针方向。 第10-3 自感、互感、磁场能量 一．选择题： 1．在一自感线圈中通过的电流I随时间t的变化规律如图(a) 所示，若以I的正向作为? 的正方向，则代表线圈内自感电动势 I ( O a) t ? 随时间t变化应为下图中的： ( D ) ?O(A)?tO(B)t εO（C)εtO（D） t二．填空题： 2．要使两个平面线圈相距很近，又要使它们之间的互感系数为最小，两线圈应怎样安放置？ 轴线相互垂直（平面线圈1的中心垂直轴与线圈2的平面共面） 。 3．真空中两条相距2a的平行长直导线, 通以方向相同、大小相等的电流Ｉ，Ｏ、Ｐ两点与两导线在同一平面内，与导线的距离如图所 ·P。II·O。aaa2?0I2示，则Ｏ点的磁场能量密度为 0 ，Ｐ点的磁场能量密度为。 229?a4．一无铁芯的长直螺线管，在保持其半径和总匝数不变的情况下，把螺线管拉长一些，则它的自感系数将 变小 。（填“变大”、“变小”或“不变”） 5．自感系数L =0.2 H的螺线管中通以I = 4 A的电流时，螺线管存储的磁场能量W= 1.6J 。 三．计算题： 6．截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L。 解 由安培环路定律可知，当通以电流I时，环内磁感强度为B??0NI2?rR2 R1 h (R1?r?R2)， 所以其自感磁通链数为 ?0N2I?m?N??2??R2R1hdr?0N2IhR2?ln r2?R1所以，该螺绕环当自感为 ?m?0N2hR2L??ln I2?R1 7．同轴电缆由半径为R1的实心圆柱导体(称为芯线)和半径为R2 (R2>R1)的同轴薄圆筒导体组成，电流从芯线的一端流入，由外筒流回，芯线与外筒间充满相对磁导率为? r的均匀磁介质，用磁能方法求长b的一段电缆的自感(芯线内部的磁通量可忽略)。 解：设通电流I，由安培环路定理，在距离轴线r处的磁场分布为 b R1(r?R1)?B1?0??0?rI?(R1?r?R2) ?B2?2?r?(r?R2)??B3?0可的磁能为：Wm?R2?R2R12?0?rI2bR2dr?0?rI2bR21B2 2?r?b?dr??ln?R12?0?r4?r4?R1由Wm? 2W??bR12LI，所以L?2m?0rln2 2?R1I2第11-1 振动 一．填空题： 1．为了测得一物体的质量m，将其挂到一弹簧上，并让其自由振动，测得振动频率v1=1.0Hz；若再将另一个质量m2=0.5kg的物体单独挂在该弹簧上，测得振动频率v2=2.0Hz，则被测物体的质量m= 2.0 kg。（设振动均在弹簧弹性限度内进行） 2．如图为以余弦函数表示的简谐运动的振动曲线，则其初相?=??3或5?3，P时刻的相位为0或2?。 x(m) P 2 1 O t(s) 二．选择题： 3．下列表述中正确的是： ( D ) (A) 物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐振动。 (B) 质点受回复力（恒指向平衡位置的作用力）作用，则该质点一定作简谐振动。 (C) 拍皮球的运动是简谐振动 d2Q??2Q?0，则该物理量按简谐振动的(D) 某物理量Q随时间t的变化满足微分方程2dt规律变化（?由系统本身的性质决定）。 4．一质点沿x轴作简谐运动，运动方程为 x＝4×10-2 cos(2?t?1?) (SI) ，从t＝0时刻3起，到质点位置在x＝－２cm处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为： （ C ） (A) 1/8 s (B) 1/4 s (C) 1/2 s (D) 1/3 s (E) 1/6 s ５．一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为A/2，且向x轴的正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量图为：（ B ） (A)(B) AO A/2 Ax x-A/2 Ax -A/2OxO A/2O(C) A (D)三．计算题： 6．作简谐运动的小球，速度最大值vm=3㎝/s，振幅A＝2㎝。若从速度为正的最大值的某时某刻开始计时，求：⑴振动周期；⑵加速度的最大值；⑶振动表达式。 解：⑴由?m?A?，得???mA?32?4?rad/s，所以T??s； 2?3x 22⑵由am?A??4.5cm/s ⑶由题意可得初识时刻的旋转矢量图如右所示， 可见????23?x?2cos(t?)(cm) 22，所以振动表达式为 A 7．某振动质点的x-t 曲线如图所示，试求：⑴ 运动方程；⑵ 点P对应的相位；⑶ 到达点P相应位置所需时间。 解 ⑴从振动曲线看出A = 0.10 m t=0时，旋转矢量图如右，可见??x(m) 0.10 0.05 O -0.10 P 5.6 t(s) ?33?又t=5.6s时的旋转矢量图，可见?t? 2由?t??t??，所以??所以x?0.10cos( ⑵?P?? ⑶由?????t，所以?t? ?t??t?5? 