由x?x2时，T?T2可以确定热流量为 Q??a2?(T1?T2)4(1x1?1x2) x
?1x?1x1??解得温度分布为 T?T1???1x?1x?(T1?T2)
12??讨论 利用傅里叶定律积分求解变截面一维导热问题。
24. 【例题6】在用稳态平板法测定非金属材料导热系数的仪器中，试材做成圆形平板，
放在冷、热两表面之间。已知主电炉的直径d=120mm，仪器冷、热两表面温度分别由热电偶测得为T1=180℃, T2=30℃,主电炉产生的热流量为60W。由于安装不好，试件和冷、热表面间均存在?=0.1mm的空气缝隙。试确定空气缝隙给测定导热系数带来的误差（假设通过空气缝隙的辐射换热可以忽略不计）。
⑦ ⑥
i. ④ ③ ① ② ⑤
(1) 主电炉 T 1 T 2 T 3 (4) 底面辅助电炉 (2) 试材 (5) 侧面辅助电炉
T4 T (3) 冷却器 5 (6) (7) 保温层
1. 图2-10稳态平板法测定导热系数装置示意图
讨论：
为了保证主电炉产生的热量垂直穿过平板试件，分别调整侧辅助电炉和底辅助电炉的功率以保证T3= T1，T4= T5。
为了使热面和冷面上所测温度T1和T2尽可能精确地反应试材热面和冷面的温度，必须尽量设法减小热、冷面与试材表面的接触热阻。
所测试件在放入之前必须经过仔细地烘干，尤其对于保温材料。
28. 用热电偶测量管道内的气流温度。已知热接点温度Tj=650℃，热电偶套管根部温度
套管长度l=100 mm，壁厚?=1mm，外直径d=10mm，导热系数?=25W/(mK)，T0=500℃，
气流与套管之间的对流换热系数h?50W/(m2K)。试求：①热电偶温度与气流真实温度之间的误差；②分析在下列条件改变下测量误差的大小。（a、改变套管长度l=150 mm； b、改变套管壁厚?=0.5mm； c、更换套管材料?=16W/(mK)；d、若气流与套管之间的对流换热系数h?100W/(m2K)； e、若在安装套管的壁面处包以热绝缘层，以减小热量的导出，此时套管根部温度T0=600℃。
解 在进行分析时，注意以下几点工程分析中的近似处理，以及肋片的概念。
由于热电偶的节点与套管顶部直接接触，可以认为热电偶测得的温度就是套管顶端的壁面温度；(2) 热电偶套管可以看成是截面积为?d?的等截面直肋。(3) 肋片的周长取与流体接触部分的长度；(4) 所谓测温误差，就是套管顶端的过余温度。 热电偶温度与气流真实温度之间的误差 当把热电偶接点处视为绝热时，由
m? ?l??0 得 Tf?T0 l T? hPh?d50???44.7 ?A??d?25?0.00111 或 Tj?Tf?(T0?Tf)
ch(ml)ch(ml)Tf Tj 热电偶测温示意图 Tjch(ml)?T0ch(ml)?1?650?ch(44.7?0.1)?500?654℃
ch(44.7?0.1)?1故热电偶的测温误差为4℃。
② 分析在下列条件改变下测量误差的大小
改变套管长度l=150 mm
ml?44.7?0.15?6.7，?l?(654?500)改变套管壁厚?=0.5mm
ml?1?0.38℃ ch(ml)h??hl?150?0.5℃ ?0.1?6.323，?l?(654?500)ch(ml)25?0.0005c. 更换套管材料?=16W/(mK) ml???l?150?1.14℃ ?0.1?5.59，?l?(654?500)ch(ml)16?0.001d. 若气流与套管之间的对流换热系数h?100W/(m2K) ml?h??l?1100?0.5℃ ?0.1?6.323，?l?(654?500)ch(ml)16?0.001e. 若套管根部温度Tj=600℃
ml?44.7?0.1?4.47，?l?(654?600)1?1.2℃ ch(ml)讨论：从以上分析发现，要减小测温误差，可以采取以下措施：①尽量增加套管高度和减小壁厚；②选用导热系数低的材料作套管；③强化套管与流体间的对流换热系数；④在安装套管的壁面处包以热绝缘层，增加套管根部的温度。
如何减小测温误差，也可以从测温计套管的一维导热物理过程进行分析：管内高温流体通过一个对流换热热阻将热量传给套管顶部；然后通过套管（肋片）传至根部；再通过一个对流换热热阻将热量传给外界流体。显然，要减小测温误差，应使Tj接近于Tf，即应尽量减小R1而增大R2及R3。
29. 围在外径为80mm 铜管上的一铝质环肋，厚5mm，肋外缘直径为160mm，导热系数为
Tf R1 Tj T? R2 T0 R3 200W/(mK)，周围流体温度为70℃，对流换热系数为60W/(m2K)。求肋片的传热量。
解 本题可利用肋片效率进行计算。先计算有关参数
考虑肋端传热作用的肋片修正长度，l??l??2?(r2?r1)??2?(80?40?52)?10?3?0.0425m 纵剖面积， AL?l???0.0425?0.005?0.0002125m2
h32l???AL60?0.04251.5?0.329
200?0.0002125?r2??2r2??2.0625 r1r1查图得， ?f?0.89 故传热量为：
?2?r12)(T0?Tf)?2?0.89?60?3.14?(0.08252?0.042)?(250?70)?314W Q??fQmax?2?fh?(r227. 以等截面直肋为例，试用热阻的概念简要说明采用肋化表面是否都可以得到强化传热的
效果？如果答案是否定的，则对敷设矩形剖面的直肋推导一个定量的判据？
解： 假设不管是否敷设肋片，肋片基部表面温度为Tw，基部表面和流体之间的对流换热系数与肋片和流体之间的对流换热系数值相同。
不敷肋片而高为?的基部表面，这部分和流体之间的换热量为
Qnf?h?(Tw?Tf)?Tw?Tf1/(h?)
