A．0 C．0或1 答案 B
??x＝cosθ－1，
解析 由?2
?y＝1＋sinθ，?
2
B．1 D．2
得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，
?x＝3cost，?
由???y＝2sint，
得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
94
x2y2
二、填空题
π??22
7．已知动圆方程x＋y－xsin2θ＋22·ysin?θ＋?＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程
4??是________．
1??12
答案 y＝1＋2x?－≤x≤?
2??2
1
x＝sin2θ，??2
解析 圆心轨迹的参数方程为?
?θ＋π?，
y＝－2sin???4???
??x＝sinθcosθ，
即?
?y＝－?sinθ＋cosθ??
消去参数，得
1??1
y2＝1＋2x?－≤x≤?.
?22?
8．双曲线?
?x＝3tanθ，?y＝secθ
x2
(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
答案 30°或150°
解析 将参数方程化为y－＝1，
3此时a＝1，b＝3，
设渐近线的倾斜角为α，则tanα＝±∴α＝30°或150°.
1
3＝±.
33
2
??x＝1＋s，
9．在直角坐标系xOy中，已知直线l：?
?y＝2－s?
??x＝t＋3，
(s为参数)与曲线C：?2
?y＝t?
(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案
2
??x＝1＋s，
解析 直线l：?
?y＝2－s?
(s为参数)的普通方程为
??x＝t＋3，
y＝3－x，曲线C：?2
?y＝t?
(t为参数)的普通方程为y＝(x－3).
2
依题意，得(x－3)＝3－x， 解得x1＝3，y1＝0；x2＝2，y2＝1.
所以坐标为A(3,0)，B(2,1)，则|AB|＝2.
10．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知
??x＝t＋1，π
射线θ＝(ρ≥0)与曲线?2
4?y＝?t－1??
2
(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的
直角坐标为__________．
?55?答案 ?，? ?22?
π
解析 射线θ＝(ρ≥0)的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，
4
??x＝t＋1，曲线?2
?y＝?t－1??
??y＝x?x≥0?，联立?2
?y＝?x－2?，?
(t为参数)的普通方程为y＝(x－2).
??x＝1，解得?
?y＝1?
2
??x＝4，
或?
?y＝4.?
?55?故线段AB的中点的直角坐标为?，?.
?22?
三、解答题
11．已知直线l：3x＋2y－6＝0与抛物线y＝23x交于A，B两点，O为原点，求∠AOB的值．
解 设抛物线y＝23x的参数方程
2
2
?x＝23t2，为?
?y＝23t
(t是参数)，
2
代入3x＋2y－6＝0，整理得3t＋23t－3＝0.① 因为A，B对应的参数t1，t2分别是方程①的两根， 所以t1t2＝－1.
因为t表示抛物线上除原点外任一点与原点连线的斜率的倒数，所以即kOA·kOB＝－1， 所以∠AOB＝90°.
1
kOAkOB·
1
＝－1，
x2y2
12．如图所示，已知点M是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭
ab圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．
x2y2
解 点M是椭圆2＋2＝1(a>b>0)上在第一象限的点，
ab??x＝acosφ，x2y2
由于椭圆2＋2＝1的参数方程为?
ab?y＝bsinφ?
(φ为参数)，
π
故可设M(acosφ，bsinφ)，其中0<φ<，
2因此，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB 11
＝|OA|·bsinφ＋|OB|·acosφ 22π?12?＝ab(sinφ＋cosφ)＝absin?φ＋?.
4?22?
π2
所以，当φ＝时，四边形MAOB的面积有最大值，最大值为ab.
42
x2y2
13．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点．
ab(1)求直线MB，CN的交点P的轨迹方程；
(2)若P(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：a是x1，x2的比例中项． (1)解 由题意可设点B(asecθ，btanθ)， 则点C(asecθ，－btanθ)，又M(－a,0)，N(a,0)， ∴直线CN的方程为y＝直线MB的方程为y＝－btanθ(x－a)，
asecθ－abtanθ(x＋a)，
asecθ＋ax2y2
将以上两式相乘，得点P的轨迹方程为2＋2＝1(a>0，b>0)．
ab(2)证明 ∵点P既在MB上，又在CN上，
由两直线方程消去y1，得x1＝
2
， secθa而x2＝asecθ，∴有x1x2＝a， 即a是x1，x2的比例中项． 四、探究与拓展
14．在平面直角坐标系xOy??x＝asinθ，?
?y＝3cosθ?
??x＝t＋1，
中，已知曲线C1：?
?y＝1－2t?
(t为参数)与曲线C2：
(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
3
答案 2
x2y2
解析 曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为2＋＝1，直线2x＋y＝3与xa9xy33?3?轴的交点坐标为?，0?，故曲线2＋＝1也经过这个点，代入解得a＝或a＝－(舍去)． a922?2?x2y2
15．椭圆2＋2＝1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为
ab原点)，求离心率e的取值范围．
??x＝acosθ，
解 设椭圆的参数方程是?
??y＝bsinθ2
2
(θ为参数)(a>b>0)，则椭圆上的点为P(acosθ，
bsinθ)，A(a,0)，
∵OP⊥AP，∴2
2
bsinθbsinθ·＝－1， acosθacosθ－a2
2
2
即(a－b)cosθ－acosθ＋b＝0. 解得cosθ＝b2
a2－b2
或cosθ＝1(舍去)．
∵a>b，－1≤cosθ≤1，∴0<
2
2
2
b2
a2－b2
≤1.
a2－c2
把b＝a－c代入，得0<2≤1.
c1
即0<2－1≤1，
e解得2
≤e<1. 2
故离心率e的取值范围为?
?2?
，1?. ?2?