24A0 x 5??t?)(m) 243?????P???3.2 s ? 第11-2 振动的合成、能量 一．填空题： 1．有两个同方向的谐振动分别为x1=4cos(3t +π/4) cm，x2=3cos(3t - 3π/4) cm，则合振动的振幅为 1cm ，初相为 π/4 。 2．一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，已知其中一个分振动的方程为： x1=4cos(3t) cm，其合振动的方程为：x=4cos(3t+π/3) cm，则另一个分振动的振幅为 A2= 4cm ，初相?2= 2π/3 。 3．为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地球上的“秒摆”（周期为2.00s），拿到月球上去，如测得周期为4.90s，则月球表面的重力加速度约为 8/4.9 =1.63 m/s 。（取地球表面的重力加速度gE = 9.80 m . s -2） 4．当质点以频率v作简谐运动时，它的动能的变化频率为 2v 。 2 二．选择题： 5．右图表示两个同方向、同频率的谐振动的振动曲线，则它们合振动的初相 ? 为：( A ) (A) ? = 0 (B) ? =π/2 (C) ? =π (D) ? =π/4 y(m) 1 0.5 O -0.5 -1 t(s) 6．两个不同的轻质弹簧分别挂上质量相同的物体1和2，若它们的振幅之比A2/A1 = 2/1，周期之比T2/T1 = 2/1，则它们的总振动能量之比E2/E1是：( A ) (A) 1:1 (B) 1:4 (C) 4:1 (D) 2:1 三．计算题： 7．有两个同方向、同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.20 m，相位与第一振动的相差为 ? / 6，已知第一振动的振幅为0.173 m，求第二振动的振幅以及第一、第二两振动之间的相差。 解 如图，用余弦定理 A2?A1?A2?2A1Acos?6?0.1(m) 2A=0.20m A2 ?=π/6 A1=0.173m θ cos??A?A1?A2?0????2， 2A1A2222即相差为???? ?2 8．质量为0.10 kg的物体，以振幅1.0×10 -2 m作简谐运动，其最大加速度为4.0 m . s -2。求：⑴ 振动的周期；⑵ 物体通过平衡位置时的总能量与动能；⑶ 物体在何处其动能与势能相等？⑷ 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？ 2解 ⑴由am?A?，得??am2???s； ?20rad/s，所以T??10A11m?2A2?mamA?3?10?3J； 2211222222⑶由EP?m?Acos(?t??)Ek?m?Asin(?t??)，要使Ek?Ep， 22⑵在平衡位置E?Ek?22必有cos(?t??)?sin(?t??)?0.5，所以cos(?t??)??2， 2则x??2A??0.71?10?2m； 2?t??)?⑷由题意有cos(亦即EP? 1132，则有cos(?t??)?sin2(?t??)?， 2441E4Ek?3E 4第12-1 平面简谐波 一．填空题： 1．如图是沿x轴正向传播的平面简谐纵波在某时刻的波形图，质点的位移由x轴逆时针方向旋转 π/ 2的y坐标来表示，则在该时刻媒质质点O，a，b，c，d中运动方向向右的是 b，c ，运动方向向左的是 O，a，d 。 2．位于原点的波源产生的平面波以u = 10 m / s的波速沿x轴正方向传播，使得x=10 m处的P点振动规律为 y = 0.05 cos (2 ? t - ? / 2 )，该平面波的波动方程为： y a O b c d x y?0.05cos?2?(t?x10)?3?2?。 3．已知一平面简谐波的波动方程为y = 0.1 cos (3 t-6 x) m，则周期是2?2 m的两点间相差是 12rad 。 3s，波线上相距y 二．选择题： 4．图中曲线表示t=0时刻正行波的波形图，0点的振动初相是：( A ) (A) -π/ 2 (B) 0 (C) π/ 2 (D) π u t = 0 x O 三．计算题： 5．已知波源在原点（x = 0）的平面谐波的方程为y = A cos ( B t - C x )，式中A、B、C为正值恒量，试求：⑴ 波的振幅、波速、频率、周期与波长；⑵ 写出传播方向上距离波源L处一点的振动方程；⑶ 试求任何时刻，在波传播方向上相距为D的两点的相差。 解： （1） 振幅：A；波速：u??v?BC；频率：?=B2?；周期：T?2?B；波长： ??2?C。 （2） y?Acos(Bt?CL) （3） ???C?D 6．已知平面余弦波波源的振动周期T=0.5 s，所激起的波长为? = 10 m，振幅为0.1 m，当t = 0时，波源处振动的位移恰为正方向最大值，取波源为原点并设波沿 + x方向传播，求：⑴ 此波的方程； ⑵ 沿波传播方向距离波源为?