2016-2017学年高中数学 阶段质量检测(二)新人教A版选修2-1

解析:由抛物线定义知|PQ|=x1+x2+p=4p. 答案:4p

13.已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别

94为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.

解析:设MN交椭圆于点P,连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点),利用中位线定理可得|AN|+|BN|=2|F1P|+2|F2P|=2×2a=4a=12.

答案:12

x2y2

x2y2

14.方程为2+2=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它

ab―→―→―→

短轴上的一个端点,若3DF1=DA+2DF2,则该椭圆的离心率为________.

―→―→―→

解析:设点D(0,b),则DF1=(-c,-b),DA=(-a,-b),DF2=(c,-b),由―→―→―→3DF1=DA+2DF2

1

得-3c=-a+2c,即a=5c,故e=.

51答案: 5

三、解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 4

15.(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆+=1共焦点,且以y=±x为渐近线.

49243(1)求双曲线方程.

π

(2)求过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程.

3解:(1)椭圆的焦点坐标为(±5,0),

x2y2

x2y2

设双曲线方程为2-2=1(a>0,b>0),

ab则渐近线方程为±=0,即y=±x,

xyabbaa+b=25,??所以?b4

=,??a3

??a=9,

解得?2

??b=16,

2

22

y2

则双曲线方程为-=1.

916

x2

π

(2)∵直线的倾斜角为,

3∴直线的斜率为3, 故直线方程为y=3(x-5), 即3x-y-53=0.

16.(本小题满分12分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0),其中双曲线的一条渐近线方程为y=3x,求三条曲线的标准方程.

解:因为双曲线的焦点在x轴上,

x2y2

故其方程可设为2-2=1(a>0,b>0),

ab又因为它的一条渐近线方程为y=3x,

b所以=3,即

ab2=a2c2-a22

=e-1=3. 2

a解得e=2,因为c=4, 所以a=2,b=3a=23, 所以双曲线方程为-=1.

412

因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列,所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1,

由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数, 1

因此,椭圆的离心率为,

2

x2y2

x2y2

设椭圆方程为2+2=1(a1>b1>0),

a1b1

则c=4,a1=8,b1=8-4=48. 所以椭圆的方程为+=1.

6448易知抛物线的方程为y=16x.

17.(本小题满分12分)顶点在原点,焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.

(1)求抛物线的标准方程;

(2)若直线l:y=2x+1与抛物线相交于A,B两点,求AB的长度. 解:(1)由题意可知p=2,∴抛物线标准方程为x=4y.

(2)直线l:y=2x+1过抛物线的焦点F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),

2

2

2

2

2

x2y2

??y=2x+1,

∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2,联立?2

?x=4y?

得x-8x-4=0,

2

∴x1+x2=8,

∴|AB|=y1+y2+2=2x1+1+2x2+1+2=2(x1+x2)+4=20.

x2y2

18.(本小题满分12分)已知F1,F2是椭圆2+2=1(a>b>0)的两个焦点,O为坐标原

ab点,点P?-1,?2?―→

?在椭圆上,且PF1·F1F2―→=0,⊙O是以F1F2为直径的圆,直线l:y?2?

=kx+m与⊙O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)当―OA→·―OB→=2

3时,求k的值.

解:(1)依题意,可知PF1⊥F1F2, ∴c=1,11222

a2+2b2=1,a=b+c,

解得a2

=2,b2

=1,c2

=1, ∴椭圆的标准方程为x2

2

2

+y=1.

(2)直线l:y=kx+m与⊙O:x2

+y2

=1相切, 则

|m|

2

=1,即22

k+1

m=k+1. ?x2

由??2+y2=1,??y=kx+m,

得(1+2k2

)x2

+4kmx+2m2

-2=0. ∵直线l与椭圆交于不同的两点A,B, 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∴Δ>0?k2

>0?k≠0, 2

x4km2m-21+x2=-1+2k2,x1x2=1+2k2,

y)=k2

x2

m2-2k21-k2

1y2=(kx1+m)(kx2+m1x2+km(x1+x2)+m=1+2k2=1+2k2,

2

∴―OA→·―OB→

=x1+k21x2+y1y2=1+2k2=3

,∴k=±1.

19.(本小题满分12分)设F1,F2分别是椭圆x2

+y2

4

=1的左、右焦点.

5―→―→

(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1·PF2=-,求点P的坐标;

4(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.

解:(1)设P(x,y), 4??则?x+3x-??x>0,y>0,

+y=1,

2

x2

3

52

+y=-,4

x=1,??解得?3

y=,?2?

故P?1,

?

?3??. 2?

(2)由题意知直线l的斜率存在,所以可设直线l的方程为y=kx+2,将其代入椭圆方程,

3222

得(1+4k)x+16kx+12=0,Δ>0?k>.

416k设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2,

1+4kx1x2=

12

2. 1+4k―→―→2

由∠AOB为锐角可得,OA·OB>0?x1x2+y1y2>0?(1+k)x1x2+2k(x1+x2)+4>0, 1216k3??22

即(1+k)·解得k<4,综上,k的取值范围为?-2,-?2-2k·2+4>0,

1+4k1+4k2??∪?

?3?

,2?. ?2?

3??1,20.(本小题满分12分)已知F1、F2为椭圆E的左、右焦点,点P??为其上一点,且

?2?

有|PF1|+|PF2|=4.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过F1的直线l1与椭圆E交于A、B两点,过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C、D两点,求四边形ABCD的面积S四边形ABCD的最大值.

x2y2

解:(1)设椭圆E的标准方程为2+2=1(a>b>0),

ab由已知|PF1|+|PF2|=4得2a=4,∴a=2,

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