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女 生 总 计 ∴K2=
5 20 45 100 50 120 ≈2.743＜2.706，
∴能有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关；
②记不足半小时的两人为a，b，足球运动时间在[0.5，1）内的3人为1，2，3，则总的基本事件有10个，取值2名代表足球运动时间不足半小时的是（ab），故概率为
20．已知椭圆E：
（a＞b＞0）的离心率是
，F1、F2是椭圆的左、右
=
．
．
焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，且S（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l过右焦点F2且交椭圆E于P、Q两点，点M是直线x=2上的任意一点，直线MP、MF2、MQ的斜率分别为k1、k2、k3，问是否存在常数λ，使得k1+k3=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）求利用三角形的面积公式（a+c）b=及a，b和c的关系，求得a与b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知k1+k3=λ的值．
【解答】解：（Ⅰ）由F1（﹣c，0），A（a，0），B（0，b），
+
，代入即可求得k1+k3=2t，则k2=
=t，即可求得
，根据椭圆的离心率
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则S=（a+c）b=
+1，即（a+c）
c， =
+1，
，
=
+1，
则（a+c）b=由e==则（
，a=
c+c）
解得：c=1，则a=∴椭圆的标准方程：
，b=1，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F2的坐标为F2（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（2，t），
当直线l的斜率不为0时，设l的方程为x=my+1，
，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1=0，
则y1+y2=﹣则k1+k3=
+
，y1y2=﹣，
=?==
，
=，
=由k2=
=2t，
=t，则k1+k3=2k2，
+
=2t=2k2，
当直线l的斜率为0时，显然k1+k3=k1+k3=2k2，成立，
综上可知：存在λ=2，使得k1+k3=λk2成立．
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21．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）在[﹣1，3]上的零点个数；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[﹣3，0]，任意的x1，x2∈[0，2]，不等式m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理．
【分析】（Ⅰ）求出函数f′（x）的解析式，通过讨论a的范围，求出方程f′（x）=0的零点个数即可；
（Ⅱ）对于任意的x1，x2∈[0，2]，不等式m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，等价于m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|max，由（ I）易求f（x）的最大值、最小值，从而可得|f（x1）﹣f（x2）|max，进而问题转化为对于任意的a∈[﹣3，0]，m﹣am2≥5﹣3a恒成立，构造关于a的一次函数g（a）=（m2﹣3）a﹣m+5，a∈[﹣3，0]，只需
，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）， a＜﹣1时，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1个零点， ﹣1≤a＜1时，令f′（x）=0，解得：x=a，1，f′（x）2个零点， a=1时，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1个零点， 1＜a≤3时，令f′（x）=0，解得：x=a，1，f′（x）2个零点， a＞3时，令f′（x）=0，解得：x=1，f′（x）有1个零点； （Ⅱ）对于任意的x1，x2∈[0，2]，
不等式m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|恒成立， 等价于m﹣am2≥|f（x1）﹣f（x2）|max， f'（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a），
当a≤0时，由f'（x）＞0，得x＜a或x＞1，由f'（x）＜0，得a＜x＜a， ∴f（x）的增区间为（﹣∞，a），（1，+∞），减区间为（a，1）； 故f（x）在[0，1]上单调递减，
在[1，2]上单调递增，且f（0）=0，f（2）=4， ∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（2）﹣f（1）=5﹣3a，
则问题转化为对于任意的a∈[﹣3，0]，m﹣am2≥5﹣3a恒成立，
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即对于任意的a∈[﹣3，0]，（m2﹣3）a﹣m+5≤0恒成立． 构造g（a）=（m2﹣3）a﹣m+5，a∈[﹣3，0]， 只需
，解得m∈[5，+∞），
∴实数m的取值范围是[5，+∞）．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+是曲线C：
（θ为参数）上的一个动点．
）=2
，且点P
（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直线l的直角坐标方程． （Ⅱ）由题意P（d=
的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+∴
∴ρsinθ+ρcosθ=4，
由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y﹣1=0． ∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣1=0． （Ⅱ）∵点P是曲线C：∴P（
），
=
，
（θ为参数）上的一个动点， ，
）=2
，
=
），从而点P到直线l的距离
，由此能求出点P到直线l的距离
点P到直线l的距离d=
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