/2处的振动方程；⑶ 当t = T / 4时波源和距离波源为 ? / 2的点离开平衡位置的位移；⑷ 当t = T / 4时，距离波源? / 4处质点的振动速度。 解：（1）由旋转矢量法可以初相位：??0 则此波动方程为y?0.1cos?2???2???t?x????0.1cos?4?t??5?T???x?m ? （2）振动方程：y?0.1cos?4?t??????5??0.1cos?4?t???m 5? （3）x?0：y?0.1cos?4???0.5????0??0 45?0.5?10?????0 452? x??2：y?0.1cos?4??? （4）v??y????0.1?4?sin?4?t??t5????x???0.4sin?4?t?5???x?m ?s x??4, t??T?：v??0.4sin?4?t?54???0.5?10?x???0.4sin?4?????0 454???7．如图所示是一平面余弦波在t = 0.25 s时刻的波形图，波速为u = 40 m/s，沿x的正方向传播，写出此波的波动方程。 解：从图可得：A?0.1m, u?40m/s, ??40m 有T??u?1s, ??2?T?2? 设波动方程为y?0.1cos?2?t? 对o点用旋转矢量法分析可得： 2??0.25?y(m) 0.1 u x(m) O -0.1 10 30 40 ???x??? 20???20?0??????2，即得??0 波动方程为：y?0.1cos?2?t??x?m 20??第12-2 波函数的物理意义 波的能量 一．选择题： 1．一列机械横波在t时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能量最大值的媒质质元的位置是：( B ) (A) O’，b，d，f (B) a，c，e，g (C) O’，d (D) b，f 2．当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？( D ) (A) 媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒。 (B) 媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同。 (C) 媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不相等。 (D) 媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。 3．一平面简谐波沿x轴负方向传播。已知x= x0处质点的振动方程为y?Acos(?t??0)。若波速为u，则此波的表达式为( A ) y(m) O’ a b c d e u O g x(m) f ?[t?(x0?x)/u]??0} (A) y?Acos{(B) y?Acos{?[t?(x?x0)/u]??0} (C) y?Acos{?t?[(x0?x)/u]??0} (D) y?Acos{?t?[(x0?x)/u]??0} 二．填空 4．一平面简谐波，频率为300 Hz ，波速为340 m / s ，在截面面积为3×10-2 m2 的管内空气中传播，若在10 s内通过截面的能量为2.7×10-2 J，则通过截面的平均能流为 ?3-22.7?1?30w；波的平均能流密度为9.0?10wm；波的平均能量密度为 32.6?1?40J-m。 5．一平面谐波在媒质中传播时，若一媒质质元在t时刻的波的能量是10 J，则在 ( t+T ) （T为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能是 5J 。 三．计算题： 6．一平面简谐波在介质中以速度u = 200 m/s自左向右传播，已知在传播的路径上某质点A的振动方程为y=3 cos(4πt -π) (SI)，D点在A点右方9 m处。若取x轴方向向左，并以A为坐标原点，试写出波动方程，并求出D点振动方程。 解：A为坐标原点,即波源,其振动方程为 y0?3cos?4t??? y u x A D x??则波动方程为y?3cos?4?(t?)???200??9??)??? （SI） D点振动方程为yD?3cos?4?(t?200???3cos(4?t?1.18?)7．某质点作简谐振动，周期为2 s，振幅为0.06 m，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求：⑴ 该质点的振动方程； ⑵ 此振动以波速u = 2 m / s沿x轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式（以该质点的平衡位置为坐标原点）； ⑶ 该波的波长。 解 (1) 振动方程 y0?0.06cos(2?t??)?0.06cos(?t??) (SI) 2(2) 波动表达式 y?0.06cos[?(t?x/u)??] ?0.06cos[?