2016-2017学年高中数学 阶段质量检测(二)新人教A版选修2-1

??P?,6?,求抛物线的方程和双曲线的方程. 2?

?

解:依题意,设抛物线的方程为y=2px(p>0),

2

3

?3?∵点P?,6?在抛物线上, ?2?

3

∴6=2p×,∴p=2,

2∴所求抛物线的方程为y=4x.

∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x=-1上, ∴c=1,即a+b=1.

2

2

2

?3?又∵点P?,6?在双曲线上, ?2?

96

2-2=1, 4ab2

2

a+b=1,??

解方程组?96

2-2=1,??4ab1

a=,??4得?3

b=??4,22

??a=9,

或?2

?b=-8?

2

(舍去).

422

∴所求双曲线的方程为4x-y=1.

3

16.(本小题满分12分)已知抛物线方程为y=2x,在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M,N两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,求直线l的方程.

解:设直线l的方程为y=kx+2,

??y=2x,由???y=kx+2,

2

2

消去x得ky-2y+4=0.

2

∵直线l与抛物线相交于M,N两点,

??k≠0,∴?

?Δ=4-16k>0,?

1

解得k<且k≠0.

4

4

设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=,

k4

从而x1x2=·=2.

22ky2y212

∵OM⊥ON, ∴x1x2+y1y2=0,

44

即2+=0,解得k=-1符合题意,

kk∴直线l的方程为y=-x+2.

17.(本小题满分12分)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为4,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两个不同的点.

(1)求椭圆C的方程; (2)求弦AB的长.

解:(1)∵椭圆C的焦点为F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为4, ∴设所求椭圆的方程为

x2y2

+=1(a>b>0), a2b2则依题意有a=2,c=2, ∴b=a-c=2.

∴椭圆C的方程为:+=1.

42

2

2

2

x2y2

xy??+=1,

(2)联立?42

??y=x+2,

2

22

消去y得3x+8x+4=0,

设直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则由根与系数的关系有

x1+x2=-,x1x2=,

所以由弦长公式: |AB|==2

+k2

8343

x1+x2

2

-4x1x2]

?-8?2-4×4=42. ?3?33??

x2y2

3

18.(本小题满分12分)已知椭圆+=1及直线l:y=x+m,

492(1)当直线l与该椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值.

3

y=x+m,??2

解:(1)由?xy??4+9=1,

2

2

2

2

消去y,并整理得

9x+6mx+2m-18=0.① 上面方程的判别式

Δ=36m-36(2m-18)=-36(m-18). ∵直线l与椭圆有公共点,

∴Δ≥0,据此可解得-3 2≤m≤3 2. 故所求实数m的取值范围为[-3 2,3 2]. (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 6m2m-18

由①得:x1+x2=-,x1x2=,

99故|AB|=1+k = =

2

2

2

2

2

x1+x2

2

-4x1x2

2

?3?2

1+???2??-6m?2-4×2m-18 ?9?9??

132

-m+18, 3

当m=0时,直线l被椭圆截得的弦长的最大值为26.

19.(本小题满分12分)设有一颗彗星绕地球沿一抛物线型轨道运行,地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为d(万千米)时,经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为60°,求这颗彗星与地球的最短距离.

解:设彗星的轨道方程为y=2px(p>0),

焦点为F(,0),彗星位于点P(x0,y0)处,直线PF的方程为y=3?x-?,

2?2?

2

p?

p?y=2px,??

解方程组??x-p?,

y=3?2?????

2

2

消去y得12x-20px+3p=0. 3p得x=p或x=,

263pp故x0=或x0=.

26

2

p2

由抛物线定义得|PF|=x0+=2p或|PF|=p.

23

d3

由|PF|=d,得p=或p=d,

22

由于抛物线的顶点是抛物线上距离焦点最近的点,而焦点到抛物线顶点的距离为,所213

以彗星与地球的最短距离为d万千米或d万千米(p点在F点的左边与右边时,所求距离取

22不同的值).

px2y26

20.(本小题满分12分)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)

ab3

和B(a,0)的直线与原点的距离为

(1)求椭圆的方程.

(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C,D两点,问:是否存在

3. 2

k的值,使以CD为直径的圆过E点,请说明理由.

解:(1)直线AB方程为:bx-ay-ab=0.

??c=a-b,依题意?

ab3

=,??a+b2

2

2

2

2

2

c6=,a3

2

解得?

?a=3,?b=1.

∴椭圆方程为+y=1.

3

??y=kx+2,

(2)假若存在这样的k值,由?22

?x+3y-3=0,?

x2

2

(1+3k)x+12kx+9=0. ∴Δ=(12k)-36(1+3k)>0.① 设C(x1,y1),D(x2,y2),

2

22

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)