解析：由抛物线定义知|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p. 答案：4p
13．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别
94为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
解析：设MN交椭圆于点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a＝12.
答案：12
x2y2
x2y2
14．方程为2＋2＝1(a＞b＞0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它
ab―→―→―→
短轴上的一个端点，若3DF1＝DA＋2DF2，则该椭圆的离心率为________．
―→―→―→
解析：设点D(0，b)，则DF1＝(－c，－b)，DA＝(－a，－b)，DF2＝(c，－b)，由―→―→―→3DF1＝DA＋2DF2
1
得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.
51答案： 5
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 4
15．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，且以y＝±x为渐近线．
49243(1)求双曲线方程．
π
(2)求过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程．
3解：(1)椭圆的焦点坐标为(±5,0)，
x2y2
x2y2
设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab则渐近线方程为±＝0，即y＝±x，
xyabbaa＋b＝25，??所以?b4
＝，??a3
??a＝9，
解得?2
??b＝16，
2
22
y2
则双曲线方程为－＝1.
916
x2
π
(2)∵直线的倾斜角为，
3∴直线的斜率为3， 故直线方程为y＝3(x－5)， 即3x－y－53＝0.
16．(本小题满分12分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，求三条曲线的标准方程．
解：因为双曲线的焦点在x轴上，
x2y2
故其方程可设为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab又因为它的一条渐近线方程为y＝3x，
b所以＝3，即
ab2＝a2c2－a22
＝e－1＝3. 2
a解得e＝2，因为c＝4， 所以a＝2，b＝3a＝23， 所以双曲线方程为－＝1.
412
因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，
由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数， 1
因此，椭圆的离心率为，
2
x2y2
x2y2
设椭圆方程为2＋2＝1(a1>b1>0)，
a1b1
则c＝4，a1＝8，b1＝8－4＝48. 所以椭圆的方程为＋＝1.
6448易知抛物线的方程为y＝16x.
17．(本小题满分12分)顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线l：y＝2x＋1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度． 解：(1)由题意可知p＝2，∴抛物线标准方程为x＝4y.
(2)直线l：y＝2x＋1过抛物线的焦点F(0,1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
2
2
2
2
x2y2
??y＝2x＋1，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝y1＋y2＋2，联立?2
?x＝4y?
得x－8x－4＝0，
2
∴x1＋x2＝8，
∴|AB|＝y1＋y2＋2＝2x1＋1＋2x2＋1＋2＝2(x1＋x2)＋4＝20.
x2y2
18．(本小题满分12分)已知F1，F2是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，O为坐标原
ab点，点P?－1，?2?―→
?在椭圆上，且PF1·F1F2―→＝0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y?2?
＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当―OA→·―OB→＝2
3时，求k的值．
解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2， ∴c＝1，11222
a2＋2b2＝1，a＝b＋c，
解得a2
＝2，b2
＝1，c2
＝1， ∴椭圆的标准方程为x2
2
2
＋y＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2
＋y2
＝1相切， 则
|m|
2
＝1，即22
k＋1
m＝k＋1. ?x2
由??2＋y2＝1，??y＝kx＋m，
得(1＋2k2
)x2
＋4kmx＋2m2
－2＝0. ∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴Δ＞0?k2
＞0?k≠0， 2
x4km2m－21＋x2＝－1＋2k2，x1x2＝1＋2k2，
y)＝k2
x2
m2－2k21－k2
1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m1x2＋km(x1＋x2)＋m＝1＋2k2＝1＋2k2，
2
∴―OA→·―OB→
＝x1＋k21x2＋y1y2＝1＋2k2＝3
，∴k＝±1.
19．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆x2
＋y2
4
＝1的左、右焦点．
5―→―→
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1·PF2＝－，求点P的坐标；
4(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)设P(x，y)， 4??则?x＋3x－??x＞0，y＞0，
＋y＝1，
2
x2
3
52
＋y＝－，4
x＝1，??解得?3
y＝，?2?
故P?1，
?
?3??. 2?
(2)由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为y＝kx＋2，将其代入椭圆方程，
3222
得(1＋4k)x＋16kx＋12＝0，Δ＞0?k＞.
416k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，
1＋4kx1x2＝
12
2. 1＋4k―→―→2
由∠AOB为锐角可得，OA·OB＞0?x1x2＋y1y2＞0?(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0， 1216k3??22
即(1＋k)·解得k＜4，综上，k的取值范围为?－2，－?2－2k·2＋4＞0，
1＋4k1＋4k2??∪?
?3?
，2?. ?2?
3??1，20．(本小题满分12分)已知F1、F2为椭圆E的左、右焦点，点P??为其上一点，且
?2?
有|PF1|＋|PF2|＝4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F1的直线l1与椭圆E交于A、B两点，过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C、D两点，求四边形ABCD的面积S四边形ABCD的最大值．
x2y2
解：(1)设椭圆E的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab由已知|PF1|＋|PF2|＝4得2a＝4，∴a＝2，