续.
证明 由题设知, f(x)在x处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x?x|<δ时,
0
0
有|f(x)?f(x)|<ε.
0
作(x, y)的邻域U((x, y), δ), 显然当(x, y)∈U((x, y), δ)时, |x?x|<δ, 从而
0
0
0
0
0
0
0
|F(x, y)?F(x, y)|=|f(x)?f(x)|<ε,
0
0
0
所以F(x, y)在点(x, y)处连续.
0
0
又因为y是任意的, 所以对任意y∈R, F(x, y)在(x, y)处连续.
0
0
0
0
习题8?2
1. 求下列函数的偏导数: (1) z =xy?yx; 解 (2) 解 (3) 解 同理
.
2
3
3
,
,
;
.
.
(4) z=sin(xy)+cos(xy); 解
根据对称性可知 (5)
.
解 ,
(6) z=(1+xy); 解 (7) 解
;
,
,
. . ,
y
.
(8) u=arctan(x?y); 解 2. 设 解 因为 3. 设 解 因为
, 求证
, , , 试证
,
.
. , 所以 , .
, 所以
.
z
4. 设 解 因为
, 求. , 所以
.
5. 曲线 解 故
.
,
在点(2, 4, 5)处的切线与正向x轴所成的倾角是多少？
,
6. 求下列函数的 (1) z=x+y?4xy; 解 (2)
, ,
4
4
22
, , .
; ; .
解 , ;
, ; .
(3) z=y. 解
,
;
x
, ;
.
xx
xz
yz
zzx
7. 设f(x, y, z)=xy+yz+zx, 求f(0, 0, 1), f(1, 0, 2), f(0, ?1, 0)及f(2, 0, 1). 解 因为f=y+2xz, f=2z, f=2x,
xyz
2
2
xxyz
xz
222
f=2xy+z, f=2z, f=2yz+x, f=2y, f=0,
zz
zzx
2
所以 f(0, 0, 1)=2, f(1, 0, 2)=2,
xxyz
xz
f(0, ?1, 0)=0, f(2, 0, 1)=0.
zzx
8. 设z=xln(xy), 求 解
9. 验证: (1)满足 证明 因为 所以 (2)
.
满足
.
,
,
,
, ,
及 , ,
. .
;
,