(t?1x)??] (SI) 2 (3) 波长 ??uT?4 m 第12-３ 波的干涉 驻波 一．选择题： 1．以下哪些反映了驻波的性质？( ABCD ) (A)有些质元总是静止不动 (B) 迭加后的波形既不左行又不右行 (D) 质元的振动动能与势能之和不守恒 (C)波节两侧的质元振动相位相反 2．下述说法中正确的是：( B ) (A) 在驻波中若某一时刻波线上各点位移均为零，则此时波的能量为零； (B) 在驻波中若某一时刻波线上各点位移均为零，则此时波的能量不为零； (C) 入射波与反射波在反射界面处一定形成波节； (D) 入射波与反射波在反射界面处一定形成波腹。 二．填空题： 3．相干波必须满足的条件是 振动频率相同 ， 振动方向相同 ， 相位差恒定 。两列波相遇而形成干涉，若用相位差表示，则干涉加强条件是 ????22?????r1?2r?,? 为整数 k??12kr?2?2?1?k，相干减弱条件是 ???2?2????r?1?1?1??2，可用波程差表为整数?,? ；k若两波源初相? k示，则干涉加强条件是??r2?r1?k?，为整数，干涉减弱条件是 。 ??r2?r1??2k?1?，为整数 k2?三．计算题： 4．两个相干波源S1和S2，相距L = 20 m，在相同时刻，两波源的振动均通过其平衡位置，但振动的速度方向相反，设波速u = 600 m/s，频率v = 100 Hz，试求在S1和S2间的连线上因干涉产生最弱点的所有位置(距S1的距离)。 解 其中: r1?x, r2?L?x，则有r2?r1?L?2x 由位相差????2??1?2?(r2?r1)??(2k??1)即??2?(L?2x)?? (k2??1) 20?2x?k??x?10?k?2又波长??uv?60010?0m6故x?10?3K即x?147101316m195．两个波在一个很长的细绳上传播，它们的方程设为： y1 = 0.06 cos[π(x-4 t )]， y2 = 0.06 cos[π(x+4 t )] 式中x、y以米计，t以秒计。⑴ 求各波形的频率、波长、波速和传播方向；⑵ 试证这细绳实际上是作驻波式振动，求节点的位置和腹点的位置；⑶ 波腹处的振幅多大？在x=1.2 m处，振幅多大？ 解 (1) y1?0.06cos(4?t??x), ??4?,??2,v???2,u??v? 4 沿x正向传递 2?y2?0.06cos(4?t??x),v,?,u相同,向x负向传递驻波 (2) y?y1?y2?2Acos?xcos4?t 波节:co?sx?即0,?x? m2(k2??1)x2?,??k??1?sx??即1,? x?k?2x,? ?k m 波腹: co（3） 波腹的振幅：A?2?0.06?0.12m x?1.2m处的振幅：A?0.12cos???1.2??0.097m 第12-4 多普勒效应 平面电磁波 一．选择题： 1．正在报警的警钟，每隔0.5 秒钟响一声，有一人在以72 km / h的速度向警钟所在地驶去的火车里，这个人在1分钟内听到的响声是( C ) （设声音在空气中的传播速度是340 m / s） (A) 113 次 (C) 127 次 (B) 120 次 (D) 128 次 2．一辆机车以30 m / s的速度驶近一位静止的观察者，如果机车的汽笛的频率为550 Hz，此观察者听到的声音频率是( A ) （空气中声速为330 m/s） (A) 605 Hz (C) 504 Hz (B) 600 Hz (D) 500 Hz ??3．电磁波在自由空间传播时，电场强度E和磁场强度H ( C ) (A) 在垂直于传播方向的同一条直线上 (B) 朝互相垂直的两个方向传播 (C) 互相垂直，且都垂直于传播方向 1? 2二．填空题： (D) 有相位差 4．请按频率递增的顺序，写出比可见光频率高的电磁波谱的名称紫外线，x射线，?射线 ； 5．电磁波在媒质中传播速度的大小是由媒质的电容率?和磁导率决定的。 6．在真空中传播的平面电磁波，在空间某点的磁场强度为H?1.20cos(2π?t?? 1) 31-12 (SI)，则在该点的电场强度为452cos(2??t??)。（真空电容率?0 = 8.85×10 F/m，真空 3磁导率?O＝ 4π×10 H/m） -7 7.一固定的超声波波源发出频率为100kHz的超声波，当一汽车向超声波波源迎面驶来时，在超声波所在处接收到从汽车反射回来的波，利用拍频装置测得反射波的频率为110kHz。则汽车的行驶速度为 16.2m.s-1 。(声波在空气中的传播速度为u=340m.s) -1 三．计算题： 8．一列火车以20 m / s的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz，求：一静止观测者在机车前和机车后所听到的声音频率（设空气中声速为340 m/s）。 解： 机车前：?b?u340???600Hz?637.5Hz u?vs340?20 机车后：?b? u340???600Hz?566.7Hz u?vs340?20