（Ⅰ）若A∪B＝[﹣1，2]，求实数m的值； （Ⅱ）若A∩C＝?，求实数b的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出集合A＝{x|0≤x≤2}，由B＝{x|x﹣（3m﹣1）x+2m﹣m≤0}，A∪B＝[﹣1，2]，得﹣1∈B，由此能求出实数m的值． （Ⅱ）由A＝{x|0≤x≤2}，C＝{y|y＝2﹣
+b}，A∩C＝?，推导出b＜﹣
或b＞2
2
2
，由此能求出实数b的取值范围．
2
【解答】解：（Ⅰ）∵集合A＝{x|x﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}， B＝{x|x﹣（3m﹣1）x+2m﹣m≤0}，A∪B＝[﹣1，2]， ∴﹣1∈B，∴1+3m﹣1+2m﹣m≤0， 即2m+2m≤0， 解得﹣1≤m≤0，
△＝（3m﹣1）﹣4（2m﹣m）＞0， 解得m≠1，
∴实数m的值为[﹣1，0]． （Ⅱ）A＝{x|0≤x≤2}，C＝{y|y＝2∴y＝∴b＜﹣∵0＜
或y＝或b＞2﹣≤2，∴﹣2＜﹣
，
＜0，
+b}，A∩C＝?， ，
2
2
2
2
2
2
∴实数b的取值范围（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
【点评】本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查并集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．（10分）已知函数f（x）＝lg
．
）；
（Ⅰ）设a，b∈（﹣1，1），证明：f（a）+f（b）＝f（（Ⅱ）当x∈[0，范围．
【分析】（Ⅰ）利用对数的运算法则进行证明即可．
2
）时，函数y＝f（sinx）+f（mcosx+2m）有零点，求实数m的取值
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，利用函数零点定义转化为方程关系，利用参数分离法进行求
第13页（共16页）
解即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（a）+f（b）＝lg
+lg
＝lg（
?
）＝lg
f（）＝lg＝lg＝lg，
则f（a）+f（b）＝f（（Ⅱ）由则f（x）＝lg
）成立；
＞0得﹣1＜x＜1，
＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x），
则f（﹣x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＝﹣f（x）， 即函数f（x）是奇函数， 若当x∈[0，即当x∈[0，
2
）时，函数y＝f（sinx）+f（mcosx+2m）有零点， ）时，函数y＝f（sinx）+f（mcosx+2m）＝0，
2
2
2
即﹣f（sinx）＝f（mcosx+2m）＝f（﹣sinx）， 则mcosx+2m＝﹣sinx有解， 得m（2+cosx）＝﹣sinx， 则m＝
＝
，
），∴0＜cosx≤1，则2＜t≤3，
22
设t＝2+cosx，∵x∈[0，则cosx＝t﹣2， 则m＝
＝
＝t+﹣4，
则设函数h（t）═t+﹣4在2＜t≤3上为增函数， 则h（2）＝﹣，h（3）＝0，即﹣＜h（t）≤0， 则要使m＝h（t）有零点， 则﹣＜m≤0．
【点评】本题主要考查对数的运算，以及函数零点的应用，利用参数分离法，结合对勾函数的性质进行求解是解决本题的关键． 21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ax，a∈R．
第14页（共16页）
2
（Ⅰ）记f（x）在x∈[1，2]上的最大值为M，最小值为m． （i）若M＝f（2），求a的取值范围； （ii）证明：M﹣m≥；
（Ⅱ）若﹣2≤f（f（x））≤2在[1，2]上恒成立，求a的最大值．
【分析】（Ⅰ）（i）讨论对称轴与区间[1，2]的关系，可得最大值，即可得到a的范围； （ii）讨论对称轴与区间的关系，求得最值，作差，求得最小值，即可得证； （Ⅱ）代入x＝1，2的值得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）（i）函数f（x）＝x﹣ax，其对称轴为x＝，且开口向上， ∵f（1）＝1﹣a，f（2）＝4﹣2a， ∴M＝{f（1），f（2）}max，
当1﹣a≥4﹣2a时，即a≥3时，M＝f（1）＝1﹣a， 当1﹣a＜4﹣2a时，即a＜3时，M＝f（2）＝4﹣2a， ∵M＝f（2），
∴a的取值范围为（﹣∞，3]；
（ii）证明：①当≥2时，即a≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减， ∴M＝f（1）＝1﹣a，m＝f（2）＝4﹣2a， ∴M﹣m＝1﹣a﹣4+2a＝a﹣3≥1＞，
②当≤1时，即a≤2时，f（x）在[1，2]上单调递增， ∴M＝f（2）＝4﹣2a，m＝f（2）＝1﹣a， ∴M﹣m＝4﹣2a﹣1+a＝3﹣a≥1＞，
③当2＜a＜3时，M＝f（2）＝4﹣2a，m＝f（）＝﹣a，
∴M﹣m＝4﹣2a+a＝（a﹣4），y＝4﹣2a+a在[2，3]上为减函数， ∴ymin＝， ∴M﹣m≥；
④当3≤a＜4时，M＝f（1）＝1﹣a，m＝f（）＝﹣a，
2
2
2
2
2
2
第15页（共16页）
∴M﹣m＝1﹣a+a＝（a﹣2），y＝1﹣a+a在[3，4]上为增函数， ∴ymin＝，
综上所述M﹣m≥；
（Ⅱ）∵|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立， ∴|f（f（1））|≤2，即|f（1﹣a）|≤2， 故|2a﹣3a+1|≤2， 解得
≤a≤
，
2
222
同理，|f（f（2））|≤2，解得：1≤a≤， 故1≤a≤当a＝
，
时，设t＝f（x），此时＜1，
∵x∈[1，2]，∴t＝f（x）在[1，2]递增， 故t∈[1﹣a，4﹣2a]，
此时﹣（4﹣2a）＝a﹣4＞0， 故y＝f（t）在[1﹣a，4﹣2a]递减， 故|f（t）|≤2在[1﹣a，4﹣2a]上恒成立， 只需故amax＝
．
，
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查解绝对值不等式问题，注意运用分类讨论思想方法和数形结合思想，是一道综合题．
第16页（共16页）