（３）
应用前述结果及电荷守恒定律
6、点电荷q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1
和R2，求场强和电位的分布，并画出E—r和U—r曲线。 解：（1）由高斯定理得场强的分布为
解得：
?2???3???4 1Q1?(?1??2)SQ2?(?3??4)SE? Eq4??0r2
?0q4??0r21?Q1?Q2???2?C/m22S 1?Q1?Q2??1??4??5?C/m22S?2???3?E??r?R1??R1?r?R2? ?r?R2? （2）电位分布为
由此可知，当Q1=Q2时，相向的两面上无电荷
分布，相背的两面上电荷等量同号；
当Q1=-Q2时，相背的两面上无电荷
分布，相向的两面上电荷等量异号。
5、三平行金属板A、B和C，面积都是200 cm,AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，BC两板都接地。如果使A板带正电3.0×10C，在略去边缘效应时，问B板和C板上感应电荷各是多少？以地的电位为零，问A板的电位是多少？ 解：（1）BC两板都接地，故两板上只有向着A的一面有感应
电荷。
-7
2
RRq C 由对称性和高斯定理得
2 4 ?C??AC?0?B??AB?0??B??C???AB??AC三块板上电荷量的关系为QB?QC??QA???由高斯定理得AB间的电场强度为EAB?ABe?0???AC间的电场强度为EAC?AC(?e)?0UB?UC??C?ddAC?BdAB?QC?AB?0?0dAC联立解得QB??1.0?10?7C,QC??2.0?10?7C （
2
）
A
板
的
电
位
为
q?111??????r4??0?rR1R2?????qU2??E?dl?r4??0R2QB???qU3??E?dlE?r4??0r???U1??E?dl?
?r?R1??BQdAB??BdAB?2.3?103V?0?0S?r?R2??R1?r?R2?
UA?EABdAB??
（3）E—r和U—r曲线如图所示
8、半径为R1的导体球带有电量q,球外有一个内、外半径分
-q,外表面不带电 E Rr U R
R
r
Q q RRRq?R2?内球电位U1??E?dl??11?????R14??0?R1R2??q?11???外球电位U2?0??U???4??0?RR2??1
（5）内球电位为零。设其上所带电量为q′,
别R2、R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q。 （１） （２） （３）
求两球的电位U1和U2； 两球的电位差△U；
以导线把球和壳连在一起后，U1、U2和△U分别是多少？
（４）
在情形（1）、（2）中，若外球接地，U1、U2和△U
９、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆
分别是多少？
柱体构成。设内圆柱体的电位为U1，半径为R1，外圆
（５）
设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？
柱体的电位为U2，内半径为R2，求其间离轴为r处（R1 解：（1）由对称性和高斯定理求得，各区域的电场强度和电位分别为 解：由高斯定理可解得内圆柱体和外圆柱体之间的电场强度为 ???QR1R21?q?q?q??Q????内球电位U1??E?dl????0?q?R14??0?R3?R1R2?R2R3?R1R3?R1R2??R11q?R1?Q(R1?R2)1外球电位U2??E?dl??dr?R2R24??r24??0R1R2?R2R3?R1R30Q(R1?R2)1?U?U2?4??0R1R2?R2R3?R1R3 E?0?r?R1?q?R1?r?R2?E?24??0r E?0?R2?r?R3?E?q?Q?r?R3?4??0r2?E? 设 r 处 ?? er2??0r电 位 为 U ， 则 的 ?r??rU1?U??E?dl?ln R12??0R1 ?R2?R??U?U?E?dl?ln212????q?111?Q1R12??0R1????U1??E?dl?(r?R1)内球电位 ??r4??0??R1R2R3?4??0R3U1?U2?????q?111?Q1????U2??E?dl?(R1?r?R2)R2??0??r4??0?ln2?rR2R3?4??0R3R1???q?QU3??E?dl?r?4??0R3(R2?r?R3)外球电位??q?QU4??E?dl?(r?R3)r4??0r?U?U1?ln(r/R1)?rln?U1?(U1?U2)2??0R1ln(R2/R1)（2）两球 R2的电位差为 １、 地球的半径为6370km，把地球当作真空中的导体球，求它的电容。 ?U?? R1??E?dl?q?11?????4??0?RR2??1解：C?4??0R?7.08?10?4F 如附图所示，一电容器由三片面积都是6.0cm的锡箔构成，相邻两箔间的距离都是0.10mm，外边两箔 2 （3）以导线连接内外球，所有电荷将分布于球壳的外 表面上， U内２、 ?U外q?Q?4??0R3 片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极。 （１） 求电容C； ?U?0（4）若外球接地，则情形（1）（2）中球壳内表面电 （２） 若在这电容器上加220V的电压，问各箔个面积为S的金属片，相邻两片的距离都是d,奇数片联在一起作为一极，它固定不动（叫做定片），偶数片联在一起作为另一极，它可以绕轴转动（叫 上电荷的面密度分别是多少？ 解 ： 做动片）。 C?C1?C2?2?0S/d?1.07?10?10FU1?U2?Q1?Q2?C1U??0SU/d??S???Q/S?1.96?10?5C/m2（１） ３、 如附图所示，平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，其间有一厚为t 的金属片。略去边缘效应， （２） 什么动片转动时电容C会改变？转到什么位置时C最大？转到什么位置时C最小？ 证明：略去边缘效应时，C的最大值为 S （１） 求电容C； （２） 金属片离极板的远近有无影响？ 解：相当于两个电容器串联。设金属板距上板距离为x 1C?11xd?(t?x)d?tC?C??S?12?0S?0?0S? C?0Sd?tt不变时C亦不变,与金属片离极板的远近无关当t →0时， C??0Sd 当t →d时, C→∞ 或 者 ： U??d?tEdl?E(d?t)??(d?t)?QQ?S 0??(d?t)?C??000SU(d?t)４、 半径都是a 的两根平行长直导线相距为d(d>>a),求单位长度的电容。 解： 由高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P的场强为 E?E????E??2???11?0?r?d?r?? U??d?a??d?a?aEdr???ln??0?a?单位长度的电容为 C??U???0? ln?d?a??a??５、 收音机里用的可变电容如附图所示，其中共有n Cn?1??0SM??d 解：（１）电容大小由定片和动片间正对着的那部分面积决定。 当动片转动时，正对面积变化，电容随之变化。 当动片完全转到定片间时，Ｓ达到最大，Ｃ就达到最 大；当动片完全转出定片时，Ｓ＝０，Ｃ达到最小。 （２）当动片完全转入时，相当于n-1 个电容器并联， 总电容为 C??0SM??n?1d １６、四个电容器的电容都是Ｃ，分别按图a和图b联接， 求Ａ、Ｂ间的电容。哪种接法总电容较大？ 解： (1)C?C?14AB3C?3C (2) CAB?C2?C2?C b接法总电 容较大。 １、 一个电池内的电流是否会超过其短路电流？电池的路 端电压是否可以超过电动势？ 答：当Ｒ＝０时，电流为最大，Ｉ＝ε／r .r一定时，电池内的电流不会超过短路电流。· 当电池充电时，电池的路端电压可以超过电动势。Ｕ＝d ε＋Ｉr ２、 试想出一个方法来测量电池的电动势和内阻。 答：将待测电池与安培计、电阻箱、电键串联在一个闭合回路中。 取Ｒ＝Ｒ１时，测得电流Ｉ１，ε－Ｉ1（r＋Ｒ１）=０ 取Ｒ＝Ｒ２时，测得电流Ｉ２，ε－Ｉ２（r＋Ｒ１）=０ 联立解得 ??I1???I1R1?I2R2? ?R1??I?I21??得 Ｉ１＝３Ａ， Ｉ２＝０Ａ （２）Ｒ３＝２Ω ３、 一电路如图所示，求各支路电流及Ｕab。 IR?I2R2r?11I2?I1 解：设各支路电流方向如图所示。根据基尔霍夫方程 20V1Ω b a 47V1Ω （也可将待测电池与伏特计并联，再与电阻箱和电键串联在 一个闭合回路中，测得外电阻不同时的两组路端电压，求得电源电动势和内阻） I1?I2?I3?0I1?R1?r1??I3R3??1I2?R2?r2??I3R3???2 解 得 １、 一电路如图所示，已知ε １ =12Ｖ，ε2=9Ｖ, ε3=8Ｖ,r1= IΩ,R1?1Ar2= r3= r4=11= R３= R4= R5=2Ω,R２=3.0Ω,求: I2??1A Ｕab=13V （１） a、b断开时的Ｕab； I3?2A（２） a、b短路时通过ε2的电流大小和方向。 解：（１）a、b断开时， εＲI??εＲ1??3r?0.4A １ ５ 1?r3?R1?R3?R4?R5εUab?I?r3?R3?R4???3??2?1V （２）a、b短路时， I1?R3?r3?R4???3??I1?I2??r1?R5?R1???1?0I1?R3?r3?R4???3?I2(r2?R2)?2?0 解得 I2?213A 如果题中 ε2=１０Ｖ,则（１）Ｉ＝０.4A Ｕab＝０Ｖ 此时若（２）a、b再联接上，因两点之间电压为零，故短路后无电流，所以通过ε１ 及ε ３ 的电流仍保持不变。 ２、 一电路如图所示，已知ε １ =12Ｖ，ε2=6.0Ｖ, r1= r2= R1= R２= 1.0Ω,通过Ｒ３的电流Ｉ３＝3.0A,方向如图所示。求: （１） 通过Ｒ１和Ｒ２的电流； ε（２） Ｒ３的大小。 R 解：（１）根据基尔霍夫方程 IＩ1?I2?I3?0I1?R1?r1??I3R3??1 解 I2?R2?r2??I3R3???2Ｒ２