（C）a与y轴的夹角为arccos???2； （D）a在z轴上的投影为5。 332．设平面区域D:x2?y2?1；D1:x2?y2?1,x?0,y?0则下列等式不成立的是[ ] (A)
22xln(x?y)d??0 (B) ??D??DD1?x2?y2d??4??1?x2?y2d?
D1(C)
??|xy|d??4??xyd? (D)
DD122xyd??4xy????d?
D13．
4．设函数z?e2x(x?y2)则(?1,0)是该函数的[ ]. 2（A）驻点但非极值点； （B）驻点且极小值点； （C）驻点且极大值点； （D）极值点但非驻点.
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
25．曲线x?t,y?2t,z?131t在点(1,2,)处的切线方程是_________. 33121412y6．交换积分次序
?140dy?yyf(x,y)dx??dy?f(x,y)dx=__________
7. 设f (x)可微分,x?2z?f(y?3z)，则2?z?z?3= ___________. ?x?y8．若二阶常系数线性非齐次方程 y\?py'?qy?f(x) 的三个解是：
y1?x(e?x?e?2x)，y2?xe?x?e?2x，y3?xe?x?(x?1)e?2x，
则p?4q＝__________________.
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）
1. 求平面方程，使得这个平面垂直于平面x?y?2z?5?0，平行于向量s?(1,?2,25)，并且过点(5,0,1)。 2. 求二重积分限的闭区域。
2???arctanDydxdy，其中D由圆x2?y2?1，x2?y2?4及直线y?0，y?x所围成的在第一象xy?z?2z3. 设z?xf(xy,)，f具有二阶连续偏导数，求。 ,x?y?x?y2 Page 13 of 18
4. 计算曲面积分I?1dS，其中?是球面x2?y2?z2?2在锥面z?x2?y2上方的部分。 ??z?5. 计算曲线积分组成。
22(x?y)ds，其中L是由点O(0,0)到A(0,1)的直线段和上从A(0,1)到B(1,0)的圆弧y?1?x?L1?y\?4y?(x?cos2x)?2?四、（8分）求解二阶初值问题：?y(0)?0.
??y'(0)?0?五、（8分）修建一座容积为V，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。 六、（8分）计算曲面积分I?上侧。
七、（8分）设f (u)连续可微，L为由A?3,?到B?1,2?的直线段，求
??2xdydz?2ydzdx?3(z?332?1)dxdy，其中?是曲面z?1?x2?y2 （z?0）的
??2?3?1?y2f(xy)x2dx?[yf(xy)?1]dy 2?yyL八、（6分）
答案 （2014年7月）
一、1：C； 2：D； 3：B； 4：B。
1xx?1y?212??z?； 2：?dx?2f(x,y)dy； 3：1； 4：0 二、1：
0x223三、1．求平面的方程，使得这个平面垂直于平面x?y?2z?5?0，平行于以,并且过点(5,0,1)。
解 所求平面的法向量为
1?225为方向余弦的直线，,555i n?1j?1k2?(4?25,?225，2?5, 1)1?2平面方程为(4?25)(x?5)?(2?25)y?(z?1)?0。 2．求二重积分
??arctanDydxdy，其中D由圆x2?y2?1，x2?y2?4及直线y?0，y?x所围成的在x第一象限的闭区域。
?2y324解 ??arctandxdy??d???rdr??。
01x64D Page 14 of 18
y?z?2z3．设z?xf(xy,)，f具有二阶连续偏导数，求。 ,x?y?x?y2解
?z1?x2(xf1?f2)?x3f1?xf2 ?yx?2zyy ?3x2f1?x3(f11y?2f12)?f2?x(f21y?2f22)
?x?yxx?3x2f1?f2?x3yf11?4．计算曲面积分I?yf22)。 x122222z?x?y，其中?是球面在锥面上方的部分。 dSx?y?z?2??z?解 ?:z? I?2?x2?y2，Dxy:x2?y2?1，
11?z2?z2dS??1?()?()dxdy?????zz?x?y?x2?y2?1x2dxdy 22??222?x?y?y?1 ??2?0d??2rdr?2?ln2
02?r215．计算曲线积分的圆弧组成。
解
22(x?y)ds，其中L是由点O(0,0)到A(0,1)的直线段和上从A(0,1)到B(1,0)y?1?x?L?(x?y)L2ds??ydy??2(cos??sin?)001?222(?sin?)?cos?2d?
?1???1。 32四、
五、修建一座容积为V，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。
解 设长、宽、高分别为x，y，z, 则V?xyz，设单位造价为k，则
?2yz)?3x?y4x?y4?xz 4 S?xy?2(2xz设L?4xy?4xz?4yz??(V?xyz) Lx?4y?4z? ?yz?0 Lx?4x?4z? ?xz?0 Lz?4x?4y? ?xy?0yzz V?xy
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解得 x?y?z?3V。 六、计算曲面积分I?侧。
解 设?1:z?0,(x2?y2?1)下侧
??2xdydz?2ydzdx?3(z?332?1)dxdy，其中?是曲面z?1?x2?y2 （z?0）的上
I????1?????????6(x2?y2?z)dxdydz??1?x2?y2?1??(?3)dxdy
? ???2?02?d??rdr?01011?r201?r26(r2?z)dz?3? 6(r2?z)dz?3????
0d??rdr?01?y2f(xy)x?2?七、设f (u)连续可微，L为由A?3,?到B?1,2?的直线段，求?dx?2[y2f(xy)?1]dy
yy?3?L?P1?Q1?y2f(xy)x2??2?f?xyf??解 P?，，所以积分与路径无关， ,Q?2[yf(x?y)1]?yy?xyy(1,21)1?y2f(xy)xx ?dx?2[y2f(xy)?1]dy??2(dx?2dy)?f(xy)(ydx?xdy)
(3,)yyyy3L(1,2) ??2(3,)3xxd[?F(xy)]?[?F(xy)](1,2)2??4。 (3,)yy3八、设函数f (x)在[a,b]上满足a?f(x)?b，|f?(x)|?q?1，令un?f(un?1)，n?1,2,3,?,u0?[a,b]，证明：级数
?(un?1?n?1?un)绝对收敛。
证明 |un?1?un|?|f(u?f(?un)n1)?|??|fn()u(?1u?)|qnu?|?1 nun?n| ?q|f(un?1)?f(un?2)|?q|f?(?n?1)(un?1?un?2)|?q2|un?1?un?2| ???qn|u1?u0| 0?q?1，从而
?qn?1?n收敛，由比较审敛法，级数
?(un?1?n?1?un)绝对收敛。
高等数学（下）2015年7月
一、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求点P,1,1)到直线的距离0(1x?7y?2z?3??。 123 Page 16 of 18