如有肋片敷在基部表面上，则热量从处于Tw的表面导入肋片，并克服肋片的导热内热阻，在到达肋片和流体的界面后，再通过表面对流换热热阻散入流体。
TW L 裸露表面 TW Tf ? TW Tf Twm
流体T f, h 敷设肋片 令肋片导热的平均内热阻为Rw，Twn为肋片表面的平均温度。 在有或没有肋片时的等效热阻分别为
Ra?11?Rw Rb?h(??2L)h?在有或没有肋片时的散热量分别取决于所表示的等效热阻的相对大小。虽然有肋时的对流换热热阻远小于无肋时的对流换热热阻，但是如果肋片的平均导热内热阻Rw足够大而可能使
Rb?Ra，这样导致肋片产生绝热效应而不是增大散热量的有利作用。例如，敷设由石棉构成的相当厚的肋片就有这样的作用，因石棉的导热系数很小而使Rw足够大。 有肋片时的散热量为
hm??th(mL)1??th(mL)m?hQf???m(Tw?Tf)??h(Tw?Tf) hh1?th(mL)1?th(mL)m?m?式中，?h(Tw?Tf)?Qnf，为未加肋片的基部表面散热量。 由
m??h2h????h2??h??1?
h(?/2)BiQfQnf?th(mL)Bi? 1?Bith(mL)1?1得到
1当
QfQnf?th(mL)Bi??1时，敷设肋片将起到增加传热的有利作用。解不等式，得到 1?Bith(mL)1?Bi?1
讨论：在有肋片的设计中，当全部因素都加以考虑时，一般只有在下列条件下肋片的应用才是合理的。
Bi?0.25
28. 【例题10】一无限大平板，热扩散系数a?1.8?10?6m2/s，厚度为25mm，具有均匀
初始温度150℃。若突然把表面温度降到30℃，试计算1分钟后平板中间的温度（假设物体表面对流换热热阻与物体内的导热热阻相比可以忽略，即Bi??1）。
解： 本问题的完整数学描写如下：
T
1?T?2T ?2 Ti a???x引入过余温度??T?Tf，上式变为
1???2? Tf 2? Tf ?a???x2初始条件和边界条件： Bi??1的情形 ??0时，在0?x?2?内 ??Ti?Tf??i
??0时，在x?0处 ??0 ??0时，在x?2?处 ??0 运用分离变量法，可得到最终的级数解为
T?Tf?4?1?()???e2?
?iTi?Tf?n?1nn?2a?sinn?x n?1,3,5?? 2?对于本例题，将以下数据 a?1.8?10?6m2/s， 2??0.025m， ??60s
Ti?150℃， Tf?Tw?30℃， x???0.0125m 代入上式，若只取前面非零的四项(n?1,3,5,7)计算，得
T?TfTi?Tf?4?(0.18177?7.22?10?8?6.15?10?20?5.21?10?37)?0.2314
由此求得在1分钟后，平板中间温度为
T?0.2314(Ti?Tf)?Tf?0.2314(150?30)?30?57.8℃
讨论：一般以Fo?0.2为界，判断非稳态导热过程进入正规状况阶段。此时无穷级数的解可以用第一项来近似地代替，所得的物体中心温度与采用完整级数计算得到的值的差别基本能控制在1?以内。本例题中Fo=0.69，可以看出，级数的第一项较后几项高出多个数量级。
29. 两一块厚度均为30 mm的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。平
板两侧表面的温度突然上升到60℃，试计算使两板中心温度均上升到56℃时两板所需的时间比。铜和钢的热扩散系数分别为103?10?6m2/s和12.9?10?6m2/s。
解: 一维非稳态无限大平板的温度分布有如如下函数形式
?x?f(Bi,Fo,) ?i?两块不同材料的无限大平板，均处于第一类边界条件（Bi??）。由题意，两种材料达到同样工况时，
Bi数和x/?相同，要使温度分布相同，则只需Fo数相等。
(Fo)铜?(Fo)钢
?铜/?钢?a钢/a铜?0.125
30. 测量气流温度的热电偶，其结点可视为球体，结点与气流之间的对流换热系数
h?400W/(m2K)，结点的热物性：?=20W/(mK)；比热容c=400J/(kgK)；密度