第七章 倾斜叠加及其应用
斜叠加之间的差异。当我们论及线性震源时，常规叠加提供精确的平面波分解；当我们涉及到点震源时，正确的倾斜叠加提供精确的平面波分解。除求和前用一个滤波算子与线性时差的波场进行褶积外，使用上述相同的步骤就产生正确的倾斜叠加。这个算子对由点震源获得的波场，变换成线震源获得的波场，所产生的三维效应进行校正。就所涉及的运动学来说，两种类型的倾斜叠加是等效的。只
有在讨论振幅时，它们才有所差别(Treitel，个人通信)。
图7-9为方程(7.4)和(7.5)所描述的平面波映射的示意图。由沿p＝0的水平路径在炮检距域中振幅求和开始。这条路径在反射双曲线的顶点A附近与其相交。因此，A点映射到(p、τ)平面上的A′点，把求和线倾斜，在B点处与双曲线相交，B点映射到B′点上。注意，沿倾斜路径求和的主要贡献来自切点B的区域。这个相切区叫做菲涅尔带。对于较高的速度和较深的同相轴，菲涅尔带是较宽的。实际上，方程(7.5)的求和可限定在菲涅尔带中。求和必须的最陡路径是沿p=1/v它是双曲线的渐近线，这路径相当于与船垂方向呈90°的射线。能量没渐近线映射到p轴的C′点上。利用上述映射，(x，t)域中的双曲线轨迹就映射成(p，τ)域中的椭园轨迹(Schultz和Claerbout，1978；参考练习7.1)。实际上，我们不可能记录一条无限长的双曲线，也不可能记录零炮检道。因此，在倾斜叠加域的椭园路径从A′到C′不可能是完全的。
图7-10显示了一个更为复杂的情况。当超临界的反射C(广角反射)映射到较高的p值地方时，临界点以下的反射A和D(这些反射的入射角比临界角小)映射到较低p值的地方。理论上，炮检距域内的直线同相轴如折射波至B，映射成倾斜叠加域中的一个点。相反，倾斜叠加域中直线同相轴映射为炮检距域中的一个点(练
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Oz Yilmaz 地震资料处理 习7.2)。
图7-11显示了一个野外数据的实例，主要包括水底和短程层间多次反射。除了水底反射W外，有两个明显的一次反射P1
和P2。多次反射映射沿着收敛在P＝(1/1500)s/m(水速度的倒数)的椭园轨迹。图7-12显示的是包含线性同相轴的。注意倾斜叠加道集上的强振幅对应于炮检距数据中观测到的导波。在两个野外数据的实例中，都是只用正p值建立倾斜叠加道集。因此，图7-12中炮检距域内的反向散射的能量在倾斜叠加道集中没有表现出来。
现在研究用于地震资料处理的各种定义域之间的相互关系。研究如图7-13所示的炮检距(x，t)域内有限带宽的倾斜同相轴。炮检距的范围是从250—5000m，
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第七章 倾斜叠加及其应用
道间距是50m。这个同相轴是在f-k域(ω，kx)中沿着清楚的径向射线映射的，径向射线的斜率与水平相速度有关，用下列关系表示：
ω/kx=v/Sinθ (7.6) 用p=sinθ/v置换找出变换域中各个变量之间的关系。 kx＝Pω (7.7)
图7-13也表示倾斜同相轴映射到倾斜叠加域。在时间方向上倾斜叠加道的一维傅氏变换给出振幅谱(p，ω).它也显示在图7-10中。这个面描述水平相速度的频率函数关系和用于导波分析(7.3节)。在(ω，kx)面上，沿着径向方向AA′的能量，等于(P，ω)面上沿垂直方向BB′的能量。
图7-14显示空间假频了的倾斜分量。在(ω，kx)面中观测到的重影是由于同相轴不恰当的空间采样引起的。注意，未假频和假频了的两个分量(分别为1和2)都映射成单独一个单个P迹线。我们希望把空间假频了的部分映射到一些负P值
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Oz Yilmaz 地震资料处理 上。如果是这种情况的话，那么假频范围(21Hz到42Hz)在只包含正p值的(p，ω)平面上不存在(图7-14是一个单一倾斜；在图7-17中讨论倾斜范围的重建)。 一旦在倾斜叠加域中实行了特殊处理，利用逆映射重建炮检距域的数据：Thorson(1978)提供了详细的重建步骤。为了严格地进行振幅恢复，在逆映射前应用P滤波。通过用频率绝对值乘以每个倾斜叠加道的振幅谱来完成这项工作。这点与包括偏移积分表达式(方程4.5)中的求和之前的波场微分有点相似。 倾斜叠加处理流程 表1 炮检距数据P(x， t) ↓ 从(x，t) 到(P，τ)
步骤1：在指定的p值应用LMO[方程7.4] 步骤2：在炮检距上求和[方程7.5]
步骤3：对一个p值范围重复步骤1和步骤2输出是倾斜叠加，S(p，τ) ↓
在倾斜叠加域中应用所要求的处理如，反褶积，时变切除 ↓ 从(p，τ)到 (x，t) 步骤1：应用ρ滤波
步骤2：对指定炮检距值应用反LMO 步骤3：在ρ范围内求和
步骤4：对于炮检距范围重复步骤2和步骤3，输出是倾斜叠加处理后的炮检距数据
图7-15显示人工合成的炮检距道集，相应的倾斜叠加道集和除ρ滤波以外未作任何其他处理的重建的炮检距道集。x到P的映射是可逆的(Thorson，1978)。有限的排列长度造成倾斜叠加道集上的线性条纹(CT)，炮检距道集两侧逐渐减弱可帮助压制这些排列的截尾影响。
在(x、t)道集的重建期间，我们没有必要一定使用原始(x，t)道集所用的道距、我们研究图7-16a中的合成道集。二维振幅谱表明大约频率在48Hz以上有空间假频(图7-16b)。这个道集可以映射到倾斜叠加域(图7-16c)，并能用较小道距重建(图7-16d)。原始道距是25m重建道集的道距是12.5m。道内插后进集的二维振幅谱显示各频率没有空间假频
(图7-16e)。然而缺少60Hz以上的高频能量。这个能量在输入道集中主要是沿陡倾的直达波至路径(图7-16a)而在输出道集上不存在(图7-16d)。我们看出，甚至对空间假频了的数据，重建是成功的，提供的倾角变化范围不宽。
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