2. 设z=u2
ln v, 而 , v=3x?2y, 求 , .
解
3. 设z=ex?2y
, 而x=sin t, y=t3
, 求
.
解 .
4. 设z=arcsin(x? y), 而x+3t, y=4t3
, 求 .
解
.
5. 设z=arctan(xy), 而y=ex
, 求 .
解 . 6. 设 , 而y=asin x, z=cos x, 求
.
解
.
7. 设 , 而x=u+v, y=u?v, 验证
.
证明
.
8. 求下列函数的一阶偏导数2
2
xy
(其中f具有一阶连续偏导数): (1) u=f(x?y, e);
解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, , .
(2) ;
解 ,
,
.
(3) u=f(x, xy, xyz). 解 ,
,
.
9.
设z=xy+xF(u),
而
,
F(u)为可导
数, 证明
函 证明
=xy+xF(u)+xy=z+xy. 10. 设 , 其中f(u)为可导函数, 验证 证明
,
,
.
所以
11. 设z=f(x+y), 其中f具有二阶导数, 求 解 令u=x+y, 则z=f(u),
12. 求下列函数的 , , (1) z=f(xy, y);
解 令u=xy , v=y, 则z=f(u, v).
,
.
, ,
,
2
22
2
. ,
,
.
(其中f具有二阶连续偏导数):
,
.
因为f(u, v)是u和v的函数, 所以u和v为中间变量的x和y的函数. 和 也是u和v的函数, 从而 和 是以
,
,
.
(2) 解 令u=x, , 则z=f(u, v).
,
.
因为f(u, v)是u和v的函数, 所以 和
也是u和v的函数,u和v为中间变量的x和y的函数.
从而
和
是以